4年セミナー   Seminar Ⅳ

津田塾大学学芸学部 数学科 4年 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜4限: 7号館 3階 7302教室   金曜3限: 7号館 3階 7305教室 (⑩ の建物が7号館です)

講義内容 (シラバスより):
代数方程式の根の公式にまつわる話題を輪講形式で学習する．また，学生生活の総決算として，これまでに学習してきた知識をもとに卒業研究に取り組む．

テキストで扱われるテーマはモジュラー曲線の数論幾何学である．数論幾何学とは，一言で言えば整数係数の多項式で定義される図形の性質を調べる研究分野である．数論幾何学を学修するに当たっての最大の難点がその膨大な量の予備知識であったが，本テキストは最低限の予備知識 (基本的な微分積分学と集合，写像の用語程度) で数論幾何学の先端の話題に触れられるよう随所に工夫がなされた画期的な1冊である．実際に手を動かして具体的な計算をしながら，数論幾何学の醍醐味をぜひ味わっていただきたい．扱われている話題も豊富なので，セミナーに参加しながらそれぞれ興味のあるテーマを探し，(必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で，自由に卒業論文にまとめてもらいたい．

教科書: 三枝 洋一著『数論幾何学入門 — モジュラー曲線から大定理・大予想へ』森北出版

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 10月7日 10月7日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 10月3日 10月3日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月30日 9月30日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月19日 9月19日 (金) のセミナーの内容を更新しました。次週 (9/23, 26) は出張のため 休講 です!!
• 9月16日 9月16日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月9日 9月9日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月4日 6月3日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月30日 5月30日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月27日 5月27日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月23日 5月23日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月20日 5月20日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月16日 5月16日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月9日 5月13日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月9日 5月9日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月2日 5月2日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月25日 4月25日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月22日 4月22日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月18日 4月18日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月15日 4月15日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• セミナーの初回は 4月15日 (火) です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2025年10月7日 (金)

• 第4章 保型関数と保型形式 (続)
  • 4.3 j 関数の値 (続)
    • 補足: j関数の値の整数性と虚2次体の類数との関係
  • 4.4 一般のレベルの保型形式
    • *_k 作用素の定義と性質 (関数空間への GL₂⁺(Z) の作用)
    • 一般レベルの保型形式の定義と性質
    • レベル Γ₀(p) の場合に調べるべき q 展開 (証明は次回)

2025年10月3日 (金)

• 第4章 保型関数と保型形式 (続)
  • 4.3 j 関数の値 (続)
    • j(√-2)=8000 の証明 (1728, -3375 でないことを示すことによる消去法)
    • j((-1+√-7)/2)=-3375 について
    • 2次無理数点での j 関数の値は代数的整数であることの証明

2025年9月30日 (火)

• 第4章 保型関数と保型形式 (続)
  • 4.3 j 関数の値 (続)
    • j(√-2) の値の代数的整数性
    • j(√-2/2)+j((√-2+1)/2)+j(2√-2) の値の計算
    • j(√-2)=8000 (証明は次回)

2025年9月26日 (金)

出張のため 休講

2025年9月23日 (火)   秋分の日

出張のため 休講

2025年9月19日 (金)

• 第4章 保型関数と保型形式 (続)
  • 4.2 レベル SL₂(Z) の保型形式
    • アイゼンシュタイン級数の保型性
    • アイゼンシュタイン級数の q 展開とゼータ関数
    • 保型形式，尖点形式の定義
    • 例: 重さ0の保型形式は定数関数のみ，重さ0の尖点形式は0のみ
    • 例: アイゼンシュタイン級数とラマヌジャンのデルタ関数
  • 4.3 j 関数の値
    • j 関数の i=√-1 での値の計算 — 保型性を用いて
    • j 関数の ω=(-1+√-3)/2 での値の計算 — 保型性を用いて
    • 2次無理数点での j 関数の値は代数的整数である

2025年9月16日 (火)

• 第4章 保型関数と保型形式 (続)
  • 4.1 保型関数 (続)
    • 保型関数がすべて j 関数の多項式で表されること   Rouchéの定理の応用として
    • j 関数の全射性

2025年9月9日 (火)

• 第3章 モジュラー曲線 M_SL2(Z) (続)
  • 3.5 まとめ
    • モジュラー曲線の点，格子，トーラス，楕円曲線の対応
• 第4章 保型関数と保型形式
  • 4.1 保型関数
    • 保型関数の定義，保型関数の q 展開
    • アイゼンシュタイン級数が正則関数であること
    • j 関数が保型関数であること

2025年6月3日 (火)

• ABC定理と多項式版フェルマーの最終定理
  • フェルマーの最終定理と歴史的背景
  • abc 予想とフェルマーの最終定理

2025年5月30日 (金)

• 第3章 モジュラー曲線 M_SL2(Z) (続)
  • 3.3 トーラスから楕円曲線へ (続)
    • 楕円曲線の定義，判別式による非特異性の判定条件
    • 複素トーラスの ℘ 関数による埋め込みは楕円曲線

2025年5月27日 (火)

