代数入門 (演習付)   Introduction to algebra

津田塾大学学芸学部 数学科 2年 (火曜3限)

※ 演習 (水曜2限) は 熱田真大先生 のご担当です

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S105教室

講義内容 (シラバスより):
代数的構造の一つである 群 group についての基本事項を学ぶ．
前半では，群の定義および様々な例を学び，部分群，元の位数，準同型写像と同型写像，正規部分群と剰余群などの基本的な概念の定義や性質を確認した後，準同型定理とその応用を扱う．後半では主に群の集合への作用に焦点を当て，共役類と類等式，対称群の共役類，シローの定理と有限群の分類などからトピックスを選んで学修する．

教科書: 原隆著 『手を動かしてまなぶ群論 (上巻・下巻) [限定版]』 (裳華房)
※ テキストに関するコメントを随時募集いたします．詳細はガイダンス資料をご覧ください．
※ テキストの 無断複写，アップロード等は一切禁じられています．

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 1月17日   1月16日の授業内容を更新しました．なお，1月23日 (火) に 補講 を実施予定です (シローの定理の証明を解説予定)．
• 1月15日   1月9日の講義内容を公開しました．
• 12月19日   12月19日までの講義内容を更新しました．年内の授業は以上です．よいクリスマス & お正月を!!
• 11月28日   11月28日の講義内容を公開しました．
• 11月27日   11月21日の講義内容を公開しました．
• 11月14日   第3ターム末考査の問題と略解を掲載しました．また，11月14日の授業内容を更新しました．
• 10月24日   10月24日の講義内容を公開しました．10月31日は補講日のため，この講義はありません (次回は 11月7日のターム末考査)．
• 10月17日   10月17日の講義内容を公開しました．
• 10月10日   10月10日の講義内容を公開しました．
• 10月3日   10月3日の講義内容を公開しました．
• 9月28日   9月26日の講義内容を公開しました。
• 9月19日   9月19日の講義内容を公開しました。
• 9月12日   9月12日の講義内容を公開しました。
• 9月5日   9月5日 (火) の講義内容を公開しました。
• 9月1日   講義のガイダンス資料を公開しました．
• 初回講義は 9月5日 (火) です (演習の初回は9月6日 (水))。基本的に 火曜:講義, 水曜: 演習 (熱田先生ご担当) とします (部分的に例外あり)

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

講義内容

2024年1月16日 (火)

• 有限群の構造 (続)
  • シローの定理
    • シローの定理 (第1定理，第2定理，第3定理) の主張の証明
    • 系: シロー p 部分群が唯1つ存在するならば，シロー p 部分群は正規部分群
    • 例題: 有限群の分類 (位数22の群の同型類について)
• 小レポート15 (有限群の分類1)
  提出締切: 1月19日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年1月9日 (火)

• 群の作用と軌道分解 (続)
  • 対称群の多項式への作用
    • 対称群の多項式への作用の定義と例
    • 対称式と交代式
    • 対称式の例，交代式の例 (差積)
    • 応用: 置換の偶奇が矛盾なく定義されていること (差積への置換の作用を見る)
    • 補足: 対称式は基本対称式の和と積で表される，交代式= (差積) × (対称式)
• 有限群の構造
  • 有限群の特徴: 位数が群構造に大きな制約を与える
  • シロー p 部分群
    • シロー p 部分群の定義と例
• 小レポート14 (対称群の多項式への作用，シロー p 部分群)
  提出締切: 1月12日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2024年1月2日 (火)

冬季休暇のため 休講

2023年12月26日 (火)

冬季休暇のため 休講

2023年12月19日 (火)

• 群の作用と軌道分解 (続)
  • 共役作用と共役類
    • 共役作用の定義，共役作用が群自身への左作用であることの確認
    • 共役類 (軌道) と中心化群 (固定部分群)，中心の定義
    • 共役類と中心化群の関係 (軌道・固定部分群定理)，類等式
    • 例0: アーベル群の共役類はすべて1元
    • 例1: 3次対称群の共役類分解
    • 例2: 対称行列の直交対角化の群論的な解釈
  • 対称群の共役類
    • 置換の型の定義
    • 命題: 2つの置換が同じ共役類に属することと，型が一致することは同値
    • 例: 4次対称群の共役類分解，対称群の共役類の個数が分割数で表されること
    • 鍵となる命題 (長さ k の巡回置換の共役は長さ k の巡回置換) とその証明の概略
• 小レポート13 (対称群の共役類)
  提出締切: 12月22日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年12月12日 (火)

