数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (月曜1限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S109教室

講義内容:
『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後，加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する．凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質，単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない．参考資料のプリントを配布する予定．
参考書: 有木進著『加群からはじめる代数学入門 —線形代数学から抽象代数学へ』日本評論社 (第3ターム以降)
なお，『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』のテキスト (三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館; 第1ターム) および『代数入門』『代数学』のテキスト (松坂和夫『代数系入門』岩波書店; 第3ターム以降) でも本講義の内容は扱われているので，必要に応じて参照のこと．

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です．

お知らせ / 更新履歴

• 1月15日   1月15日の講義内容を更新しました．
• 12月18日   12月18日の講義内容を更新しました．年内の授業は以上です．よいクリスマス & お正月を!!
• 12月4日   12月4日の講義内容を更新しました．次週 (12月11日) は出張のため 休講 です!! お間違えなく!!
• 11月27日   11月27日までの講義内容を更新しました．
• 11月14日   第4タームの講義の参考資料をアップロードしました (解答はまだ未完成)．
• 11月13日   11月13日の講義内容を更新しました．
• 11月6日   第3ターム末考査を実施しました．
• 10月30日   10月30日の講義内容を更新しました．
• 10月16日   10月16日の講義内容を更新しました．次週 (10月23日) は津田塾祭後始末のため 休校日 です!!
• 10月9日   10月9日の講義内容を更新しました．
• 10月2日   10月2日の講義内容を更新しました．
• 9月25日   9月25日の講義内容を更新しました．
• 9月18日   9月18日の講義内容を更新しました．
• 9月11日   9月11日の講義内容を更新しました．
• 9月4日   9月4日の講義内容を更新しました．
• 9月1日   第3タームの講義の参考資料をアップロードしました．
• 6月19日   6月19日の講義内容 (試験) を更新しました．
• 6月5日   6月5日の講義内容を更新しました．第1タームの最終授業となります (6月12日は補講日のため，本講義はありません)．
• 5月29日   5月29日の講義内容を更新しました．
• 5月22日   5月22日の講義内容を更新しました．
• 5月15日   5月15日の講義内容を更新しました．
• 5月10日   5月8日の講義内容を更新しました．
• 5月1日   5月1日の講義内容を更新しました．
• 4月24日   4月24日の講義内容を更新しました．
• 4月17日   4月17日の講義内容を更新しました．
• 4月7日   第1タームの講義の参考資料をアップロードしました．
• 初回の講義は 4月17日 (月) の予定です．

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第4ターム

1. 参考資料1 (単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理)
2. 参考資料2 (単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の証明)
3. 参考資料3 演習問題解答 (正方行列のフロベニウス標準形)
4. 参考資料4 演習問題解答 (単因子論とジョルダン標準形)

第3ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (ユークリッド整域とその性質，一般化ユークリッドの互除法)
2. 参考資料2 演習問題解答 (環のイデアルと剰余環，中国式剰余定理)
3. 参考資料3 演習問題解答 (環上の加群と準同型写像，準同型定理)
4. 参考資料4 演習問題解答 (単因子論の基本定理，整数係数行列のスミス標準形)
5. 参考資料5 演習問題解答 (多項式係数行列のスミス標準形)
6. 参考資料6 演習問題解答 (基本行列と基本変形，自由加群の間の準同型写像の核・余核)
7. 参考資料7 演習問題解答 (行列式因子と単因子)
8. 参考資料8 (単因子論の基本定理の証明: 係数環がユークリッド整域の場合)   試験範囲外
9. 参考資料8⁺ (単因子論の基本定理の証明: 係数環が一般の単項イデアル整域の場合)   試験範囲外

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)
6. 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
7. 参考資料7 演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
8. 参考資料8 演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)

講義内容

2024年1月15日 (月)

• 単因子論の応用 (続)
  • V_A の K[x]-加群としての構造
    • 定理: V_A=K[x]ⁿ/Im(xI_n-A)
    • 定理の証明の概略: 自然な全射 π: K[x]ⁿ→V_A に準同型定理を適用して，Ker π=Im(xI_n-A) を示す
    • 応用: ケーリー–ハミルトンの定理の V_A=K[x]ⁿ/Im(xI_n-A) を用いた証明
• 小レポート6 (4次正方行列のフロベニウス標準形・ジョルダン標準形)
  提出締切: 1月21日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年1月8日 (月)   成人の日

