ベクトルと行列 (原)

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ベクトルと行列 Vectors and Matrices

津田塾大学数学科 1年 (金曜3限 / 金曜4限)

担当: 原隆

場所: 1号館 1111教室

講義内容 (シラバスより):
高校『数学B』で学習したベクトルの単元の発展として、平面・空間ベクトルおよび2次・3次の行列について学習する。扱う内容はベクトルの内積・外積、2次・3次の行列式とその図形的解釈、空間図形の方程式、平面 (および空間) の線形変換と行列との対応などである。

平面ベクトルや空間ベクトルのような “図の描ける世界” において、「線形性」という抽象的な性質がどのように活用されるかを予め体験しておくことで、1年次第3ターム以降に開講される『線形代数学Ⅰ, Ⅱ』の理解がより深まるだろう。

教科書: 特に指定しない。参考資料のプリントを配布する。

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

7月19日 7月19日 (金) の講義内容を更新しました。
7月12日 7月12日 (金) の講義内容を更新しました。
7月5日 7月5日 (金) の講義内容を更新しました。
6月28日 6月28日 (金) の講義内容を更新しました。
初回講義は 6月28日 (金) の予定です。

参考資料一覧

講義のガイダンス資料 ※ 予め目を通しておいてください!!

参考資料1 演習問題解答 (ベクトルの内積と平行四辺形の面積)
参考資料2 演習問題解答 (空間ベクトルの外積と平行六面体の体積)
参考資料3 演習問題解答 (空間図形の方程式)
参考資料4 演習問題解答 (ベクトルの線形変換と行列)

講義内容

2024年7月19日 (金)

平面ベクトルの線形変換と2次正方行列
- 平面ベクトルの線形変換
  - 線形変換の定義 — 特に「線形性」に注目して
  - 線形変換の例: 回転変換、鏡映変換 (折り返し)、正射影
- 線形変換とその行列表示
  - 線形変換でベクトルが移る先は e_x, e_y の移る先が分かればすべて決まる (!! )
  - 線形変換の行列表示の定義と例
  - 行列とベクトルの積の定義と線形変換の行列表示
  - 線形変換と (正方) 行列との対応: 「線形変換」と「行列」は表裏一体
    線形変換を調べること=行列を調べること!
  - 例題: 行列とベクトルの積の計算, 回転行列と点の回転
  - 線形変換の図形的意味
小レポート4 (平面ベクトルの線形変換)
提出締切: 7月23日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2024年7月12日 (金)

空間図形の方程式
- 空間直線の方程式
  - 直線を1本に定めるデータ: 方向ベクトルと通る点 (の位置ベクトル)
  - 直線のベクトル方程式、直線の媒介変数表示 (パラメータ表示)、直線の方程式
  - 例題と演習: 空間直線の方程式
- 平面の方程式
  - 平面を1つに定めるデータの与え方は2通りある
    1. 平面と平行な (互いに平行でない) 2ベクトル + 通る1点の位置ベクトル法線ベクトルと通る点 (の位置ベクトル) → 媒介変数表示へ
    2. 平面と直交するベクトル (法線ベクトル) + 通る1点の位置ベクトル法線ベクトルと通る点 (の位置ベクトル) → 今回はこっちを扱う
  - 法線ベクトルを用いた平面のベクトル方程式
    「法線ベクトルは平面上のベクトルと直交」→ 内積=0
  - 例題と演習: 平面の方程式
  - 命題: x,y,zの1次方程式は平面を表す
    ※ 空間内の直線は2元連立1次方程式 (2つの平面の交線) で表されること
小レポート3 (空間図形の方程式)
提出締切: 7月16日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2024年7月5日 (金)

ベクトルの外積
- 外積の定義と性質
  - 空間ベクトルの外積の定義
  - ベクトルの外積の性質: 外積の双線形性，歪対称性
  - 系 (歪対称性の) : 「同じベクトルの外積は零ベクトル」
- ベクトルの成分表示と外積: 双線形性を用いて
  - 成分表示されたベクトルの外積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開” によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
    — 内積の成分表示とほぼ同様の計算で導出出来ることに注目しよう!!
  - 例題: ベクトルの外積
- 平行六面体の体積と3次行列式
  - 3つの空間ベクトルが張る平行六面体
  - 平行六面体の体積 — スカラー3重積 (の絶対値) として
  - 補足 3次行列式 (スカラー3重積) の符号の意味: 右手系か左手系か？
  - 3次行列式の定義: 「3次行列式=スカラー三重積」
  - 3次行列式の計算法: サラスの公式 (Sarrus's rule)
- 小レポート2 (ベクトルの外積，平方六面体の体積と3次行列式)
  提出締切: 7月9日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2024年6月28日 (金)

ベクトルの内積
- 内積の定義と性質
  - 内積の定義 (復習)
  - 内積の図形的意味: 「正射影を取ったあとで “大きさ” の積を取る」
  - 内積の性質 — 特に双線形性と対称性を中心に
- ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
  - 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
  - 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開” によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
  - 線形性を用いることで幾何的な問題を代数的に扱ってしまえるのが “線形性のマジック”
- 平行四辺形の面積と2次行列式
  - ベクトルの張る平行四辺形の面積
    - ベクトルの張る平行四辺形とは
    - 平行四辺形の面積公式 — 内積の応用として
    - 平行四辺形の面積公式: 問題演習
  - 平面ベクトルと2次行列式
    - 平面ベクトルの成分表示と平行四辺形の面積
    - 2次行列式の定義
    - 例: 平行四辺形の面積と2次行列式
    - 2次行列式の符号の意味 — ベクトルの位置関係 (最初のベクトルから見て反時計回りか時計回りか?)
      ※ 証明は参考資料をご覧ください。
講義のガイダンス
小レポート1 (ベクトルの内積，平方四辺形の面積と2次行列式)
提出締切: 7月2日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください。

講義日程

第2ターム (最終日以外各2コマ)

6月 28日
7月 5日, 12日, 19日, 26日 (第2ターム最終週 / 学期末考査，3限のみ)