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線形代数学Ⅰ (演習付) Linear Algebra Ⅰ
津田塾大学学芸学部 数学科 1年 (火曜2限)
※ 演習 (月曜2限) は 宮澤治子先生 のご担当です
担当: 原 隆
場所: 1号館 1111教室
講義内容 (シラバスより):
まず，数ベクトル・行列の定義と基本性質について学ぶ．その後，連立一次方程式を行列によって取り扱うことを学ぶ．連立一次方程式の解法を通じて，線形代数の基本的な概念に触れ，様々な具体例の計算を学ぶ．特に，行列の基本変形，行列の階数の概念，正則行列，行列式の定義と基本性質，ベクトルの一次独立性などについて学ぶ．
教科書: 三宅敏恒著 『線形代数学 — 基礎からジョルダン標準形へ』 （培風館）
※ 教科書とは別に，講義内容の参考資料および演習課題等を配布します
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です．
お知らせ / 更新履歴
- 1月17日
1月16日の授業内容を更新しました．本年度の講義は以上です．それでは試験頑張ってください!!
- 1月15日
1月9日の授業内容を更新しました．
- 12月19日
12月19日までの講義内容を更新しました．年内の授業は以上です．よいクリスマス & お正月を!!
- 11月28日
11月28日の授業内容を更新しました．
- 11月27日
11月21日の授業内容を更新しました．
- 11月14日
第3ターム末考査の問題と略解を掲載しました．また，11月14日の授業内容を更新しました．
- 10月24日
10月24日の授業内容を更新しました．10月31日は補講日のため，この講義はありません (次回は 11月7日のターム末考査)
- 10月17日
10月17日の授業内容を更新しました．
- 10月10日
10月10日の授業内容を更新しました．
- 10月3日
10月3日の授業内容を更新しました．
- 9月28日
9月26日の授業内容を更新しました．
- 9月19日
9月19日の授業内容を更新しました．
- 9月12日
9月12日の授業内容を更新しました．
- 9月5日
9月5日の授業内容を更新しました．
- 9月1日
本講義の参考資料をアップロードしました．
- 初回講義は 9月5日 (火) です (演習の初回は9月4日 (月))．基本的に 火曜:講義, 月曜: 演習 (宮澤先生ご担当) とします (部分的に例外あり)
参考資料一覧
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参考資料1 (2次正方行列の演算)
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参考資料2 (一般の行列の定義と演算, 行列の区分け)
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参考資料3 (行列の行基本変形と簡約化)
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参考資料4 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
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参考資料5 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方, 行列の基本変形と基本行列)
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参考資料6 (行列の簡約化の存在と一意性の証明)
※ 応用的な内容です．試験出題範囲外
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参考資料7 (2,3次行列式の基本3性質)
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参考資料8 (基本3性質による行列式の定義, 三角化による行列式の計算法)
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参考資料9 (ラプラスの余因子展開)
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参考資料10 (余因子展開の応用: 余因子行列と逆行列, クラーメルの公
式)
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参考資料11 (行列式の明示公式, 行列式の乗法性, 転置行列の行列式)
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参考資料12 (数ベクトルの線形独立性/線形従属性)
講義内容
- 2024年1月16日 (火)
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- 数ベクトルの線形独立性 / 線形従属性
- 数ベクトル空間の定義と例
- 数ベクトルの線形独立性/従属性の定義
- 例: 基本ベクトル (標準基底) は線形独立
- 演習: 数ベクトルの線形独立性/従属性の判定
- 線形独立性/従属性の “図形的” 意味: ベクトルが「ばらばらな方向を向いているか」の数式による表現
- 線形独立なベクトルの重要性: 基底によるベクトルの《番地割り》の取り替え (斜交座標の考え方)
- 小レポート15 (数ベクトルの線形独立性/従属性)
提出締切: 1月19日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2024年1月9日 (火)
