4年セミナー   Seminar Ⅳ

津田塾大学学芸学部 数学科 4年 (木曜3, 4限)

担当: 原 隆

場所: 研究室

講義内容 (シラバスより):
p 進数にまつわる話題を輪講形式で学習する．また，学生生活の総決算として，これまでに学習してきた知識をもとに卒業研究に取り組む．

取り上げられるテーマは p 進数の整数論である．p 進数とは，ドイツの数学者クルト・ヘンゼルが発明した「p 進的に収束する数」であり，現代整数論の研究においては不可欠な概念であるが，その一方で非常に抽象的であるため拒否反応を示す人も少なくない．しかしながら，実数体との対比や p 進数体ならではの計算手法を身につけることを通じて，他では味わえない「p 進世界ならでは」の面白さを体感することができるのではないかと期待する．テキスト『整数論』は内容が A, B 2コースに分かれており，セミナーではまずはハッセ--ミンコフスキーの定理 (2次形式の局所大域原理) を扱ったAコースを精読する．実数体と様々な素数 p に対する p 進数体を併せて考えることで，ディオファントス方程式の有理数解についての情報が分かるという壮大な議論をぜひ楽しみながら学修されたい．余力があれば，p 進数にまつわるさらに進んだトピックス (局所類体論など) も扱う予定である．テキストセミナーに参加しながらそれぞれ興味のあるテーマを探し，(必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で，自由に卒業論文にまとめてもらいたい．

教科書: 斎藤 秀司著『共立講座21世紀の数学<20> 整数論』共立出版

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 12月18日 12月18日 (月) までのセミナーの内容を更新しました。
• 12月4日 12月4日 (月) までのセミナーの内容を更新しました。
• 11月16日 11月16日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 11月13日 11月13日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 11月9日 11月9日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 11月6日 11月6日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 11月2日 11月2日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 10月30日 10月30日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 10月26日 10月26日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 10月19日 10月19日 (木) までのセミナーの内容を更新しました。
• 10月16日 10月16日 (月) までのセミナーの内容を更新しました。
• 10月5日 10月5日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 10月2日 10月2日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月28日 9月28日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月25日 9月25日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月21日 9月21日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月18日 9月18日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月14日 9月14日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月4日 8月10日 (木), 11日 (金), 9月4日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 7月31日 7月27日 (木), 31日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 7月13日 7月13日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月22日 6月22日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月19日 6月19日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月15日 6月15日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月14日 6月12日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月8日 6月8日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月7日 6月5日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月11日 5月11日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月1日 5月1日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月27日 4月27日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月24日 4月20日 (木), 24日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月21日 4月17日 (月) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月12日   セミナーの注意事項等のプリントをアップロードしました。
• セミナーの初回は 4月17日 (月) の予定です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2023年12月18日 (月)

• 卒業論文の準備: 完備離散付値体の拡大の分岐について

2023年12月11日 (月), 14日 (木)

出張のため 休講

2023年12月7日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.6   完備離散付値体のクンマー拡大 (続)
    • 混標数の完備離散付値体におけるクンマー拡大

2023年12月4日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.6   完備離散付値体のクンマー拡大
    • 拡大次数が剰余標数と異なる場合 (クンマー理論の帰結)
    • クンマー理論とアルティン–シュライヤー理論について

2023年11月30日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.5   完備離散付値体の乗法群 (続)
    • 単数群の構造1

2023年11月27日 (月)  

諸事情で休講

2023年11月23日 (木)   勤労感謝の日

休校日

2023年11月20日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • 完全分岐拡大とアイゼンシュタイン多項式: 証明の完結
  • 8.5   完備離散付値体の乗法群
    • 単数群および高次単数群の定義

2023年11月16日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • ローラン級数体の不分岐拡大
    • アイゼンシュタイン多項式の既約性
    • 完全分岐拡大とアイゼンシュタイン多項式

2023年11月13日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • 最大不分岐拡大の定義と性質
    • 不分岐指標群について

2023年11月9日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • 不分岐拡大の拡大と剰余体の拡大の対応 (続)

2023年11月6日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • 不分岐拡大の体準同型と剰余体の体準同型
    • 不分岐拡大の拡大と剰余体の拡大の対応

