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線形代数学Ⅲ Linear Algebra Ⅲ
東京電機大学未来科学部2年 FI科 他 (金曜5限)
担当: 原 隆
場所: 2号館7階 2705教室
オンライン講義
講義内容 (シラバスより):
「行列の標準形」の理論とは、ベクトル空間の基底を巧く取り替えて行列 (線形変換) をなるべく簡潔な形で表す理論であり、理論上も実用上も非常に重要な理論である。
本講義では内積空間及び行列の標準形の理論について解説する。最初に数ベクトル空間の基礎事項について、1年次開講の『線形代数学II』の講義では時間的制約のため扱わなかった内容（線形変換の行列表示、基底の変換行列など） を中心に学ぶ。続いて数ベクトルの内積と正規直交基底の概念を導入した上で、行列の標準形の理論 （特に対称行列の直交行列による対角化） について解説する。応用として２次形式の理論や２次曲線・2次曲面の分類、ジョルダン標準形などを取り上げる予定である。
教科書: 特に指定しない (配布する資料に基づいて講義を進める)
なお、参考書として以下のテキストを挙げておく (本講義の内容についてというよりも、線形代数学全般に対する参考書である)。
- 加藤文元著 『大学教養 線形代数』 (数研出版)
- 平岡和幸, 堀玄共著 『プログラミングのための線形代数』 (オーム社)
- 三宅敏恒著 『線形代数学 —初歩からジョルダン標準形へ』(培風館)
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 7月26日
7月17日 (金), 7月24日 (金) の講義内容を更新しました。遅くなってすみません m(_ _)m
- 7月10日
7月10日 (金) の講義内容を更新しました。学期末レポートのお知らせを掲載しました。
- 7月2日
7月3日 (金) の講義内容を更新しました (遅くなってすみません)。
- 6月26日
6月26日 (金) の講義内容を更新しました。
- 6月18日
6月19日 (金) の講義内容を更新しました。
- 6月12日
6月12日 (金) の講義内容を更新しました。
- 6月5日
6月5日 (金) の講義内容を更新しました。
- 5月29日
5月29日 (金) の講義内容を更新しました。
- 5月22日
5月22日 (金) の講義内容を更新しました。
- 5月15日
5月15日 (金) の講義内容を更新しました。
- 5月9日
ガイダンス資料のリンクを貼り直しました。
- 5月8日
5月8日 (金) の講義内容を更新しました。動画資料は WebClass からどうぞ☆
- 4月21日
本講義の参考資料および演習問題の解答をすべてアップロードしました。前期の講義はすべてオンラインとなる可能性が高いため、予習や復習の便宜を図って 今年度は参考資料をすべて事前に公開することにします。
初回の講義は 4月10日 (金) の予定です。
東京電機大学の授業開始日等延期方針に伴い、初回の講義は 5月8日 (金) となる予定です。なお、新型コロナウィルス流行のため、本年度の講義は オンラインで 行われます。
参考資料一覧
- 参考資料1 演習問題解答 (数ベクトル空間の基底と基底の変換行列)
- 参考資料2 演習問題解答 (線形変換の行列表示と基底の取り替え)
- 参考資料3 演習問題解答 (数ベクトルの内積と正規直交基底)
- 参考資料4 演習問題解答 (グラム–シュミットの正規直交化法)
- 参考資料5 演習問題解答 (直交変換と直交行列)
- 参考資料6 演習問題解答 (行列の対角化と対角化可能性)
- 参考資料7 演習問題解答 (対称行列の直交対角化)
- 参考資料8 演習問題解答 (2次形式と符号)
- 参考資料9 演習問題解答 (2次曲線・2次曲面の分類)
- 参考資料10
講義内容
- 2020年8月4日 (日) — 6日 (木)
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- 2020年7月24日 (金) スポーツの日
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- ジョルダン標準形入門
- 例題: 2次正方行列のジョルダン標準形
“足りない固有ベクトル” の代わりのベクトル (広義固有ベクトル) をどうやって見つけるか?