休講日

2024年1月1日 (月)   元日

冬季休講のため 休講

2023年12月25日 (月)

冬季休講のため 休講

2023年12月18日 (月)

• 単因子論の応用 (続)
  • 単因子論とジョルダン標準形
    • 数ベクトル空間への多項式環の作用 (復習)
    • ジョルダン標準形を求める際の仮定: 特性多項式が K[x] で1次式の積に分解する
    • ジョルダン標準形の求め方: K[x]ⁿ/Im(xI_n-A) を K[x]/(x-a)^e の直和に分解して (単因子論+中国式剰余定理)，各直和成分での x 倍写像を基底 (x-a)^e-1, (x-a)^e-1, … , x, 1 で行列表示する
    • 例題: 行列のジョルダン標準型
    • 問題演習: 単因子論を用いたジョルダン標準形の計算
    • 仮定について: K が複素数体ならば OK (代数学の基本定理)
      ※ 一般に K が代数的閉体ならば OK
• 小レポート5 (3次正方行列のジョルダン標準形)
  提出締切: 12月22日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年12月11日 (月)

出張のため 休講

2023年12月4日 (月)

• 単因子論の応用 (続)
  • ベクトル空間への多項式環の作用
    • 定義: x 倍 = A 倍によって，Kⁿ に K[x]-加群の構造を入れる
    • 定理: V_A=K[x]ⁿ/Im(xI_n-A)   証明は年明け
  • 行列のフロベニウス標準形
    • フロベニウス標準形の定義: K[x]ⁿ/Im(xI_n-A) を K[x]/(多項式) の直和に分解して (単因子論)，各直和成分での x 倍写像を基底 1, x, … で行列表示する
    • 例題: 正方行列のフロベニウス標準型
• 小レポート4 (4次正方行列のフロベニウス標準形)
  提出締切: 12月8日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月27日 (月)

• 単因子論の応用 (続)
  • 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理: 証明の概略と例
    • 同型の存在証明の概略
      有限生成性から自由加群からの全射を構成し，それを自由加群の間の線形写像の余核とみなす
    • 例題: 有限アーベル群の同型類の決定
  • K[x]/(f(x)) における x 倍写像の行列表示
    • V=K[x]/(f(x)) が d=deg f(x) 次元ベクトル空間であること
    • Case 1. 1, x, ..., x^d-1 に関する行列表示
    • Case 2. (x-a)^d-1, (x-a)^d-2, ..., (x-a), 1 に関する行列表示   (f(x)=(x-a)^a の場合)
• 小レポート3 (有限アーベル群の分類 / K[x]/(f(x)) 上の x 倍写像の表現行列)
  提出締切: 12月1日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月20日 (月)

• 単因子論の応用 (続)
  • 単項イデアル整域上の自由加群の部分加群 (続)
    • 定理: 単項イデアル整域上の自由加群の部分加群は自由加群 の証明の概略
      加群の分裂を利用した，階数に関する数学的帰納法
    • 命題: 自由加群のベクトルが生成する部分加群の基底 の証明の概略
      「基本変形=基本行列を掛ける操作」に基づく原理の解説
    • 例題 (詳細は Google Classroom の解説動画を参照)
• 小レポート2 (R加群の分裂と直和分解)
  提出締切: 11月25日 (土) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月13日 (月)

• 単因子論の応用
  • 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
    • 定理の主張の紹介
  • 単項イデアル整域上の自由加群の部分加群
    • 定理: 単項イデアル整域上の自由加群の部分加群は自由加群
    • 例: 1階の自由加群の部分加群
    • 例: 係数環 R が単項イデアル整域でないときには，部分加群が 0 とも R とも同型にならないことがある
    • 命題: 係数環上線形独立な元で生成される加群は自由加群
    • 命題: 自由加群のベクトルが生成する部分加群の基底
    • 例題 (詳細は Google Classroom の解説動画を参照)
• 小レポート1 (単項イデアル整域上の自由加群の部分加群)
  提出締切: 11月17日 (金) 23:59   16日から延期します Google Classroom に提出してください．

2023年11月6日 (月)