2023年11月2日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 (続)
    • 不分岐拡大の単拡大性，剰余体の拡大との関係

2023年10月30日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.3   完備離散付値の延長 (続)
    • 完備離散付値の延長の一意性の証明 (続)
    • 完備離散付値の延長の完備性の証明
  • 8.4   完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大
    • 不分岐拡大と完全分岐拡大の定義
    • 拡大列に対する不分岐性と完全分岐性

2023年10月26日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.3   完備離散付値の延長 (続)
    • 完備離散付値の延長の一意性の証明
    • 完備離散付値の延長に関する基本等式の証明 (途中まで)

2023年10月23日 (月)

休校日 (津田塾祭後始末)

2023年10月19日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.3   完備離散付値の延長 (続)
    • 完備離散付値の延長の存在の証明
    • 延長した付値が 0 以上であることと，整であることの同値性
    • 整であることと，最小多項式の係数が整数であることの同値性

2023年10月16日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.3   完備離散付値の延長 (続)
    • 有限次拡大における完備離散付値の延長の存在と一意性
    • 応用: 完備離散付値体の間の体準同型写像と付値の整合性

2023年10月12日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.3   完備離散付値の延長 (続)
    • 付値の拡大と付値環，素イデアル，剰余体
    • 剰余体の元が1次独立ならば，その持ち上げも1次独立
    • 付値体の有限次拡大と剰余次数，分岐指数

2023年10月9日 (月)

諸事情により休講

2023年10月5日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • 既約モニック多項式の定数項が整数環の元ならば，残りの係数も整数環の元
  • 8.3   完備離散付値の延長
    • 付値の延長の定義
    • 同値でない付値の延長の例: ガウス整数環の素元に関する素元

2023年10月2日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • ヘンゼルの補題の証明

2023年9月28日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • 形式的ローラン級数体 K((t)) が完備離散付値体であること
    • ヘンゼルの補題の主張と例: Z_p が 1 の p-1 乗根を含むこと

2023年9月25日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • 付値体の完備性，完備離散付値体の定義
    • 完備離散付値体の基本性質
    • Q_p が完備離散付値体であること
    • 付値の完備化の存在と一意性の主張

2023年9月21日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • 数列の収束性に関する基本性質 (続)
      有理数に収束する p 進数は循環 p 進数

2023年9月18日 (月)   敬老の日

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題 (続)
    • 離散付値環の元の「素元進分解」
    • 付値の定める距離
    • 数列の収束性，級数の収束性，基本列 (コーシー列)
    • p 進距離に関する収束性
    • 数列の収束性に関する基本性質

2023年9月14日 (木)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.1   体の付値 (続)
    • 離散付値体係数の多項式環に対するガウスの補題 (証明から)
  • 8.2   完備離散付値とヘンゼルの補題
    • 離散付値環の剰余環の完全代表系

2023年9月7日 (木), 11日 (月)

出張等により休講

2023年9月4日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.1   体の付値 (続)
    • 離散付値の例: 一意分解整域の素元 π に関する離散付値
    • 形式的羃級数環の商体がローラン級数体と一致すること
    • 離散付値体係数の多項式環に対するガウスの補題

2023年8月11日 (金) 山の日   (補講)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.1   体の付値 (続)
    • 離散付値の例: p 進付値，(ローラン級数体の) t 進付値

2023年8月10日 (木)   (補講)

• 第8章 完備離散付値体の整数論 (続)
  • 8.1   体の付値 (続)
    • 混標数の付値，等標数の付値
    • 離散付値でない付値体の素イデアルの羃乗がすべて素イデアル自身と一致すること

2023年7月31日 (月)

• 第8章 完備離散付値体の整数論
  • 8.1   体の付値
    • 体の付値の定義と基本性質
    • 付値環，素イデアル，剰余体，素元

2023年7月27日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.5 ハッセ–ミンコウスキーの定理 (続)
    • 4元数環に対するハッセ–ミンコウスキーの定理と証明 (続きから)
    • 整数係数2次形式に対するハッセ原理 (特別な場合)