• 第3章 モジュラー曲線 M_SL2(Z) (続)
  • 3.3 トーラスから楕円曲線へ (続)
    • ワイエルシュトラスの ℘ 関数 (とその微分) の周期性
    • ワイエルシュトラスの ℘ 関数の関数等式

2025年5月23日 (金)

• 第3章 モジュラー曲線 M_SL2(Z) (続)
  • 3.3 トーラスから楕円曲線へ (続)
    • ワイエルシュトラスの ℘ 関数の定義 (詳細は次回)，和の取り方
    • ワイエルシュトラスの ℘ 関数の正則性 — ワイエルシュトラスの M 判定法を用いて

2025年5月20日 (火)

• 第3章 モジュラー曲線 M_SL2(Z)
  • 3.1 M_SL2(Z) の点から格子へ
    • 複素平面上の格子の定義，相似な格子
    • 上半平面の点の SL₂(Z) 同値類と格子の相似類の対応
  • 3.2 格子からトーラスへ
    • 格子から複素トーラスを作る
    • 格子の同値類と複素トーラスの同型類の対応
  • 3.3 トーラスから楕円曲線へ
    • 複素トーラスと代数曲線の間の同型を作るための方針
    • ワイエルシュトラスの ℘ 関数の定義 (詳細は次回)

2025年5月16日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」(続)
    • Γ₀(p) の場合のモジュラー曲線の形 (続)
      • 境界の貼り合わせ方，p=2 と p=11 での例
      • 種数，オイラー標数とモジュラー曲線の「かたち」

2025年5月13日 (火)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」(続)
    • SL₂(Z) の場合のモジュラー曲線の形 (続)
    • Γ₀(p) の場合のモジュラー曲線の形
      • SL₂(Z) の剰余類分割と基本領域
      • 境界の貼り合わせ方 (途中まで)

2025年5月9日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.2 モジュラー曲線 (続)
    • モジュラー曲線の定義
    • 上半平面を平行移動で生成される巡回群で割った商空間の例 (無限円筒)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」
    • 「かたち」の意味: 位相幾何学的に考える (同相類)
    • SL₂(Z) の場合のモジュラー曲線の形

2025年5月6日 (火)   みどりの日振替休日

休校日

2025年5月2日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.1 複素上半平面と SL₂(Z) (続)
    • 2次行列とその演算の定義，性質
    • SL₂(Z) が2元 (平行移動と反転) で生成されること
    • 合同部分群 Γ₀(N), Γ₁(N), Γ(N)

2025年4月29日 (火)   昭和の日

休校日

2025年4月25日 (金)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (承前)
    • C₂ 上の F_p 有理点の応用2: 平方剰余の第2補充法則
  • 1.3 C₃: x³+y³=1 の場合 (続)
    • フェルマー曲線 C₃: x³+y³=1 と楕円曲線 D:y²=x³-432 の間の双有理同値性
• 第2章 モジュラー曲線とは
  • 2.1 複素上半平面と SL₂(Z)
    • 複素上半平面とモジュラー群 SL₂(Z) の定義
    • SL₂(Z) が群をなすこと
    • 上半平面への SL₂(Z) の作用の定義と作用になっていること (1次分数変換 / メービウス変換)
    • 具体的な行列による1次分数変換の例

2025年4月22日 (火)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (続)
    • C₂ 上の F_p 有理点の応用1: 平方剰余の第1補充法則
  • 1.3 C₃: x³+y³=1 の場合
    • C₃, Dの F_p 有理点の個数と保型形式 — 志村–谷山予想へ
    • n ≥ 4 の場合の概略

2025年4月18日 (金)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (続)
    • 有限体 F_p の定義と体になること
    • フェルマーの小定理とその証明
    • C₂: x²+y²=1 上の F_p 有理点とその個数

2025年4月15日 (火)

• 第1章 数論幾何学への招待
  • 1.1 平面代数曲線と整数論
    • 代数曲線とその有理点の定義
    • 例: フェルマー曲線の有理点とフェルマーの最終定理
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合
    • 単位円周 C₂: x²+y²=1 上の有理点と，(-1,0) を通る傾きが有理数の直線の対応

セミナー日程

第1ターム

4月   15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (昭和の日・休校日)
5月   2日, 6日 (みどりの日振替休日・休校日), 9日, 13日, 16日, 20日, 23日, 27日, 30日
6月   3日, 6日, 10日, 13日 (休業日), 17日, 20日 (第1ターム授業最終週), 24日 (第1ターム授業最終週)

第3ターム

9月   5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日 (秋分の日・授業実施日), 26日, 30日
10月   3日, 7日, 10日, 14日, 17日 (津田塾祭準備・休校日), 21日, 24日, 28日 (補講日), 31日
11月   4日, 7日 (第3ターム授業最終週), 11日 (第3ターム授業最終週)

第4ターム

11月   14日, 18日, 21日 (津田ヶ谷祭準備・休校日), 25日, 28日
12月   2日, 5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日 (冬期休暇)
1月   2日 (冬期休暇), 6日, 9日, 13日, 16日 (共通テスト準備日・休校日), 20日 (補講日), 23日, 27日 (第4ターム授業最終週), 30日 (第4ターム授業最終週)