※ ジョルダン標準形の一般論については、津田塾大学第1ターム『数学特別講義B』の講義資料 (参考資料1—8) を参照して下さい
- 参考資料10 (2次・3次正方行列のジョルダン標準形)
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小レポート12および解答 提出期限:
7/29(水) 23:59 提出先: WebClass
- 2020年7月17日 (金)
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- 対称行列の対角化 (続)
- 2次形式とその応用 (続)
- 2次形式の標準形 (或いは固有値の符号) を求めるのが困難なケース
— 固有値はいつでも “きれいに” 求まるとは限らない!!
- シルヴェスターの慣性法則と2次形式の符号
- 例題: 2次形式の符号と2次曲線・2次曲面の分類 — ラグランジュの方法を用いて
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小レポート11および解答 提出期限:
7/22(水) 23:59 提出先: WebClass
18名提出 平均点: 3点/7点満点
- 2020年7月10日 (金)
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- 対称行列の対角化 (続)
- 2次形式とその応用
- 2次形式の定義: 斉次な2次多項式
- 2次形式と対称行列の対応
- 2次形式の標準形: 直交変数変換で “クロスターム” を消去する
- 例題: 2次曲線の概形 — “クロスターム” を含むとき
- 参考資料8 演習問題解答 (2次形式と符号)
- 参考資料9 演習問題解答 (2次曲線・2次曲面の分類)
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小レポート10および解答 提出期限:
7/15(水) 23:59 提出先: WebClass
28名提出 平均点: 4.7点/7点満点
- 2020年7月3日 (金)
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- 対称行列の直交対角化 (続)
- 例題: 3次対称行列直交対角化2 (固有値が相異なる場合)
- 特性多項式の計算: どこかの成分を0にしてから余因子展開してみる
- 重根の固有値に対する (線形独立な) 固有ベクトルをグラム–シュミットの正規直交化法を用いて直交化する
- 対象行列の直交対角化可能性の証明: 「固有ベクトルからなる正規直交基底の構成」の部分に焦点を当てて
1つ固有ベクトルを見つけたら、正規化してその直交補空間を考えると、ベクトル空間の次元に関する数学的帰納法が進行する!!
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小レポート9および解答 提出期限:
7/8(水) 23:59 提出先: WebClass
27名提出 平均点: 3.4点/7点満点
- 2020年6月26日 (金)
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- 対称行列の直交対角化 (続)
- 対称行列の定義: 転置しても元の行列と一致する行列
- 対称行列の諸性質: 自己随伴性と固有ベクトルの直交性
- 例題: 3次対称行列直交対角化1 (固有値が相異なる場合)
※ サイズの大きい行列の特性多項式の計算は、それなりに工夫が必要 (基本変形、余因子展開など)
- 参考資料7 演習問題解答 (対称行列の直交対角化)
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小レポート8および解答 提出期限:
7/1(水) 23:59 提出先: WebClass
51名提出 平均点: 5.1点/7点満点
- 2020年6月19日 (金)
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- 対称行列の直交対角化
- 正方行列の対角化可能性: 例題を通して
各固有値に対して「固有値の重複度=固有空間の次元」が成り立つときに限り対角化可能
- 参考資料6 演習問題解答 (行列の対角化と対角化可能性)
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小レポート7および解答 提出期限:
6/24(水) 23:59 提出先: WebClass
40名提出 平均点: 3点/7点満点
- 2020年6月12日 (金)
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- 数ベクトルの内積と正規直交基底 (続)
- 直交変換と直交行列
- 直交変換の定義
- 正規直交基底の直交変換での像は正規直交基底
- 直交変換のイメージ: 「形を変えない線形変換」
- 直交変換の行列表示と直交行列の定義
- 直交行列=「列ベクトルも行ベクトルも正規直交基底」
- 参考資料5 演習問題解答 (直交変換と直交行列)
