4年セミナー   Seminar Ⅳ

津田塾大学学芸学部 数学科 4年 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜4限: 7号館 3階 7302教室   金曜3限: 7号館 3階 7305教室 (⑩ の建物が7号館です)

講義内容 (シラバスより):
代数方程式の根の公式にまつわる話題を輪講形式で学習する．また，学生生活の総決算として，これまでに学習してきた知識をもとに卒業研究に取り組む．

テキストで扱われるテーマはモジュラー曲線の数論幾何学である．数論幾何学とは，一言で言えば整数係数の多項式で定義される図形の性質を調べる研究分野である．数論幾何学を学修するに当たっての最大の難点がその膨大な量の予備知識であったが，本テキストは最低限の予備知識 (基本的な微分積分学と集合，写像の用語程度) で数論幾何学の先端の話題に触れられるよう随所に工夫がなされた画期的な1冊である．実際に手を動かして具体的な計算をしながら，数論幾何学の醍醐味をぜひ味わっていただきたい．扱われている話題も豊富なので，セミナーに参加しながらそれぞれ興味のあるテーマを探し，(必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で，自由に卒業論文にまとめてもらいたい．

教科書: 三枝 洋一著『数論幾何学入門 — モジュラー曲線から大定理・大予想へ』森北出版

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 5月16日 5月16日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月9日 5月13日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月9日 5月9日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月2日 5月2日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月25日 4月25日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月22日 4月22日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月18日 4月18日 (金) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月15日 4月15日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• セミナーの初回は 4月15日 (火) です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2025年5月16日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」(続)
    • Γ₀(p) の場合のモジュラー曲線の形 (続)
      • 境界の貼り合わせ方，p=2 と p=11 での例
      • 種数，オイラー標数とモジュラー曲線の「かたち」

2025年5月13日 (火)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」(続)
    • SL₂(Z) の場合のモジュラー曲線の形 (続)
    • Γ₀(p) の場合のモジュラー曲線の形
      • SL₂(Z) の剰余類分割と基本領域
      • 境界の貼り合わせ方 (途中まで)

2025年5月9日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.2 モジュラー曲線 (続)
    • モジュラー曲線の定義
    • 上半平面を平行移動で生成される巡回群で割った商空間の例 (無限円筒)
  • 2.3 モジュラー曲線の「かたち」
    • 「かたち」の意味: 位相幾何学的に考える (同相類)
    • SL₂(Z) の場合のモジュラー曲線の形

2025年5月6日 (火)   みどりの日振替休日

休校日

2025年5月2日 (金)

• 第2章 モジュラー曲線とは (続)
  • 2.1 複素上半平面と SL₂(Z) (続)
    • 2次行列とその演算の定義，性質
    • SL₂(Z) が2元 (平行移動と反転) で生成されること
    • 合同部分群 Γ₀(N), Γ₁(N), Γ(N)

2025年4月29日 (火)   昭和の日

休校日

2025年4月25日 (金)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (承前)
    • C₂ 上の F_p 有理点の応用2: 平方剰余の第2補充法則
  • 1.3 C₃: x³+y³=1 の場合 (続)
    • フェルマー曲線 C₃: x³+y³=1 と楕円曲線 D:y²=x³-432 の間の双有理同値性
• 第2章 モジュラー曲線とは
  • 2.1 複素上半平面と SL₂(Z)
    • 複素上半平面とモジュラー群 SL₂(Z) の定義
    • SL₂(Z) が群をなすこと
    • 上半平面への SL₂(Z) の作用の定義と作用になっていること (1次分数変換 / メービウス変換)
    • 具体的な行列による1次分数変換の例

2025年4月22日 (火)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (続)
    • C₂ 上の F_p 有理点の応用1: 平方剰余の第1補充法則
  • 1.3 C₃: x³+y³=1 の場合
    • C₃, Dの F_p 有理点の個数と保型形式 — 志村–谷山予想へ
    • n ≥ 4 の場合の概略

2025年4月18日 (金)

• 第1章 数論幾何学への招待 (続)
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合 (続)
    • 有限体 F_p の定義と体になること
    • フェルマーの小定理とその証明
    • C₂: x²+y²=1 上の F_p 有理点とその個数

2025年4月15日 (火)

• 第1章 数論幾何学への招待
  • 1.1 平面代数曲線と整数論
    • 代数曲線とその有理点の定義
    • 例: フェルマー曲線の有理点とフェルマーの最終定理
  • 1.2 C₂: x²+y²=1 の場合
    • 単位円周 C₂: x²+y²=1 上の有理点と，(-1,0) を通る傾きが有理数の直線の対応

セミナー日程

第1ターム

4月   15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (昭和の日・休校日)
5月   2日, 6日 (みどりの日振替休日・休校日), 9日, 13日, 16日, 20日, 23日, 27日, 30日
6月   3日, 6日, 10日, 13日 (休業日), 17日, 20日 (第1ターム授業最終週), 24日 (第1ターム授業最終週)

第3ターム

9月   5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日 (秋分の日・授業実施日), 26日, 30日
10月   3日, 7日, 10日, 14日, 17日 (津田塾祭準備・休校日), 21日, 24日, 28日 (補講日), 31日
11月   4日, 7日 (第3ターム授業最終週), 11日 (第3ターム授業最終週)

第4ターム

11月   14日, 18日, 21日 (津田ヶ谷祭準備・休校日), 25日, 28日
12月   2日, 5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日 (冬期休暇)
1月   2日 (冬期休暇), 6日, 9日, 13日, 16日 (共通テスト準備日・休校日), 20日 (補講日), 23日, 27日 (第4ターム授業最終週), 30日 (第4ターム授業最終週)