出張のため 休講

2023年12月5日 (火)

• 群の作用と軌道分解 (続)
  • 軌道・固定部分群定理
    • 群の作用の例 (続): 場所の入れ換え作用
    • 軌道・固定部分群定理の主張
    • 証明についての説明 (詳細はテキスト参照)
    • 同じものを含む順列と軌道・固定部分群定理の関係について
  • 正則作用とケーリーの定理
    • (左) 正則作用の定義と例
    • ケーリーの定理: すべての有限群は，対称群の部分群と同型
    • ケーリーの定理の証明
• 小レポート12 (軌道・固定部分群定理とその応用)
  提出締切: 12月8日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月28日 (火)

• 群の作用と軌道分解
  • 群作用の定義と例
    • 群の (左 / 右) 作用の定義
    • 群の作用の例: 対称群の置換作用，一般線形群の数ベクトル空間への標準作用
    • 群の作用に関する軌道の定義
    • 軌道分解の例 (座標平面への実数体の加法群, 乗法群の作用)
    • 軌道に関する諸性質 (同値関係を適切に入れると，同値類の性質に帰着)
    • 集合に群作用を導入することで，“無個性”な集合に“個性”が生まれる!!
• 小レポート11 (群の作用と軌道1)
  提出締切: 12月1日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．
  ※ まだ固定部分群を定義していなかったので，(2) を差し替えました (2023/11/28 16:00 差し替えたところは赤字)．

2023年11月21日 (火)

• 群の剰余類分割と準同型定理 (続)
  • 群準同型定理とその応用 (続)
    • 群準同型定理の証明
      矛盾なく定義されること，準同型性，全射性，単射を定義にしたがって示す
  • 中国式剰余定理 (群論版) の主張とその証明: 群準同型定理を用いて
• 小レポート10 (群準同型定理とその応用2)
  提出締切: 11月24日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月14日 (火)

• 群の剰余類分割と準同型定理 (続)
  • 群準同型定理とその応用
    • 群準同型定理の主張と意味: 準同型写像を同型写像に “加工する”
    • 例1: 2乗写像と半直線の2重被覆
    • 例2: 複素数の乗法群を単位円周群で割った剰余群の構造
    • 例3: 行列式写像への適用
    • 例4: 符号写像への適用
• 小レポート9 (群準同型定理とその応用1)
  提出締切: 11月17日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください．

2023年11月7日 (火)

• 第3ターム学期末考査   問題   略解

2023年10月31日 (火)

補講日 (この授業はありません)

2023年10月24日 (火)

• 群の剰余類分割と準同型定理 (続)
  • 正規部分群と剰余群
    • 剰余類上の群演算が well-defined になるための条件は?
    • 正規部分群の定義
    • 正規部分群の例 (アーベル群の部分群，一般線形群の特殊線形群，対称群の交代群)
    • 剰余群の定義: 正規部分群に関する剰余類に演算を定義する
    • 剰余群の計算例
• 補足資料1 (剰余群の計算例: 4次対称群のクライン4元群による商)
• 小レポート8 (正規部分群と剰余群)
  提出締切: 10月31日 (火) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月18日 (火)

• 群の剰余類分割と準同型定理 (続)
  • 剰余類分割とラグランジュの定理 (続)
    • ラグランジュの定理の主張 (復習) と証明
    • ラグランジュの定理の帰結: 部分群および元の位数はもとの群の位数の約数
    • ラグランジュの定理の応用: オイラーの定理，位数が素数の群は巡回群
  • “剰余群” の構成を目指して
    • 剰余類の間に演算を定義するには? — 代表元を取って演算して生じた元が属する剰余類を，剰余類の演算結果とする
    • 剰余類の演算が矛盾なく定義されない例
    • 剰余類の演算が矛盾なく定義されるためには，部分群により強い制限が必要 — どのような制約が必要か?
• 小レポート7 (剰余類の演算の無矛盾性 (well-definedness) の判定)
  提出締切: 10月20日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。
• 小レポート7.5 (小レポート7の類題)
  提出締切: 10月31日 (火) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年10月10日 (火)