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小レポート6および解答 提出期限:
6/17(水) 23:59 提出先: WebClass
64名提出 平均点: 5.6点/7点満点
- 2020年6月5日 (金)
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- 数ベクトルの内積と正規直交基底 (続)
- グラム–シュミットの正規直交化法
- 単位ベクトルへの正射影の定義
- 直交化の原理: 「正射影成分を取り除く」
- グラム–シュミットの正規直交化法:
与えられた基底を「加工して」正規直交基底を作り出す方法
- 例題: グラム–シュミットの正規直交化法
- 参考資料4 演習問題解答 (グラム–シュミットの正規直交化法)
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小レポート5および解答 提出期限:
6/10(水) 23:59 提出先: WebClass
77名提出 平均点: 6.3点/7点満点
- 2020年5月29日 (金)
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- 数ベクトルの内積と正規直交基底
- 数ベクトルのユークリッド内積
- (ユークリッド) 内積の定義とノルム (数ベクトルの “大きさ”) の定義
- 内積の性質1: 正値性, 対称律, 双線形性
- 内積の性質2: コーシー–シュヴァルツの不等式と三角不等式 (紹介のみ; 詳細は参考資料および動画資料参照)
- 正規直交基底
- 正規直交基底の定義
- 正規直交基底の例: 標準基底、平面の標準基底の「回転」
- 正規直交基底に関する成分表示の求め方
- 参考資料3 演習問題解答 (数ベクトルの内積と正規直交基底)
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小レポート4および解答 提出期限:
6/3(水) 23:59 提出先: WebClass
83名提出 平均点: 5.6点/7点満点
- 2020年5月22日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換
- 線形変換と基底の取り換え
- 線形変換の行列表示と基底の取り替え
— 基底を取り換えると線形変換の行列表示はどう変化するか?
- 応用1: 対角化の図形的な意味
— 行列を掛ける線形変換は、固有ベクトルで《番地割り》すると偏倍変換と見做せる!!
- 応用2: 平面ベクトルの直線に関する鏡映変換の行列表示
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小レポート3および解答 提出期限:
5/27(水) 23:59 提出先: WebClass
76名提出 平均点: 4.6点/7点満点
- 2020年5月15日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換 (続)
- 基底の変換行列
- 基底の変換行列の定義
- 基底の変換行列と成分表示の関係
- 線形変換と行列表示
- 数ベクトル空間の線形変換の定義
- 線形変換の行列表示と成分表示
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参考資料2
演習問題解答 (線形変換と基底の取り換え)
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小レポート2および解答 提出期限:
5/20(水) 23:59 提出先: WebClass
87名提出 平均点: 5.4点/7点満点
- 2020年5月8日 (金)
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- 講義についてのガイダンス
ガイダンス資料 オンライン講義に伴う変更点
- 数ベクトル空間と線形変換
- 数ベクトル空間の基底と成分表示
- 数ベクトル空間の基底とその意味: 《番地割り》の基準
- 基底に関する数ベクトルの成分表示と例題
- 何故「標準基底」以外の基底での《番地割り》が必要か
?
— 状況に応じて自由に “基底を設定”
出来るようになろう!!
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参考資料1 演習問題解答 (数ベクトル空間の基底と成分表示, 基底の変換行列) ※
次回の範囲も入っています!!
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小レポート1および解答 提出期限:
5/13(水) 23:59 提出先: WebClass
88名提出 平均点: 5.9点/7点満点
講義日程
4月 3日,日, 19日, 26日
(新型コロナウィルス感染予防のための休講)
5月 1日 (新型コロナウィルス感染予防のための休講), 8日, 15日, 22日, 29日
6月 5日, 12日, 19日, 26日
7月 3日, 10日, 17日, 23日 (スポーツの日 / 授
業実施日) (31日 補講日)