数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (火曜1限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S107教室

講義内容:       ※ 今年度は第3, 4タームの講義は 奥村喜晶先生 が担当されます!!
『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後，加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する．凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質，単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない．参考資料のプリントを配布する予定．
参考書: 三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です．

お知らせ / 更新履歴

• 6月5日   6月4日の講義内容を更新しました．第1タームの最終授業となります (6月11日は補講日のため，本講義は実施しません)．
• 5月28日   5月28日の講義内容を更新しました．
• 5月21日   5月21日の講義内容を更新しました．
• 5月14日   5月14日の講義内容を更新しました．
• 5月7日   5月7日の講義内容を更新しました．
• 4月30日   4月30日の講義内容を更新しました．
• 4月23日   4月23日の講義内容を更新しました．
• 4月16日   4月16日の講義内容を更新しました．
• 4月12日   講義の参考資料をアップロードしました．
• 初回の講義は 4月16日 (火) です．

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)
6. 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
7. 参考資料7 演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
8. 参考資料8 演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)

講義内容

2024年6月11日 (火)

補講日につき 授業なし

2024年6月4日 (火)

• 正方行列のジョルダン標準形 (続)
  • 最小多項式とジョルダン標準形
    • 相似な行列の最小多項式
    • 最小多項式とジョルダン標準形の関係
    • 例題: 6次正方行列の最小多項式とジョルダン標準形
• 小レポート8 (7次正方行列のジョルダン標準形と最小多項式)
  提出締切: 6月7日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

それでは学期末考査頑張ってください!!

2024年5月28日 (月)

• 第1タームの学期末考査・成績評価について   資料
• 正方行列のジョルダン標準形 (続)
  • 演習問題: ジョルダン標準形の求め方
• 小レポート7 (4次正方行列のジョルダン標準形1)
  提出締切: 5月31日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年5月21日 (火)

• 正方行列のジョルダン標準形
  • ジョルダン細胞の定義
  • ジョルダン標準形の存在定理
  • 例題: 特性多項式の形からとり得るジョルダン標準形の形を予測する
  • 注意1: 対角化可能な行列は，対角化がジョルダン標準形
  • 注意2: 複素行列まで拡げて考えると，ジョルダン標準形は必ず存在する
  • ジョルダン標準形を求めるための方針: 広義固有空間ごとにジョルダン基底を構成する
  • 例題: 3次正方行列のジョルダン標準形
• 小レポート6 (3次正方行列のジョルダン標準形)
  提出締切: 5月24日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年5月14日 (火)

• 羃零行列の標準形 (続)
  • 例題: 羃零行列の標準形
    特にジョルダン鎖，ジョルダン基底の構成の仕方に焦点を当てて
  • 演習問題: 羃零行列の標準形
• 小レポート5 (5次羃零行列の標準形)
  提出締切: 5月17日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年5月7日 (火)

• 冪例行列の標準形
  • 羃零行列の定義と特徴付け: 固有値が0のみである行列
  • 羃零行列の標準形の存在定理
  • 羃零行列の異なる標準形の個数は行列のサイズの分割数
  • 羃零行列に関するジョルダン鎖の定義
• 小レポート4 (ジョルダン鎖の線形独立性)
  提出締切: 5月10日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年4月30日 (火)

• 広義固有ベクトルと広義固有空間分解
  • 固有ベクトル，固有空間の定義 (復習)
  • 広義固有ベクトルの定義
  • 広義固有空間の定義と性質，広義固有空間のフィルター構造
  • 広義固有空間，広義固有ベクトルの例
• 小レポート3 (4次正方行列の広義固有空間)
  提出締切: 5月3日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年4月23日 (火)

• ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式
  • 行列の多項式への代入: 定数項に単位行列をつける
  • ケーリー–ハミルトンの定理の主張
  • 2次 / 3次正方行列の場合のケーリー–ハミルトンの定理
  • 最小多項式の定義と基本性質
    1. 最小多項式は特性多項式を割り切る
    2. 最小多項式は (T-固有値) の形の1次式の相異なる固有値に関する積で割り切れる
  • 例題: 最小多項式の求め方
  • 対角化可能性と最小多項式
• 小レポート2 (4次正方行列の最小多項式と対角化可能性)
  提出締切: 4月26日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年4月16日 (火)

• 行列の対角化可能性
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
  • 講義の目的: 対角化不可能な行列を “対角化っぽく” 変形する
• ガイダンス (講義の成績の付け方，Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料
• 小レポート1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月19日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

講義日程

第1ターム

4月   2日 (春季休校期間), 9日 (オリエンテーション期間), 16日, 23日, 30日
5月   7日, 14日, 21日, 28日
6月   4日, 11日 (補講日), 18日 (第1ターム授業最終週)