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線形代数学Ⅰ (演習付) Linear Algebra Ⅰ
津田塾大学学芸学部 数学科 1年 (火曜2限・講義)
※ 演習 (月曜2限) は 宮澤治子先生 のご担当です
担当: 原 隆 (講義) ・ 宮澤 治子 (演習)
場所: 南校舎 S109教室 (火曜2限・講義) ※ 月曜2限の演習は 南校舎 S107教室
(③ の建物が南校舎です)
講義内容 (シラバスより):
現代数学のあらゆる分野の基礎理論に位置付けられる線形代数学について講義する．1年次は，行列の演算と基本性質，行列の簡約化とその応用，行列式を中心に学修する．ベクトル空間と線形写像，固有値・固有ベクトルと対角化，内積空間と対称行列の直交対角化などについては，2年次の『線形代数学II (演習付)』で扱う．
本講義では，まず2次正方行列の基本演算について，平面ベクトルの線形変換と対応させながら詳しく学び，続いて一般の行列とその演算について学修する．その後，行列の行基本変形と簡約化の理論を学び，簡約化を応用して連立1次方程式の解や逆行列を求める手法を修得する．後半では行列式の理論を系統的に学修し，行列式の様々な計算手法を身につけるとともに，その応用についても理解を深める．
教科書: 三宅敏恒著 『線形代数学 — 基礎からジョルダン標準形へ』 （培風館）
※ 教科書とは別に，講義内容の参考資料および演習課題等を (Webページ上で) 配布します
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載する予定です．
お知らせ / 更新履歴
- 2026年10月7日
2025年度の講義ページを更新しました．
- 10月8日
10月8日の授業内容を更新しました．
- 10月2日
10月1日の授業内容を更新しました．
- 9月24日
9月24日の授業内容を更新しました．
- 10月7日
9月30日, 10月7日の授業内容を更新しました．
- 9月16日
9月16日の授業内容を更新しました．次週は出張のため休講ですので，次回の講義は 9月30日 となります．
- 9月9日
9月9日の授業内容を更新しました．
- 9月8日
本講義の参考資料をアップロードしました．
- 初回講義は 9月9日 (火) の予定です (演習の初回は 9月8日 (月) となります)．
参考資料一覧
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参考資料1 (2次正方行列の演算)
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参考資料2 (一般の行列の定義と演算, 行列の区分け)
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参考資料3 (行列の行基本変形と簡約化)
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参考資料4 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
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参考資料5 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方, 行列の基本変形と基本行列)
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参考資料6 (行列の簡約化の存在と一意性の証明)
※ 応用的な内容です．試験出題範囲外
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参考資料7 (2,3次行列式の基本3性質)
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参考資料8 (基本3性質による行列式の定義, 三角化による行列式の計算法)
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参考資料9 (ラプラスの余因子展開)
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参考資料10 (余因子展開の応用: 余因子行列と逆行列, クラーメルの公
式)
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参考資料11 (行列式の明示公式, 行列式の乗法性, 転置行列の行列式)
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参考資料12 (数ベクトルの線形独立性/線形従属性)
講義内容
- 2026年1月27日 (火)
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- 2026年1月20日 (火)
- 補講日 (授業なし)
- 2026年1月13日 (火)
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- 数ベクトルの線形独立性 / 線形従属性
- 数ベクトル空間の定義と例
- 線形独立性/従属性の “図形的” イメージ: ベクトルが「ばらばらな方向を向いているか」の数式による表現
- 数ベクトルの線形独立性/従属性の定義
- 演習: 数ベクトルの線形独立性/従属性の判定
- おまけ: 基底と斜交座標について
