数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S105教室 (③ の建物が南校舎です)

講義内容:       『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後，加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する．凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質，単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない．参考資料のプリントを配布する予定．
参考書: 三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です．

お知らせ / 更新履歴

• 9月25日   9月25日までの講義内容を更新しました．
• 5月19日   5月15日の講義内容を更新しました．次週 (5月22日) は休講です．
• 5月8日   5月8日の講義内容を更新しました．
• 5月1日   5月1日の講義内容を更新しました．
• 4月24日   4月24日の講義内容を更新しました．
• 4月17日   4月17日の講義内容を更新しました．
• 初回の講義は 4月17日 (金) です．

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)

第3ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (可換環とユークリッド整域)
2. 参考資料2 演習問題解答 (可換環のイデアルと剰余環，中国式剰余定理)
3. 参考資料3 演習問題解答 (可換環上の加群と準同型定理)
4. 参考資料4 演習問題解答 (単因子論の基本定理，行列の基本変形とスミス標準形)

講義内容

2026年9月18日 (金)

• 環上の加群と単因子論
  • 有理整数環と1変数多項式環
    • 有理整数環とその特徴: 割り算の定理の存在
    • 割り算の定理から派生する事柄: ユークリッドの互除法，ベズーの補題，ユークリッドの補題，素因数分解の (存在と) 一意性
    • 1変数多項式環と有理整数環との類似: 割り算の定理の存在
    • ユークリッド整域: 「割り算の定理が成り立つ環」の抽象化，例としてのガウスの整数環
    • p元体とp元体係数の多項式環
• 小レポート1 (ユークリッド整域と一般化ユークリッドの互除法)
  提出締切: 9月22日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．
  ※ 問題に誤植がありましたので修正しました (9/25)．提出されたレポートについては，修正前の数値で計算したものを正答として採点していますが，もし余力があれば修正後の問題も解き直してみてください!!

2026年9月11日 (金)

講義のイントロダクション (講義内容は次回から)

• ベクトル空間 (線形代数) と加群 (代数学) の違い……係数が体か環か
• 環… 乗法に関する単逆元の存在が保障されていない!!
• 本講義の目標: 単因子論とその応用 (有限生成加群の構造定理，行列の標準形)

2026年9月4日 (金)

出張につき 休講

†       †       †

2026年5月22日 (金)

休講

2026年5月15日 (金)

• ジョルダン標準形の計算II: 一般の場合
  • 一般の場合の方針: 各広義固有空間ごとにジョルダン基底を構成する
  • 練習問題: ジョルダン標準形の計算
• 小レポート5 (3次正方行列のジョルダン標準形の計算)
  提出締切: 5月19日 (火) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年5月8日 (金)

• ジョルダン標準形の計算I: 固有値が唯一つの場合
  • 広義固有空間の次元の計算とジョルダン鎖の見つけ方
  • ジョルダン基底とジョルダン標準形
• 小レポート4 (ジョルダン標準形の計算I: 固有値が唯一つのとき)
  提出締切: 5月12日 (火) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年5月1日 (金)

• 広義固有空間分解
  • ベクトルの直和と例
  • 広義固有空間分解定理の主張
  • 広義固有空間の構造: 次数によるフィルター構造が入る
  • 広義固有ベクトルの生成するジョルダン鎖
• 小レポート3 (ジョルダン鎖の線形独立性)
  提出締切: 5月6日 (水) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年4月24日 (金)

• 行列の対角化可能性 (続)
  • 固有値の重複度と固有空間の定義
  • 行列の対角化可能性 (対角化可能であることと，各固有空間の次元が固有値の重複度と一致することは同値)
  • 特性多項式の固有値が実数とならない場合についての中
• 広義固有ベクトルと広義固有空間 [
  • 広義固有ベクトルの定義，固有ベクトルとの関係
  • (固有ベクトルでない) 広義固有ベクトルの例
  • 広義固有空間の定義，固有空間との関係
  • 演習問題: 広義固有空間の求め方

小レポート2 (広義固有ベクトルと広義固有空間)
提出締切: 4月27日 (月) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年4月17日 (金)

• 行列の対角化可能性
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
  • 講義の目的: 対角化不可能な行列を “対角化っぽく” 変形する
• ガイダンス (講義の成績の付け方，Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料
• 小レポート1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月20日 (月) 23:59   Google Classroom に提出してください．

講義日程

第1ターム

4月   17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日 (補講日), 19日 (第1ターム授業最終週)