4年セミナー   Seminar Ⅳ

津田塾大学学芸学部 数学科 4年 (火曜3, 4限)

担当: 原 隆

場所: 3限 7号館7404教室   4限 7号館 7311教室

講義内容 (シラバスより):
代数方程式の根の公式にまつわる話題を輪講形式で学習する．また，学生生活の総決算として，これまでに学習してきた知識をもとに卒業研究に取り組む．

テキストを通して扱われる話題は代数方程式である．中学校で学習する2次方程式の根の公式を皮切りに，3次方程式の根の公式はタルターリア，カルダーノ等によって，4次方程式の根の公式はフェラーリによって発見されるに至ったが，5次以上の代数方程式の根の公式は長らく発見されることはなかった．そしてついにルフィニおよびアーベルによって，5次以上の代数方程式には (冪根をとる操作と加減乗除により記述される) 根の公式が存在しないことが示されるに至ったのである．現在では体論 (ガロワ理論) の一環として扱われることの多い話題であるが，このテキストセミナーでは代数方程式そのものを主役に設定し，根の対称性の観点からルフィニ，アーベルの定理の理解を目指す．さらには，「5次方程式には (冪根による) 根の公式は存在しない」という結果に留まらず，楕円関数による5次方程式の根の記述 (エルミートの定理) といったより進んだ興味深いテーマについても触れる予定である．テキストセミナーに参加しながらそれぞれ興味のあるテーマを探し，(必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で，自由に卒業論文にまとめてもらいたい．

教科書: 今野 一宏著『代数方程式のはなし A Dogmatic Introduction to Algebraic Equations』内田老鶴圃

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 4月30日 4月30日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
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• 4月23日 4月23日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月17日 4月16日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月16日   セミナーの注意事項等のプリントをアップロードしました。
• セミナーの初回は 4月16日 (火) です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2024年4月30日 (火)

• 第3章 3次方程式 (続)
  • 3.3 残りの根は?
    • Y³=a の形の3次方程式の解
    • 3次方程式の3つの解 — 1の3乗根 ω を用いて
    • カルダノの公式の計算例とボンベリの方法
  • 3.4 カルダノの公式の弱点
    • カルダノの公式の弱点: 実根が虚数を用いて実現されている
    • ボンベリの方法: 複素数を “形式的に” 導入して3乗根を計算する
    • ヴィエトの方法: 3角関数の3倍角の公式を利用する
• 第4章 4次方程式
  • 4.1 フェラーリの方法

2024年4月23日 (火)

• 第2章 ギリシャの数学 (続)
  • 2.2 ギリシャの3大作図問題 (続)
    目盛のない定規とコンパス以外のものを用いた角の3等分の作図法: 折り紙を用いる方法
  • 2.3 ユークリッドの互除法
    
    • 互除法の原理: a≡a' (mod b) ならば GCD(a,b)=GCD(a',b)
    • ユークリッドの互除法のアルゴリズム
    • 最大公約数の線形結合表示 (ベズーの補題)
• 第3章 3次方程式
  • 3.1 デル・フェッロとタルターリャの解法
    • デル・フェッロ，タルターリャの解法: p³ と q³ を根に持つ2次方程式に帰着する
  • 3.2 カルダノ変換
    • カルダノ変換: 次数が高い方から2番目の項を消す方法

2024年4月16日 (火)

• 第1章 2次方程式
  • 1.1 縄張師   エジプト縄と等周長方形
  • 1.2 バビロニアの秘術   バビロニアにおける2次方程式の解法
  • 1.3 バビロニアの平方根   平方根の近似値をどうやって計算するか: 中間値と比較する
  • 1.4 開平法   開平法による平方根の計算方法
• 第2章 ギリシャの数学
  • 2.1 ピタゴラス教団   正5角形の作図法など
  • 2.2 ギリシャの3大作図問題   立方倍積問題，角の3等分問題，円積問題
    目盛のない定規とコンパス以外のものを用いた角の3等分の作図法: 目盛のある定規を用いる方法，リマソン (蝸牛曲線) を用いる方法 [折り紙を用いる方法は次回]

セミナー日程

第1ターム

4月   2日 (春季休暇), 9日 (オリエンテーション期間), 16日, 23日, 30日
5月   7日, 14日, 21日, 28日
6月   4日, 11日 (補講日), 18日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   3日, 10日, 17日, 24日
10月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日 (補講日)
11月   5日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   12日 (休校日), 19日, 26日
12月   3日, 10日, 17日, 24日, 31日 (冬期休暇)
1月   7日, 14日, 21日 (補講日), 28日 (第4ターム授業最終週)