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数学特別講義B Special Lecture on Mathematics B
津田塾大学数学科 3年〜 (月曜1限)
担当: 原 隆
場所: 南校舎 S105教室 第1ターム, 第3タームはオンライン講義
(第4タームは未定)
講義内容:
『線形代数学』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後、加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する。凡その予定は以下の通り:
- 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法
- 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質、単因子論
- 第4ターム: 単因子論の応用
教科書: 特定のテキストは指定しない。参考資料のプリントを配布する予定。なお、『線形代数学』のテキスト (三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館) および『代数入門』『代数学』のテキスト (松坂和夫『代数系入門』岩波書店) でも本講義の内容は扱われているので、必要に応じて参照してください。
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 7月4日
6月29日の講義内容を更新しました。第1タームの講義はこれですべて終了です。レポート頑張って!!
- 6月24日
6月22日の講義内容を更新しました。第1ターム学期末レポート・成績評価についての告知をしました (講義内容の一番上)。参考資料8を公開しました (予習用)。
- 6月18日
6月15日の講義内容を更新しました。参考資料7を公開しました (予習用; 解答はしばしお待ちください)。
- 6月12日
6月8日の講義内容を更新しました。参考資料6を公開しました (予習用; 解答はしばしお待ちください)。
- 6月1日
6月1日の講義内容を更新しました。参考資料5を公開しました (予習用)。
- 5月25日
5月25日の講義内容を更新しました。参考資料4を公開しました (予習用)。
- 5月20日
参考資料3を公開しました (予習用)。
- 5月18日
5月11日 (ガイダンス), 5月18日の講義内容を更新しました。
- 4月28日
オンライン講義についての注意文を掲載しました。
- 4月3日 事前学修の課題を掲載しました。
初回の講義は 4月13日 (月) の予定です。
津田塾大学の授業開始日等延期方針に伴い、初回の講義は 4月27日 (月) となる予定です。
緊急事態宣言に伴う授業開始延期措置のため、初回の講義は 5月18日 (月) となる予定です (新型コロナ流行の状況に応じてさらに変更となる可能性があります)。
事前学修
- 講義のガイダンス資料 (評価方法などの説明; 各自で読んでおいてください)
※ 新型コロナ流行の状況を鑑みて、評価方法を (レポート等に) 変更する可能性があります。
- 事前学修について (事前学修課題の説明)
- 参考資料1 (行列の対角化可能性の十分条件) 演習問題解答は4/15頃に公開予定 確認問題1
- 参考資料2 (行列の対角化可能性) 演習問題解答は4/15頃に公開予定 確認問題2
講義内容
※ 第1タームはオンライン講義です!!
- 2020年6月29日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- 正方行列のジョルダン標準形 (続)
- 例題: 正方行列のジョルダン標準形2
広義固有空間毎にジョルダン基底を構成する
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参考資料8
演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)
- 確認問題8 (正方行列のジョルダン標準形1)
- 2020年6月22日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- 正方行列のジョルダン標準形
- 例題: 正方行列のジョルダン標準形1
広義固有空間毎にジョルダン基底を構成する
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参考資料7
演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
- 確認問題7 (正方行列のジョルダン標準形1)
※ 諸事情により開始時間が遅くなってしまい申し訳ございませんでした m(_ _)m
- 2020年6月15日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- 羃零行列の標準形
- 羃零行列の定義と特徴付け; 固有値が0のみである行列
- 羃零行列に関するジョルダン鎖、ジョルダン基底の定義
- 例題: 羃零行列の標準形
特にジョルダン鎖、ジョルダン基底の構成の仕方に焦点を当てて
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参考資料6
演習問題解答 (羃零行列の標準形)
- 確認問題6 (羃零行列の標準形; 解答公開済み)
- 2020年6月8日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- 広義固有空間分解定理の証明の概略
- 特性多項式から射影子を構成する方法
— 特性多項式の “逆数” を部分分数分解して “1の分解” を構成する
- 例題: 広義固有空間への射影子の求め方
- 構成した射影子が射影子の3性質を満たすことの説明
- 各射影子の像が広義固有空間と一致することの説明
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参考資料5
演習問題解答 (広義固有空間分解定理の証明)
- 確認問題5 (広義固有空間分解の計算; 解答公開済み)
- 2020年6月1日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- ベクトル空間の広義固有空間分解
- 広義固有ベクトルおよび広義固有空間の定義
- 広義固有空間分解定理の主張
数ベクトル空間は、(実固有値を持つ) 正方行列の広義固有空間の直和に分解される
- 線形空間の直和について (概説)
- 線形空間の直和分解と射影子
- 射影子 (射影行列) の定義
- 射影子 (射影行列) を用いた直和分解
- 例題: 射影子による直和分解
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参考資料4
演習問題解答 (線形空間の直和分解と射影子)
- 確認問題4 (射影子による直和分解; 解答公開済み)
- 2020年5月25日 (月)
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- ジョルダン標準形 (続)
- 最小多項式とケーリー–ハミルトンの定理
- 多項式への行列の代入と注意点
- 最小多項式の定義と基本性質
最小多項式は「A を代入すると零行列となる多項式の “親玉”」
- ケーリー–ハミルトンの定理: 特性多項式に A を代入すると零行列となる
- 最小多項式の求め方の手順と例
- 対角化可能であるための必要十分条件は、最小多項式が1次式の積となること
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参考資料3
演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
- 確認問題3 (4次正方行列の最小多項式; 解答公開済み)
- 2020年5月18日 (月)
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- ジョルダン標準形
- 行列の対角化可能性
- 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
- 定理: 各固有空間の次元が固有値の重複度と一致していれば対角化可能
- ジョルダン標準形とは
- 参考資料1 演習問題解答 (行列の対角化)
- 参考資料2 演習問題解答 (対角化可能性の必要十分条件)
- 確認問題2 (4次正方行列の対角化可能性; 解答公開済み)
- 2020年4月11日 (月) (オンライン授業リハーサル期間)
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- ガイダンス (講義の成績の付け方、Google Classroom の使い方など)
- 確認問題1 (3次正方行列の対角化可能性; 解答公開済)
講義日程
第1ターム
4月 6日, 13日, 20日, 27日 (新型コロナウィルス対応による休講)
5月 4日 (みどりの日 / 休講
日), 11日 (講義のガイダンス; オンライン), 18日, 25日
6月 1日, 8日, 15日, 22日, 29日 (授業最終日)
第3ターム
9月 7日, 15日, 21日 (敬老の日 / 授業実施日), 28日
10月 5日, 12日 (敬老の日 / 授業実施日), 19日, 26日 (津田塾祭後始末 / 休講)
11月 2日, 9日 (第3ターム最終授業日), (10月22日午前, 26日午後, 28日 補講日)
第4ターム
11月 16日, 23日 (勤労感謝の日 / 授業実施日), 30日
12月 7日, 14日, 21日, 28日
1月 4日 (冬期休暇), 11日 (成人の日 / 休校日), 18日, 25日 (第4ターム最終授業日), (15日午前, 19日午前, 20日, 21日 補講日)