• 第3ターム学期末考査   問題   略解

2023年10月30日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 単因子論の基本定理の証明
    • 主張の確認
    • スミス標準形への変形可能性と単因子の一意性の証明の概要
    • 行列の最大公約元の構成の概略: 成分のユークリッドノルムの最小値を小さくしていく
      → 無限降下法へ
• 小レポート8 (ガウス整数を成分に持つ行列の単因子)
  ※ 10/23 (月) 出題   提出締切: 10月30日 (月) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年10月23日 (月)

休校日 (津田塾祭後始末)

2023年10月16日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 行列式因子と単因子
    • 小行列式と行列式因子の定義
    • 定理: 単因子は行列式因子の比として求められる
    • 演習問題: 行列式因子の計算による単因子の導出
      …… 単因子を求めるだけなら，スミス標準形を求める方が圧倒的に早い!!
    • 定理 → 単因子の (単元倍の違いを除いた) 一意性
    • 応用: 対角行列の単因子の計算
    • 定理の証明の鍵: 行列式因子は基本変形によって単元倍しか変わならい (詳細は参考資料7参照)
• 小レポート7 (行列式因子と単因子)
  提出締切: 10月19日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年10月9日 (月)   スポーツの日

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 自由加群間の準同型写像の核と余核
    • 加群の準同型写像の核，像，余核，(余像) の定義
    • 行列のスミス標準形と準同型写像の核・余核との関係
    • 練習問題: 行列のスミス標準形と準同型写像の核・余核
    • 基本変形と基本行列の対応
    • 証明の方針: 基本変形に対応するユニモジュラー行列が核・余核の間の同型を誘導する
• 小レポート6 (自由加群の間の準同型写像の核と余核)
  提出締切: 10月12日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年10月2日 (月)   スポーツの日

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 行列の基本変形とスミス標準形 (続)
    • 多項式係数行列のスミス標準形の求め方: 基本変形で “次数を下げて” 掃き出し
• 小レポート5 (多項式係数行列のスミス標準形と単因子)
  提出締切: 10月5日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年9月25日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 行列の基本変形とスミス標準形
    • 6つの基本変形の定義とその可逆性
      ※ 行 / 列のスカラー倍の際には単数倍しか許されない!!
    • スミス標準形の存在と一意性定理，単因子の定義
  • 整数係数行列のスミス標準形と単因子
    • 例題: 整数係数行列のスミス標準形の求め方: “行列に対するユークリッドの互除法”
• 小レポート4 (整数係数行列のスミス標準形と単因子)
  提出締切: 9月28日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年9月18日 (月)   敬老の日

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 環上の加群と準同型
    • 環上の加群の (粗い) 定義，ベクトル空間との違い (係数環が体か否か)
    • 加群の例: 自由加群，捩れ加群，およびその混交型
    • 加群の準同型写像の定義
    • 自由加群の間の準同型写像が行列を用いて表されること (詳細は『線形代数学Ⅱ (演習付)』とまったく同様)
    • 同型写像とユニモジュラー行列
• 小レポート3 (加群と準同型写像)
  提出締切: 9月21日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年9月11日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • イデアルと剰余環
    • イデアルの定義と例，ユークリッド整域は単項イデアル整域であること
    • 環準同型写像とその核，像
    • 環準同型定理と中国式剰余定理
    • 多項式環を単項イデアルで割った剰余環の計算
• 小レポート2 (多項式環の剰余環の計算)
  提出締切: 9月14日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年9月4日 (月)

• 環上の加群と単因子論
  • ベクトル空間 (線形代数) と加群 (代数学) の違い……係数が体か環か
  • 環… 乗法に関する単逆元の存在が保障されていない!!
  • ユークリッド整域と (一般化) ユークリッドの互除法
    • ユークリッド整域の定義   “余りのある割り算” が定義された環
    • ユークリッド整域の例: 有理整数環 Z, 体上の多項式環 K[x]
    • 定理: ユークリッド整域では，ユークリッドの互除法により最大公約元が求められる
• 小レポート1 (ユークリッド整域と一般化ユークリッドの互除法)
  提出締切: 9月7日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

†       †       †

2023年6月19日 (月)

• 第1ターム学期末考査   問題   略解

2023年6月12日 (月)

(補講日につき授業なし)

2023年6月5日 (月)

• 正方行列のジョルダン標準形 (続)
  • 広義固有空間のジョルダン基底とジョルダン標準形の関係
  • 例題: 10次正方行列のジョルダン標準形
• 小レポート8 (4次正方行列のジョルダン標準形2)
  提出締切: 6月8日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

それでは学期末考査頑張ってください!!