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- 行列式 (続)
- 行列式の乗法性
- 定理の主張: 行列の積の行列式は，行列式の積
- 応用1: AB の行列式 = BA の行列式 (AB と BA が異なっても)
- 応用2: 正則行列の行列式は 0 ではない，逆行列の行列式
- 行列式の乗法性の証明の概略 スライド
- 転置行列の行列式
- 転置行列の定義と性質
- 転置行列式の行列式=元の行列の行列式
- 応用: 行列式の列に関する性質は，行に関する性質に “遺伝する” スライド
- 転置行列式の行列式=元の行列の行列式 の証明の概略: 三角化して三角行列，基本行列に帰着
- 行列式のロードマップ
- 小レポート14 (行列式の乗法性，転置行列の行列式)
提出締切: 1月12日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2024年1月2日 (火)
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冬季休暇のため 休講
- 2023年12月26日 (火)
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冬季休暇のため 休講
- 2023年12月19日 (火)
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- 行列式 (続)
- ラプラスの余因子展開の応用II: クラーメルの公式
- クラーメルの公式の主張: 式の数と未知数の数が同じ連立1次方程式で，係数行列の行列式が 0 でなければ，行列式を計算することで解を求められる
- 例題: クラーメルの公式
- クラーメルの公式の証明の概略 スライド
- 行列式の展開公式
- 展開公式の主張: 行列式を成分を用いて表す
- 例: n=2 のとき (襷掛け) と n=3 のとき (サラスの公式)
- 行列式の展開公式の証明の概略 スライド
- 小レポート13 (クラーメルの公式)
提出締切: 12月22日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年12月12日 (火)
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出張のため 休講
- 2023年12月5日 (火)
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- 行列式 (続)
- ラプラスの余因子展開の応用I: 余因子行列と逆行列
- 余因子行列の定義: (i,j) 成分に (i,j)-余因子を並べて，対角線で折り返したもの
- 余因子行列の計算例
- 命題: 余因子行列ともとの行列の積は，単位行列の行列式倍
- 系: 行列式の値が 0 でなければ正則行列 (余因子行列を用いて逆行列を作れるから)
- 余因子行列の性質の証明の概略 スライド
- 小レポート12 (4次正方行列の余因子行列)
提出締切: 12月8日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年11月28日 (火)
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- 行列式 (続)
- 行列式の計算法I: 三角化による方法 (続)
- 三角行列の行列式=対角成分の積の証明の概略 スライド
- 行列式の計算法II: ラプラスの余因子展開定理
- 余因子の定義: “(i,j) 成分に爆弾をおいて吹き飛ばして出来る行列の行列式&rdquo (+余因子の符号)
- ラプラスの余因子展開定理の主張
- 例: ラプラスの余因子展開定理を用いた3次行列式の計算
- 行列式の計算に関するいくつかのコメント
- ラプラスの余因子展開定理の証明の概略 スライド
- 小レポート11 (4次行列式の計算 (ラプラスの余因子展開))
提出締切: 12月1日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年11月21日 (火)
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- 行列式 (続)
- 2次・3次行列式の基本3性質 (続)
- 行列式の定義
- 行列式の定義: 多重線形性，歪対称性，正規化条件を用いて計算される数として
- 行列式の定義の拡張と，数学における抽象化について
- 行列式の計算法I: 三角化による方法
- 行列式の簡単な性質: ファンデルモンドの定理，列基本変形に対する振る舞い
- 三角行列の定義，三角行列の行列式は対角成分の積 (証明は次回スライドで)
- 例題: 三角化を用いた行列式の計算法
- 小レポート10 (4次行列式の計算 (三角化による方法))
提出締切: 11月24日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年11月14日 (火)
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- 行列式
- 2次・3次行列式の基本3性質
- 2次・3次行列式の復習 (特に図形的意味について)
- 4次 (以上の) 行列式を定義するにはどうしたら良いか?
…… “図が描けない” 世界の図形の “符号付き体積”?!
- 2次・3次行列式の基本3性質: 多重線形性，歪対称性，正規化条件
- ファンデルモンドの定理: 同じ列ベクトルを含む行列の行列式は0 (歪対称性の帰結)
- 例題: 基本3性質 (+ファンデルモンドの定理) のみを用いた2次行列式の計算
- 基本3性質をよりサイズの大きい行列に移植することで，サイズの大きい行列の行列式を「定義できる」!!
