数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S105教室 (③ の建物が南校舎です)

講義内容:       『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後，加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する．凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質，単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない．参考資料のプリントを配布する予定．
参考書: 三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です．

お知らせ / 更新履歴

• 5月8日   5月8日の講義内容を更新しました．
• 5月1日   5月1日の講義内容を更新しました．
• 4月24日   4月24日の講義内容を更新しました．
• 4月17日   4月17日の講義内容を更新しました．
• 初回の講義は 4月17日 (金) です．

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)

講義内容

2026年5月8日 (金)

• ジョルダン標準形の計算I: 固有値が唯一つの場合
  • 広義固有空間の次元の計算とジョルダン鎖の見つけ方
  • ジョルダン基底とジョルダン標準形
• 小レポート4 (ジョルダン鎖の線形独立性)
  提出締切: 5月12日 (火) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年5月1日 (金)

• 広義固有空間分解
  • ベクトルの直和と例
  • 広義固有空間分解定理の主張
  • 広義固有空間の構造: 次数によるフィルター構造が入る
  • 広義固有ベクトルの生成するジョルダン鎖
• 小レポート3 (ジョルダン鎖の線形独立性)
  提出締切: 5月6日 (水) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年4月24日 (金)

• 行列の対角化可能性 (続)
  • 固有値の重複度と固有空間の定義
  • 行列の対角化可能性 (対角化可能であることと，各固有空間の次元が固有値の重複度と一致することは同値)
  • 特性多項式の固有値が実数とならない場合についての中
• 広義固有ベクトルと広義固有空間 [
  • 広義固有ベクトルの定義，固有ベクトルとの関係
  • (固有ベクトルでない) 広義固有ベクトルの例
  • 広義固有空間の定義，固有空間との関係
  • 演習問題: 広義固有空間の求め方

小レポート2 (広義固有ベクトルと広義固有空間)
提出締切: 4月27日 (月) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2026年4月17日 (金)

• 行列の対角化可能性
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
  • 講義の目的: 対角化不可能な行列を “対角化っぽく” 変形する
• ガイダンス (講義の成績の付け方，Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料
• 小レポート1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月20日 (月) 23:59   Google Classroom に提出してください．

講義日程

第1ターム

4月   17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日 (補講日), 19日 (第1ターム授業最終週)