2023年7月13日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.4 ヒルベルト記号 (続)
    • ルジャンドル記号によるヒルベルト記号の明示公式 (続)
  • 7.5 ハッセ–ミンコウスキーの定理
    • 4元数環に対するハッセ–ミンコウスキーの定理と証明 (途中まで)

2023年6月22日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.4 ヒルベルト記号 (続)
    • ヒルベルト記号の性質 (双線型性の証明の続き)
    • ルジャンドル記号によるヒルベルト記号の明示公式

2023年6月19日 (月)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.4 ヒルベルト記号 (続)
    • ヒルベルト記号の性質 (続きから; 特にヒルベルト記号の双線形性について)

2023年6月15日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.3 p 進数体 (続)
    • Q_p の2次拡大
  • 7.4 ヒルベルト記号
    • ヒルベルト記号の定義
    • ヒルベルト記号と Q_p 上の4元数体
    • ヒルベルト記号の性質 (途中まで)

2023年6月12日 (月)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.3 p 進数体 (続)
    • p 進数体の演算の無矛盾性
    • p 進数の表記と p 進付値
    • p で局所化した整数の集合が p 進整数環の部分環となること
    • 有理数体が p 進整数体の部分体となること
    • Q_p^× / (Q_p^×)² の構造

2023年6月8日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.2 p 進整数の基本性質 (続)
    • Z_p^×/(Z_p^×)² の群構造
  • 7.3 p 進数体
    • p 進数体 Q_p の定義

2023年6月5日 (月)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.2 p 進整数の基本性質 (続)
    • p 進整数が平方数であるための条件

2023年5月8日 (月) — 6月1日 (木)

(教育実習のため休講)

2023年5月11日 (木)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.2 p 進整数の基本性質
    • p 進整数が pⁿ の倍数であるための条件
    • p 進整数が可逆であるための条件
    • 非零 p 進整数の分解

2023年5月8日 (月)

(教育実習事前打合せのため休講)

2023年5月1日 (月)

• 第7章 p 進数体 (続)
  • 7.1 p 進整数 (続)
    • 平方根の p 進展開 (続)   証明から
    • p 進整数の定義 (射影極限として)
    • p 進整数の p進展開の存在と一意性

2023年4月27日 (木)

• 第2章 4元数環 (続)
  • 2.2 4元数環 (続)
    • 4元数環の同型に関する諸性質
    • 実数体上の4元数環は行列環とハミルトンの4元数環のみ
  • 2.3 有限体上の4元数環
    • 有限体上の4元数環は行列環のみ
• 第7章 p 進数体
  • 7.1 p 進整数
    • 平方根の p 進展開

2023年4月24日 (月)

• 第2章 4元数環 (続)
  • 2.2 4元数環 (続)
    • ノルム元だけずらしても4元数環は不変
    • 4元数環が行列環と同型となるための必要十分条件

2023年4月20日 (木)

• 第2章 4元数環 (続)
  • 2.2 4元数環
    • 4元数環の定義
    • 4元数の共役と被約ノルム
    • 4元数環が行列環と同型となるとき

2023年4月17日 (月)

• 第0章 準備
  • 0.4 群論からの準備   指標群について
• 第2章 四元数環
  • 2.1 体の2次拡大   2次拡大の定義と性質，ノルム群

セミナー日程

第1ターム

4月   3日, 6日 (春季休校日), 10日, 13日 (オリエンテーション期間), 17日, 20日, 24日, 27日
5月   1日, 4日 (みどりの日 / 休校日), 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日
6月   1日, 5日, 8日, 12日 (補講日), 15日, 19日, 22日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   4日, 7日, 11日, 18日 (敬老の日 / 授業実施日), 21日, 25日, 28日
10月   2日, 5日, 9日 (スポーツの日 / 授業実施日), 12日, 16日, 19日, 12日 (津田塾祭休校期間), 26日, 30日
11月   2日, 6日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   9日, 13日, 16日, 20日, 23日 (勤労感謝の日 / 休校日), 27日, 30日
12月   4日, 7日, 11日, 14日, 18日, 21日, 25, 28日 (冬期休校期間)
1月   1日 (元日 / 休校日), 4日 (冬期休校期間), 8日 (成人の日 / 休校日), 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (第4ターム授業最終週)