- 小レポート14 (数ベクトルの線形独立性/従属性)
提出締切: 1月16日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2026年1月6日 (火)
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- 行列式 (続)
- 行列式の乗法性
- 定理の主張: 行列の積の行列式は，行列式の積
- 応用1: AB の行列式 = BA の行列式 (AB と BA が異なっても)
- 応用2: 正則行列の行列式は 0 ではない，逆行列の行列式
- 行列式の乗法性の証明の概略 スライド
- 転置行列の行列式
- 転置行列の定義と性質
- 転置行列式の行列式=元の行列の行列式
- 応用: 行列式の列に関する性質は，行に関する性質に “遺伝する” スライド
- 転置行列式の行列式=元の行列の行列式 の証明の概略: 三角化して三角行列，基本行列に帰着
- 行列式のロードマップ
- 小レポート13 (行列式の乗法性，転置行列の行列式)
提出締切: 1月9日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年12月30日 (火)
- 休校日 (冬期休暇)
- 2025年12月23日 (火)
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- 行列式 (続)
- ラプラスの余因子展開の応用II: クラーメルの公式
- クラーメルの公式の主張: 式の数と未知数の数が同じ連立1次方程式で，係数行列の行列式が 0 でなければ，行列式を計算することで解を求められる
- 例題: クラーメルの公式
- クラーメルの公式の証明の概略，クラーメルの公式と行列論の発展 スライド
- 行列式の展開公式
- 展開公式の主張: 行列式を成分を用いて表す
- 例: n=2 のとき (襷掛け) と n=3 のとき (サラスの公式)
- 行列式の展開公式の証明の概略 スライド
- 小レポート12 (クラーメルの公式)
提出締切: 12月26日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年12月16日 (火)
- 出張により 休講
- 2025年12月9日 (火)
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- 行列式 (続)
- ラプラスの余因子展開の応用I: 余因子行列と逆行列
- 転置行列の定義: 行列を「横書き」から「縦書き」に書き換えたもの
- 余因子行列の定義: (i,j) 成分に (i,j)-余因子を並べて，転置行列をとったもの
- 命題: 余因子行列ともとの行列の積は，単位行列の行列式倍
- 系: 行列式の値が 0 でなければ正則行列 (余因子行列を用いて逆行列を作れるから)
- 余因子行列の計算例，逆行列の公式との対応
- 余因子行列の性質の証明の概略 スライド
- 小レポート11 (4次正方行列の余因子行列)
提出締切: 12月12日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年12月2日 (火)
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- 行列式 (続)
- 行列式の計算法I: 三角化による方法 (続)
- 三角行列の行列式=対角成分の積の証明の概略 スライド
- 行列式の計算法II: ラプラスの余因子展開定理
- (i,j)-余因子の定義: “(i,j) 成分に爆弾をおいて吹き飛ばして出来る行列の行列式” (+余因子の符号)
- ラプラスの余因子展開定理の主張
- 例: ラプラスの余因子展開定理を用いた3次行列式の計算
- 行列式の計算に関するいくつかのコメント
- ラプラスの余因子展開定理の証明の概略 スライド
- おまけ: ファミコン ボンバーマン (YouTube 動画)
- 小レポート10 (4次行列式の計算 (ラプラスの余因子展開))
提出締切: 12月5日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年11月25日 (火)
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- 行列式 (続)
- 2次・3次行列式の基本3性質 (続)
- 行列式の計算法I: 三角化による方法
- 三角行列の定義，三角行列の行列式は対角成分の積 (証明は次回スライドで)
- 例題: 三角化を用いた行列式の計算法
- 小レポート9 (4次行列式の計算 (三角化による方法))
提出締切: 11月28日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年11月18日 (火)
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- 行列式
- 2次・3次行列式の復習 (特に図形的意味について)
- 4次 (以上の) 行列式を定義するにはどうしたら良いか?
…… “図が描けない” 世界の図形の “符号付き体積”?!
- 行列の基本3性質と n 次行列式
- 行列式の基本3性質: 多重線形性，歪対称性，正規化条件
- ファンデルモンドの定理: 同じ列ベクトルを含む行列の行列式は0 (歪対称性の帰結)
- 例題: 基本3性質 (+ファンデルモンドの定理) のみを用いた行列式の計算
- 基本3性質をよりサイズの大きい行列に移植することで，サイズの大きい行列の行列式を「定義できる」!!