- 小レポート9 (基本3性質による4次行列式の計算)
提出締切: 11月17日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年11月7日 (火)
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- 2023年10月31日 (火)
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補講日 (この授業はありません)
- 2023年10月24日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 行列の簡約化可能性と簡約化の一意性
- 行列の簡約化可能性と簡約化の一意性定理 (復習)
- 簡約化可能性の証明: ガウスの消去法のアルゴリズムを (行・列の数に関する) 数学的帰納法に持ち込む
- 簡約化の一意性の証明: 2通りの簡約化は一致する
- 最後の列を除いた行列の簡約化の一意性 → 最後の列以外は簡約化は一致
- ピボットを含まない列が存在するとき → その列を除いた行列の簡約化の一意性から簡約化の最後の列も一致
- ピボットを含まない列が存在しないとき → 区分けして，最後の列が一致することを (ゴリ押し計算で) 示す
- 小レポート8 (正則行列と逆行列)
提出締切: 10月31日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年10月17日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅱ: 逆行列の求め方
- n 次正方行列の正則性と逆行列の定義 (復習)
- 簡約化を用いた逆行列の求め方
- 問題演習: 逆行列の求め方
- 行列の行基本変形と基本行列の対応
- 正則行列の積は正則行列
- 逆行列の求め方の原理
行列 A を行基本変形で単位行列に変形できたなら，A の左から対応する基本行列の積を掛けると単位行列となる
- 小レポート7 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方)
提出締切: 10月20日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年10月10日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅰ: 連立1次方程式の解法
- 拡大係数行列の行基本変形による連立1次方程式の解法
- 例題および問題演習: 連立1次方程式の解法
- ルーシェ–カペリ (Rouché–Capelli) の定理
- 係数行列と拡大係数行列の階数が一致するときのみ解が存在
- 解に現れるパラメータの個数は (未知数の総数) – rank A 個
- 小レポート6 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
提出締切: 10月13日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年10月3日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 行列の簡約化: ガウスの消去法
- 戦略: 生き残らせるピボットを選択して (ピボット選択)，その列の残りの成分をピボットを用いて掃き出す (sweep out)
- 例題: 一般の行列の簡約化
- 練習問題: 行列の簡約化
- 小レポート5 (行基本変形と簡約行階段行列)
提出締切: 10月6日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年9月26日 (火)
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- 行列の簡約化とその応用
- 連立1次方程式とその基本変形
- 行列の行基本変形
- 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義
- 列基本変形 (C1), (C2), (C3) の紹介，基本変形が可逆な操作であること
- 簡約行階段行列と行列の簡約化
- 簡約行階段行列 (reduced row echelon form, rref) の定義
- 定理: 行列の簡約化の存在と一意性 (証明は第3タームの最後に発展項目として扱います)
- 例題: 簡約行階段行列の判定と簡単なケースの簡約化
- 小レポート4 (行基本変形と簡約行階段行列)
提出締切: 9月29日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年9月19日 (火)
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- 行列とその演算 (続)
- 一般の行列 (続)
- 一般の行列の定義と用語 (行，列，成分) の説明
- 列ベクトル，行ベクトル，数ベクトル空間の定義
- 逆行列および正則行列の定義
- 行列の区分け
- 小レポート3 (行列の区分けと3次正方行列の逆行列)
提出締切: 9月22日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年9月12日 (火)
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- 行列とその演算 (続)
- 2次正方行列の演算 (続)
- 2次正方行列の積 (補足)
- 結合法則とその図形的意味
- 交換法則はまったく成り立たない!!
- 零変換と零行列
- 恒等変換と単位行列
- 逆変換と逆行列
- 逆変換の定義
- 逆変換の例と逆変換を持たない例 (正射影)
- 逆変換の行列表示 (逆行列) の計算
- 逆行列の定義と逆行列の存在条件: 行列式が0にならない
- 一般の行列
- 一般の行列の演算: “2次正方行列と同様の計算ルールで計算出来る場合のみ定義する”
- 小レポート2 (2次正方行列の逆行列，一般の行列の積)
提出締切: 9月15日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
- 2023年9月5日 (火)
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- 行列とその演算
- 2次正方行列の演算
- 行列の和の定義 —線形変換の和の行列表示として
- 行列のスカラー倍の定義 —線形変換のスカラー倍の行列表示として (詳細は略)
- 線形変換の合成と行列の積
- 線形変換の合成の定義
- 合成変換の行列表示としての行列の積
- 小レポート1 (2次正方行列の積)
提出締切: 9月8日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください．
講義日程
第3ターム
9月 5日, 12日, 19日, 26日
10月 3日, 10日, 17日, 24日, 31日 (補講日 / 授業なし)
11月 7日 (第3ターム最終授業日)
第4ターム
11月 14日, 21日, 28日
12月 5日, 12日, 19日, 26日
(冬季休暇)
1月 2日 (冬季休暇), 9日,16日, 23日 (補講日 / 授業なし), 30日 (第4ターム最終授業日)
演習日程
第3ターム
9月 4日, 11日, 18日 (敬老の日 / 授業実施日), 25日
10月 2日, 9日 (スポーツの日 / 授業実施日), 16日, 23日 (津田塾祭 / 休校日), 30日
11月 6日 (第3ターム授業最終週)
第4ターム
11月 13日, 20日, 27日
12月 4日, 11日, 18日, 25日 (冬季休暇)
1月 1日 (元日 / 休校日), 8日 (成人の日/ 休校日), 15日, 22日, 29日 (第4ターム授業最終週)