代数学特論ⅢA / 代数学特論ⅢB   Topics in Algebra ⅢA / Topics in Algebra ⅢB

津田塾大学大学院理学研究科 数学専攻 修士課程1年 (木曜2, 3限)

担当: 原 隆

場所: 研究室

講義内容 (シラバスより):
局所体のアーベル拡大を統制する局所類体論について学修する．代数学特論ⅢAでは，局所類体論の主定理の定式化および証明に向けた準備として，中心的単純環とブラウアー群および，有限群のコホモロジーの基礎理論を修得することを目指す．代数学特論ⅢBでは，いよいよ局所類体論の主 定理を定式化した上で，その証明を行う．時間が許せば，局所体のアーベル拡大の明示的構成を与えるルビン- テイト理論も扱う．

教科書: 斎藤 秀司著『共立講座21世紀の数学<20> 整数論』共立出版

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 6月12日 6月12日 (水) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月6日 6月6日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月30日 5月30日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月23日 5月23日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月16日 5月16日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月2日 5月2日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月25日 4月25日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月18日 4月18日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月18日   セミナーの注意事項等のプリントをアップロードしました。
• セミナーの初回は 4月18日 (木) の予定です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2024年6月12日 (水)

• 第4章 単純環の一般論 (続)
  • 4.3 シュバレーの定理とその応用
    • シュバレーの定理とその証明
    • シュバレーの定理の応用
  • 4.4 アルティン–ウェープルの定理とスコレム–ネーターの定理
    • アルティン–ウェープルの定理
    • スコレム–ネーターの定理

2024年6月6日 (木)

• 第4章 単純環の一般論
  • 4.1 単純環の構造定理
    • 定理の主張: 多元環は斜体上の行列環と同型
    • シューアの補題: 既約加群の自己準同型環は斜体
    • 単純環はその自己準同型環と同型
    • 単純環上の加群の被約分解
    • 構造定理の証明
  • 4.2 多元環のテンソル積
    • テンソル積の一般論

2024年5月30日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群 (続)
  • 3.4 基本双対写像 (続)
    • 指標群の制限写像と余制限 (移送) 写像
    • ノルム剰余記号と制限/余制限写像
  • 3.5 ノルム剰余記号 [ , ]_K,n,ζ と [ , ]_K,p
    • ノルム剰余記号 [ , ]_K,n,ζ の定義と基本性質
    • ミルナー K₂ 群の定義と性質
    • ミルナー K₂ 群の普遍性，メルキュリエフ–ススリンの定理
    • ノルム剰余記号 [ , ]_K,p の定義と基本性質 (標数 p の場合)

2024年5月23日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群 (続)
  • 3.4 基本双対写像 (続)
    • 絶対ガロワ群の指標群とその性質
    • 基本双対写像の定義，双線型性
    • 指標群の制限写像と余制限 (移送) 写像

2024年5月16日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群 (続)
  • 3.3 巡回多元環とブラウアー群 (続)
    • ブラウアー群と体の変更の整合性
    • ブラウアー群とノルム剰余群の同型の証明
  • 3.4 基本双対写像
    • 絶対ガロワ群の開部分群がある体の絶対ガロワ群と一致すること (無限次ガロワ理論)

2024年5月9日 (木)

休講

2024年5月2日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群 (続)
  • 3.2 巡回多元環 (続)
    • 巡回多元環が行列環と同型となるための条件
  • 3.3 巡回多元環とブラウアー群
    • 相対ブラウアー群はノルム剰余群と同型
    • ブラウアー群における巡回多元環の位数
    • ブラウアー群と体の変更の整合性 (途中まで)

2024年4月25日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群 (続)
  • 3.1 単純群とブラウアー群 (続)
    • 分解体，制限写像の定義
    • 余制限写像 (移送写像) の存在定理   証明は第6章
    • 単純環の基本性質，ブラウアー群の有限性
  • 3.2 巡回多元環
    • 巡回多元環の定義
    • 巡回多元環が中心的であること，巡回多元環の分解体

2024年4月18日 (木)

• 第3章 体のブラウアー群とガロア群の指標群
  • 3.1 単純群とブラウアー群
    • 単純環と中心的単純環の定義
    • 単純環の構造 (斜体上の行列環と同型) — 証明は第4章で
    • 中心的多元環の同値関係と同値類
    • ブラウアー群 Br(F) の定義

セミナー日程

前期

4月   4日 (春季休校期間), 11日 (オリエンテーション期間), 18日, 25日
5月   2日, 9日, 16日, 23日
6月   30日, 13日 (休校日), 20日 (第1ターム授業最終週), 27日
7月   4日, 11日, 18日, 25日
8月   1日