• 群の剰余類分割と準同型定理 (続)
  • 剰余類分割とラグランジュの定理
    • 部分群の定める同値関係 — 左合同と右合同
    • 左/右合同関係の同値類=左/右剰余類
    • 群の左/右剰余類分割
    • 剰余類分割の例1: 整数の加法群と合同類
    • 剰余類分割の例2: 対称群の部分群に関する左右剰余類分割
    • 同値類の性質
      • どの (左/右) 剰余類も位数は等しい
      • (左/右剰余類は一般には異なる集合となるが) 左/右剰余類の個数は一致する: 部分群の指数
    • ラグランジュの定理 #G=(G:H)#H
      特に有限群の部分群の位数は，元の群の位数の約数となる
  • 小レポート6 (群の剰余類分割)
    提出締切: 10月13日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年10月3日 (火)

• 群と準同型写像 (続)
  • 準同型写像と同型写像 (続)
    • 準同型写像の核と像の復習，例題の再解説
    • 準同型定理に向けて: 準同型写像を同型写像に “加工” するためには
      「f で移すと同じ元と対応する元の集合」でグループ分けして，「グループの集合」に群演算を導入する
• 群の剰余類分割と準同型定理
  • 集合の同値関係と同値類別
    • 集合の同値関係の定義と例
    • 整数の合同関係が同値関係であること
    • 同値類の定義と性質
    • 例: Z 上の合同関係に対する同値類別
• 小レポート5 (集合の同値関係と同値類)
  提出締切: 10月6日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年9月26日 (火)

• [今週扱う箇所] §8 同型写像と準同型写像
• 群と準同型写像 (続)
  • 元の位数 (続)
    • 命題: 元の位数の性質
    • 有限群の元の位数が有限であること (鳩の巣原理)
  • 準同型写像と同型写像
    • 例: 3つの位数4の群の比較 —演算表を比べてみる
    • 「群を比較する」とはどういうことか?
    • 群準同型写像，同型写像，群の同型の定義
    • 準同型写像の核と像の定義
    • 例題: 準同型写像の核と像
• 小レポート4 (準同型写像の像と核)
  提出締切: 9月29日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年9月19日 (火)

• [今週扱う箇所] 7.2 群の生成系，7.3 巡回群
• 群と準同型写像 (続)
  • 群の生成系
    • 部分集合が生成する部分群〈S〉とその例
    • 〈S〉が部分群であることの証明
    • 群の生成系の定義と例
  • 巡回群
    • 巡回群の定義: 1つの元 (からなる集合) により生成される群
    • 巡回群の例: Z (加法群), 1の n 乗根のなす群
    • 有限巡回群と無限巡回群のイメージ
  • 群の元の位数
    • 群の元 x の位数の定義: x の生成する部分群〈x〉の位数
    • 元の位数の言い換え: x^*m=e となる最小の自然数
    • 例: μ₆(C) および (Z/8Z)^× の元の位数
• 小レポート3 (群の元の位数)
  提出締切: 9月22日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年9月12日 (火)

• [今週扱う箇所] 6.3 対称群，7.1 部分群 (「部分集合が部分群であるための条件」位まで)
• 群と準同型写像 (続)
  • 群の定義と例 (続)
    • 群の例 (続): 置換の積とn次対称群
  • 部分群
    • 部分群の定義
    • 部分群となる例，部分群とならない例
    • 部分集合が部分群であるかどうかの判定条件
    • 部分群の例: 特殊線形群
• 小レポート2 (置換と対称群，部分群)
  提出締切: 9月15日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2023年9月6日 (火)

• 群と準同型写像
  • 群の定義と例
    • 群=集合+演算
    • 群の定義: (G1) 単位元の存在 (G2) 逆元の存在 (G3) 結合法則
    • 群の例: 加法群と乗法群
    • 自然数の集合が加法に関して群とならないのは何故か
    • 交換法則とアーベル群，非可換群の例1: 一般線形群
  • 小レポート1 (群の定義と例)
    提出締切: 9月8日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

講義日程

第3ターム

9月   5日, 12日, 19日, 26日
10月   3日, 10日, 17日, 24日, 31日 (補講日 / 授業なし)
11月   7日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   14日, 21日, 28日
12月   5日, 12日, 19日, 26日 (冬季休暇)
1月   2日 (冬季休暇), 9日,16日, 23日 (補講日 / 授業なし), 30日 (第4ターム最終授業日)

演習日程

第3ターム

9月   6日, 13日, 20日, 27日
10月   4日, 11日, 18日, 25日
11月   1日 (補講日), 8日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   15日, 22日, 29日
12月   6日, 13日, 20日, 27日 (冬季休暇)
1月   3日 (冬季休暇), 10日, 17日, 24日 (補講日), 31日 (第4ターム最終授業日)