2023年5月29日 (月)

• 第1タームの学期末考査・成績評価について   資料
• 正方行列のジョルダン標準形 (続)
  • 演習問題: ジョルダン標準形の求め方
• 小レポート7 (4次正方行列のジョルダン標準形1)
  提出締切: 6月1日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年5月22日 (月)

• 正方行列のジョルダン標準形
  • ジョルダン細胞の定義
  • ジョルダン標準形の存在定理
  • 注意1: 対角化可能な行列は，対角化がジョルダン標準形
  • 注意2: 複素行列まで拡げて考えると，ジョルダン標準形は必ず存在する
  • ジョルダン標準形を求めるための方針: 広義固有空間ごとにジョルダン基底を構成する
  • 例題: 3次正方行列のジョルダン標準形
• 小レポート6 (5次羃零行列の標準形 2)
  提出締切: 5月25日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年5月15日 (月)

• 羃零行列の標準形 (続)
  • ジョルダン鎖が線形独立となることについて (補足)
  • 例題: 羃零行列の標準形
    特にジョルダン鎖，ジョルダン基底の構成の仕方に焦点を当てて
• 小レポート5 (5次羃零行列の標準形)
  提出締切: 5月18日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年5月8日 (月)

• 広義固有空間分解定理
  • 定理の主張と意味
  • 各広義固有空間の基底を “巧く&rdquo 定めてジョルダン標準形を作る
• 冪例行列の標準形
  • 羃零行列の定義と特徴付け: 固有値が0のみである行列
  • 羃零行列に関するジョルダン鎖の定義
• 小レポート4 (ジョルダン鎖の線形独立性)
  提出締切: 5月11日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年5月1日 (月)

• ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式 (続)
  • 対角化可能ならば最小多項式が異なる1次式の積となることの説明
    固有ベクトルからなる基底を持つため，基底のどのベクトルもある (A-λ_kI_n) で消える
• 広義固有ベクトルと広義固有空間分解
  • 広義固有ベクトルの定義
  • 広義固有空間の定義と性質，広義固有空間のフィルター構造
  • 広義固有空間，広義固有ベクトルの例
• 小レポート3 (4次正方行列の広義固有空間)
  提出締切: 5月4日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年4月24日 (月)

• ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式
  • 行列の多項式への代入: 定数項に単位行列をつける
  • ケーリー–ハミルトンの定理の主張
  • 2次 / 3次正方行列の場合のケーリー–ハミルトンの定理
  • 対角化可能性と最小多項式
  • 最小多項式の定義と基本性質
    1. 最小多項式は特性多項式を割り切る
    2. 最小多項式は (T-固有値) の形の1次式の相異なる固有値に関する積で割り切れる
  • 最小多項式の基本性質の証明 (スケッチ)
• 小レポート2 (4次正方行列の最小多項式と対角化可能性)
  提出締切: 4月27日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．
※ 次週 (5月1日) は 通常授業日 なので要注意!!

2023年4月17日 (月)

• ガイダンス (講義の成績の付け方，Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料   ※ Google Classroom のクラスコードが分からない方は個別にご連絡ください．
• 行列の対角化可能性
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
• 小レポート1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月20日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください．

講義日程

第1ターム

4月   3日 (春季休校期間), 10日 (オリエンテーション期間), 17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日 (補講日), 19日 (第1ターム授業最終週)

第3ターム

9月   4日, 11日, 18日 (敬老の日 / 授業実施日), 25日
10月   2日, 9日 (スポーツの日 / 授業実施日), 16日, 23日 (津田塾祭 / 休校日), 30日
11月   6日 (第3ターム授業最終週)

第4ターム

11月   13日, 20日, 27日
12月   4日, 11日, 18日, 25日 (休校日)
1月   1日 (元日 / 休校日), 8日 (成人の日/ 休校日), 15日, 22日, 29日 (第4ターム授業最終週)