ベクトル・行列と幾何学   Vectors, Matrices and Geometry

津田塾大学学芸学部 数学科 1年 (火曜2限・講義)

※ 演習 (月曜2限) は 宮澤治子先生 のご担当です

担当: 原 隆 (講義) ・ 宮澤 治子 (演習)

場所: 南校舎 S109教室 (火曜2限・講義)   ※ 月曜2限の演習は 南校舎 S107教室 (③ の建物が南校舎です)

講義内容 (シラバスより):
高校『数学C』のベクトルの単元の発展として，平面・空間ベクトルおよび2次・3次の行列について学修する．

扱う内容はベクトルの内積・外積，2次・3次行列式とその図形的解釈，平面 (および空間) ベクトルの線形変換と行列との対応，線形変換の応用 (固有値・固有ベクトルを含む) などである．

平面ベクトルや空間ベクトルのような “図の描ける世界” において，「線形性」という抽象的な性質がどのように活用されるかを予め体験しておくことで，1年次第3ターム以降に開講される線形代数学の講義の理解がより深まるだろう．

教科書: 特に指定しない．参考資料のプリントを (Web ページ上で) 配布する．

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載する予定です．

お知らせ / 更新履歴

• 5月13日   5月13日 (火) の講義内容を更新しました。
• 4月22日   4月22日 (火) の講義内容を更新しました。
• 4月15日   4月15日 (火) の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 4月15日 (火) の予定です (演習の初回は 4月21日 (月) となります)．

参考資料一覧

• 講義のガイダンス資料 ※ 予め目を通しておいてください!!

1. 参考資料1 (ベクトルの内積と平行四辺形の面積)
2. 参考資料2 (空間ベクトルの外積と平行六面体の体積)
3. 参考資料3 (ベクトルの線形変換と行列)
4. 参考資料4 (線形変換の応用 — 固有値と固有ベクトル，線形変換と面積)

※ 参考資料α (空間図形の方程式; 演習問題解答付)     試験範囲外 [自習用]

講義内容

2025年5月13日 (火)

• ベクトルの外積
  • 外積の定義と性質
    • 空間ベクトルの外積の定義
    • ベクトルの外積の性質: 外積の双線形性，歪対称性
    • 系 (歪対称性の) : 「同じベクトルの外積は零ベクトル」
  • ベクトルの成分表示と外積: 双線形性を用いて
    • 成分表示されたベクトルの外積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開” によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
      — 内積の成分表示とほぼ同様の計算で導出出来ることに注目しよう!!
• 小レポート3 (ベクトルの外積)
  提出締切: 5月16日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2025年5月6日 (火) みどりの日振替休日

休校日

2025年4月29日 (火) 昭和の日

休校日

2025年4月22日 (火)

• ベクトルの内積 (続)
  • 平行四辺形の面積公式
    • 平行四辺形の面積公式 — 内積の応用として
    • 平行四辺形の面積公式: 問題演習
    • 平面ベクトルの張る平行四辺形の面積
  • 平行四辺形の面積と2次行列式
    • 平面ベクトルと2次行列式
      • 平面ベクトルの成分表示と2次正方行列
      • 2次行列式の定義と計算法 (襷掛け)
      • 2次行列式の符号と位置関係
• 小レポート2 (平方四辺形の面積と2次行列式)
  提出締切: 4月25日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2025年4月15日 (火)

• ベクトルの内積
  • 内積の定義と性質
    • 内積の定義
    • 内積の基本性質 (スカラー積，同じものの内積，直交条件)
    • 内積の図形的意味: 「正射影を取ったあとで “大きさ” の積を取る」
    • 内積の性質 — 特に 双線形性 と 対称性 を中心に
  • ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
    • 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
    • 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開” によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
    • 線形性を用いることで 幾何的な問題を代数的に扱ってしまえる のが “線形性のマジック”
• 講義の ガイダンス
• 小レポート1 (ベクトルの内積)
  提出締切: 4月18日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

講義日程

第1ターム

4月   15日, 22日, 29日 (休校日・昭和の日)
5月   6日 (休校日・みどりの日振替休日), 13日, 20日, 27日
6月   3日, 10日, 17日, 22日 (第1ターム最終授業日 / 試験実施予定)

演習日程

第1ターム

4月   21日, 28日
5月   5日 (休校日・こどもの日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日 (第1ターム授業最終週)