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数学特論XH / 数学特別講義ⅣA Advanced Topics on Mathematics XH / Special Lecture in Mathematics ⅣA
津田塾大学学芸学部数学科4年 / 大学院理学研究科数学専攻 (水曜1限)
担当: 原 隆
場所: 7号館 3階 7301教室 (⑩ の建物が7号館です)
講義内容 (シラバスより):
ホモロジー代数の基礎事項について入門的な解説を行う
図形 (位相空間) の性質を代数的に取り扱うことを可能にする ホモロジー / コホモロジー homology / cohomology の理論は，位相幾何学における画期的な発明の1つと言っても過言ではないが，ホモロジー / コホモロジーの理論は現代では位相幾何学の枠を越えて，実に様々な場面で活用されている．ホモロジー代数 homological algebra とは，非常に一般的な設定でホモロジー / コホモロジーを研究する分野であり，現代数学における欠かせない道具立ての1つとなっている．
数学特論XH / 数学特別講義IVA では，前半でホモロジー代数が展開される加群の基礎理論について解説する．後半では圏と関手の一般論について解説し，ホモロジー代数学が展開される舞台であるアーベル圏の概念を導入する．本格的なホモロジー代数の内容は，後期に開講される数学特論XI / 数学特別講義IVBで扱う予定なので，併せて履修することを強く薦める．
教科書: 特に指定しない
参考書: 松田茂樹著『加群とホモロジー代数入門』(森北出版) など
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 5月14日
5月14日の講義内容を更新しました．
- 5月7日
5月7日の講義内容を更新しました．
- 5月2日
4月30日の講義内容を更新しました．
- 4月25日
4月23日の講義内容を更新しました．
- 4月16日
4月16日の講義内容を更新しました．
- 初回の講義は 4月16日 (水) の予定です．
講義内容
ガイダンス資料
- 2025年5月14日 (水)
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- Ⅰ. 加群 (続)
- 普遍性 (続)
- 加群の直積と普遍性
- 直積の双対概念としての直和: 普遍性を満たす加群として
- 直積，直和の一意性 — 普遍性を用いて
- 普遍性で特徴付けられる加群の例: 準同型写像の核と余核
- 加群のテンソル積
- 物理的な背景: 双線形性を持つ物理量
- 加群の双線形写像の定義と例 (内積，外積)
- 2025年5月7日 (水)
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- Ⅰ. 加群 (続)
- 完全系列と図式追跡 (diagram chasing) (続)
- 蛇の補題: 主張と連結準同型写像の定義，well-definedness，証明のスケッチ
- 蛇の補題の例
- 普遍性
- 普遍性とは — 「ある特徴を持つものの中で “最も偉いもの”」
- 例: 加群の直和と直積
- 2025年4月30日 (水)
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- Ⅰ. 加群 (続)
- 完全系列と図式追跡 (diagram chasing) (続)
- 例: 5項補題と図式追跡による証明 (続; 全射性の証明)
- 準同型写像の余核，余像の定義と図式による解釈
- 短完全系列，長完全系列の短完全系列による分解
- 蛇の補題: 主張と連結準同型写像の定義，well-definedness
- 補足資料 (蛇の補題の連結準同型写像について)
- レポート課題1 単位取得希望者は，5/21 (水) の授業までに直接提出してください．
- 2025年4月23日 (水)
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- Ⅰ. 加群 (続)
- 部分加群と剰余加群
- 部分加群の定義と例 (対角加群など)
- 剰余加群の定義と例
- 準同型写像と準同型定理
- (加群の) 準同型写像および同型写像の定義
- 準同型写像の核と例
- 準同型定理の主張と例
- 完全系列と図式追跡 (diagram chasing)
- 図式の完全性，完全系列の定義
- 可換図式の定義
- 図式上での写像の性質の扱い: 完全性，全射性，単射性
- 例: 5項補題と図式追跡による証明 (単射性のみ; 全射性は次回)
- 2025年4月16日 (水)
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- 導入: 整数の世界の拡大と整数論
- 位相幾何学におけるホモロジー群 / コホモロジー群
- (コ) チェイン複体および (コ) ホモロジー群の定義
- 多彩な (コ) ホモロジー論
- 講義の目標: 複体および (コ) ホモロジー群の構成の一般的な “レシピ” を概観する
- Ⅰ. 加群
講義日程
前期
4月 16日 (数学科フレッシャーズデー), 23日, 30日
5月 7日, 14日, 21日, 28日
6月 4日, 11日 (第1ターム補講日), 18日 (第1ターム授業最終週), 25日
7月 2日 (出張のため 休講 予定), 9日，16日，23日，30日