- 行列式の定義: 多重線形性，歪対称性，正規化条件を用いて計算される数として
- 小レポート8 (基本3性質による4次行列式の計算)
提出締切: 11月21日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年11月11日 (火)
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- 2025年11月4日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅱ: 逆行列の求め方
- n 次正方行列の正則性と逆行列の定義 (復習)
- 簡約化を用いた逆行列の求め方
- 問題演習: 逆行列の求め方
- 行列の行基本変形と基本行列の対応
- 正則行列の積は正則行列
- 逆行列の求め方の原理
行列 A を行基本変形で単位行列に変形できたなら，A の左から対応する基本行列の積を掛けると単位行列となる
- 小レポート7 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方)
提出締切: 11月7日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年10月28日 (火) 補講
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の存在と一意性定理の証明
- 行列の簡約化可能性と簡約化の一意性定理 (復習)
- 簡約化可能性の証明: ガウスの消去法のアルゴリズムを (行・列の数に関する) 数学的帰納法に持ち込む
- 簡約化の一意性の証明: 2通りの簡約化は一致する
- 最後の列を除いた行列の簡約化の一意性 → 最後の列以外は簡約化は一致
- ピボットを含まない列が存在するとき → その列を除いた行列の簡約化の一意性から簡約化の最後の列も一致
- ピボットを含まない列が存在しないとき → 区分けして，最後の列が一致することを (ゴリ押し計算で) 示す
- 2025年10月21日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅰ: 連立1次方程式の解法
- 連立1次方程式の行列を用いた表示: 連立1次方程式は1次方程式のベクトル/行列版
- 拡大係数行列の行基本変形による連立1次方程式の解法
- 例題および問題演習: 連立1次方程式の解法
- ルーシェ–カペリ (Rouché–Capelli) の定理
- 係数行列と拡大係数行列の階数が一致するときのみ解が存在
- 解に現れるパラメータの個数は (未知数の総数) – rank A 個
- 小レポート6 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
提出締切: 10月24日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年10月14日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 行列の簡約化: ガウスの消去法
- 戦略: 生き残らせるピボットを選択して (ピボット選択)，その列の残りの成分をピボットを用いて掃き出す (sweep out)
- 例題: 一般の行列の簡約化
- 練習問題: 行列の簡約化
- 小レポート5 (行列の簡約化)
提出締切: 10月17日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年10月7日 (火)
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- 行列の行基本変形と簡約化
- 連立1次方程式とその基本変形
- 行列の行基本変形
- 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義
- 列基本変形 (C1), (C2), (C3) の紹介，基本変形が可逆な操作であること
- 簡約行階段行列
- 簡約行階段行列 (reduced row echelon form, rref) の定義
- 例題: 簡約行階段行列の判定と簡単なケースの簡約化
- 小レポート4 (行基本変形と簡約行階段行列)
提出締切: 10月10日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年9月30日 (火)
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- 行列とその演算 (続)
- 一般の行列
- 一般の行列の定義と用語 (行，列，成分) の説明
- 列ベクトル，行ベクトル，数ベクトル空間の定義
- 一般の行列の演算についての諸注意
- 逆行列および正則行列の定義
- 行列の区分け
- 小レポート3 (一般の行列，行列の区分け)
提出締切: 10月7日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年9月23日 (火) 秋分の日
- 出張のため 休講
- 2025年9月16日 (火)
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- 行列とその演算 (続)
- 2次正方行列の演算 (続)
- 2次正方行列の積 (補足)
- 交換法則はまったく成り立たない!!
- 2次正方行列の積が零行列でも，掛ける前の行列のどちらかが零行列とは限らない (零因子の存在)
- 結合法則とその図形的意味
- 零変換と零行列
- 恒等変換と単位行列
- 逆変換と逆行列
- 逆変換の定義
- 逆変換の例と逆変換を持たない例 (正射影)
- 逆変換の行列表示 (逆行列) の計算
- 逆行列の定義と逆行列の存在条件: 行列式が0にならない
- 小レポート2 (2次正方行列の積と逆行列)
提出締切: 9月21日 (日) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2025年9月9日 (火)
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- 行列とその演算
- 2次正方行列の演算
- 行列の和の定義 —線形変換の和の行列表示として
- 行列のスカラー倍の定義 —線形変換のスカラー倍の行列表示として (詳細は略)
- 線形変換の合成と行列の積
- 線形変換の合成の定義
- 合成変換の行列表示としての行列の積
- 小レポート1 (2次正方行列の和，スカラー倍，積)
提出締切: 9月12日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
講義日程
第3ターム
9月 9日, 16日, 23日 (秋分の日・授業実施日), 30日
10月 7日, 14日, 21日, 28日 (補講日)
11月 4日, 11日 (第3ターム最終授業日 / 試験実施予定)
第4ターム
11月 18日, 25日
12月 2日, 9日, 16日, 23日, 30日
(冬季休暇)
1月 6日, 13日, 20日 (補講日), 27日 (第4ターム最終授業日 / 試験実施予定)
演習日程
第3ターム
9月 8日, 15日 (敬老の日 / 授業実施日), 22日, 29日
10月 6日, 13日 (スポーツの日 / 授業実施日), 20日 (津田塾祭後始末 / 休校日), 27日
11月 3日 (文化の日 / 授業実施日), 10日 (第3ターム授業最終週)
第4ターム
11月 17日, 24日 (勤労感謝の日 / 授業実施日)
12月 1日, 8日, 15日, 22日, 29日 (冬季休暇)
1月 5日, 12日 (成人の日/ 休校日), 19日, 26日 (第4ターム授業最終週)