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代数学 (演習付) Algebra
津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (月曜4限・講義)
※ 演習 (火曜5限) は 礒田恵以子先生 のご担当です
担当: 原 隆 (講義) ・ 礒田 恵以子 (演習)
場所: 南校舎 S105教室 (講義，演習とも)
(③ の建物が南校舎です)
講義内容 (シラバスより):
代数的構造である 環 rings および 体 fields についての基本事項および ガロア理論 Galois theory を学修する．前半では環や体についての基本事項を取り扱う．環や体の定義から始め，イデアルと剰余環，環準同型写像の定義と環準同型定理など，基本的な項目を確認した後，特に多項式環について詳しく考察する．その後，体の拡大に関する定義等を確認し，体の拡大がガロア群と呼ばれる群によって統制されることを主張するガロア理論の学修へと進む．具体的には，体の単拡大を詳しく調べた後に，正規拡大と分離拡大について学び，ガロア理論の基本定理を学修する．時間が許せば，体論およびガロア理論の応用として作図問題や方程式の可解性の話題にも触れたい．
教科書: 特に指定しない．参考資料のプリントを (Web ページ上で) 配布する．
参考書: 渡辺敬一著 『[講座 数学の考え方] 環と体』(朝倉書店)
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載する予定です．
お知らせ / 更新履歴
- 5月25日
5月25日の授業内容を更新しました．次回 (6月1日) は講義ビデオ試聴によるオンデマンド講義で，一意分解整域に於ける最大公約元と商体について扱います．
- 5月19日
5月18日の授業内容を更新しました．
- 5月12日
5月11日の授業内容を更新しました．
- 4月27日
4月27日の授業内容を更新しました．
- 4月20日
4月20日の授業内容を更新しました．
- 4月13日
4月13日の授業内容を更新しました．
- 初回講義は 4月13日 (月) です (演習の初回は 4月14日 (火) となります)．
参考資料一覧
- 参考資料0 (群論の復習，演習問題のみ)
- 参考資料1 (環の定義と例，部分環)
- 参考資料2 (零因子と整域，体の定義と例)
- 参考資料3 (環のイデアル，環準同型写像と環同型写像)
- 参考資料4 (既約元と素元，一意分解整域)
- 参考資料5 (単項イデアル整域)
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参考資料6 (ユークリッド整域)
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参考資料7 (整域の最大公約元と最小公倍元，整域の局所化)
講義内容
- 2026年5月26日 (月)
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- 環論の基礎 (続)
- ユークリッド整域 — “余りのある割り算” が出来る整域
- ユークリッド整域の定義: “余り” を規定するためのユークリッド関数が備わった整域
- ユークリッド整域の例: 有理整数環，体上の1変数多項式環，ガウスの整数環
- ユークリッド整域は単項イデアル整域 (PID)
- 小レポート6 (ユークリッド整域)
提出締切: 5月29日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年5月18日 (月)
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- 環論の基礎 (続)
- 既約元と素元 (続)
- 既約元と素元の定義 (復習)
- 一意分解整域 unique factorisation domain の定義
- 単項イデアル整域 (PID)
- 単項イデアル整域の定義
- 有理整数環における例: 特に最大公約数との関係
- 有理整数環において，複数の数によって生成されるイデアルが最大公約数で生成される単項イデアルと一致することの証明
- ユークリッド整域とは — 「余りのある割り算」が定義される整域
- 小レポート5 (素元分解の一意性の証明)
提出締切: 5月22日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年5月11日 (月)
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- 環論の基礎 (続)
- 既約元と素元
- 既約元の定義と例: 有理整数環 (素数)，多項式環 (既約多項式)，ガウスの整数環
- 本質的に同じ既約元分解と，本質的に異なる既約元分解
- 既約元分解が一意的にならないこと: Z[√-5] を例に
- 素元の定義，既約元との関係
- 小レポート4 (既約元と素元)
提出締切: 5月14日 (木) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年5月4日 (月) みどりの日
- 休校日
- 2026年4月27日 (月)
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- 環論の基礎 (続)
- 単元と零因子 (続)
- 整域の定義: 零因子を持たない可換環
- 整域の定義の言い換え: 「掛けて 0 ならばどちらか一方は 0」
- 可換環のイデアル
- イデアルの定義，有理整数環のイデアル (およびイデアルでない部分集合) の例
- 単項イデアル，複数の元から生成されるイデアルの定義
- 環の準同型写像
- 環準同型写像，環同型写像の定義
- 環準同型写像の例 (零写像，自然な全射，代入写像，複素共役)
- 環準同型写像の核 kernel と 像 image
- 小レポート4 (可換環のイデアル，環準同型写像と環同型写像)
提出締切: 5月1日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年4月20日 (月)
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- 環論の基礎 (続)
- 部分環 (続)
- 単元と零因子
- 単元と零因子の定義
- 単元群の例1: 有理整数環，有理数体，実数体，複素数体
- 単元群の例2: ガウスの整数環，(発展) 実2次体の単数群とペル方程式
- 零因子の例1: 行列環
- 零因子の例2: 整数の剰余環 ※ Z/6Z で解が4個存在する2次方程式の例
- 小レポート2 (零因子と単元)
提出締切: 4月23日 (木) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年4月13日 (月)
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- イントロダクション: 代数学で学修すること – 環と体の世界
- 環論の基礎
- 環の定義と例
- 環の定義
- 例: 零環，有理整数環，有理数体，実数体，複素数体，多項式環，行列環 (非可換環)
- 可換環と非可換環について
- 部分環
- 小レポート1 (環の定義と例，部分環)
提出締切: 4月16日 (木) 23:59 Google Classroom に提出してください．
講義日程
第1ターム
4月 13日, 20日, 27日
5月 4日 (休校日・みどりの日), 11日, 18日, 25日
6月 1日, 8日, 15日 (第1ターム授業最終週)
第3ターム
9月 7日, 14日, 21日 (休校日・敬老の日), 28日
10月 5日, 12日 (スポーツの日 / 授業実施日), 19日 (津田塾祭後始末 / 休校日), 26日
11月 2日, 9日, 16日 (第3ターム授業最終週)
第4ターム
11月 23日 (勤労感謝の日振替休日 / 授業実施日), 30日
12月 7日, 14日, 21日, 28日
1月 4日 (冬季休暇), 11日 (成人の日/ 休校日), 18日, 25日
2月 1日 (第4ターム授業最終週)
演習日程
第1ターム
4月 14日, 21日, 28日
5月 5日 (こどもの日 / 休校日), 12日, 19日, 26日
6月 2日, 9日, 16日 (第1ターム最終授業日)
第3ターム
9月 8日, 15日, 22日 (国民の休日 / 休校日), 29日
10月 6日, 13日, 20日, 27日
11月 3日 (文化の日 / 授業実施日), 10日 (第3ターム最終授業日), 17日 (休校日)
第4ターム
11月 24日
12月 1日, 8日, 15日, 22日, 29日
(冬季休暇)
1月 5日, 12日, 19日, 26日 (第4ターム最終授業日)