数理基幹特論Ⅲ / 数理科学特論Ⅳ   Advanced Topics on Pure Mathematics Ⅲ / Advanced Topics on Mathematical Sciences Ⅳ

島根大学総合理工学部3,4年 / 大学院自然科学研究科1,2年 (集中講義)

担当: 原 隆

場所: 総合理工学部 1号館6階 数学第2講義室

講義内容 (シラバスより):
　イデアル類群 (代数的対象) とゼータ関数 / L 関数の特殊値 (解析的対象) という，一見するとまったく無関係に見える2つの対象の間に横たわる不思議な関係を観察し，その面白さを体感することを目的に講義を行います．

参考書:

1. L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields (Second Edition), Springer–Verlag, 1996.
2. 2003年度整数論サマースクール『岩澤理論』報告集
3. 原 隆，数の世界の千一夜，日本評論社『数学セミナー』連載記事 (2022年4月号〜2023年3月号)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 8月29日   講義概要をすべて公開しました．
• 8月28日   レポート課題をすべて公開しました．締切は下記の通りです．
• 8月26日   レポート課題 [DAY2] の問題文を1部修正しました．ご確認ください．
• 講義期間は 8月21日 (月)〜8月25日 (金)，開講時間帯は各日2コマ (3,4時限), 3コマ (5,6時限), 4コマ (7,8時限) です (水曜日は3,4コマのみ)

講義の成績評価について

レポートにて成績をつけます．詳細はまた改めて連絡いたします．

8月22日追記 レポートは，講義終了後，(5日分まとめて) 所定の期限 (9月中旬頃の予定) までに青木先生宛に提出していただく形になると思います．レポート提出期限，提出方法については決まり次第連絡いたします．

8月25日追記 レポート提出期限: 9月15日 (金) 提出先: 学生センター1階 レポートBoX 1
※ 夏季休業中の学生センター開館時間は 平日 8:30—17:00 となっていますので，お気をつけ下さい．

8月28日追記 唯一未公開状態であったレポート問題4を公開しました．お待たせして申し訳ございません．今後，問題文の修正を除くレポート問題の更新は予定しておりません．

講義内容

2023年8月25日 (金)

• イデアル類群とゼータ関数の不思議な関係 (続)
  • スティッケルベルガーの定理
    • スティッケルベルガー元の定義と整性
    • スティッケルベルガー元とディリクレ L 関数の 0 での値との関係
    • スティッケルベルガーの定理の主張: スティッケルベルガー元 (の分母を払ったもの) はイデアル類群を零化する
    • p 分体に対するスティッケルベルガーの定理の証明: ガウス和の素イデアル分解を用いる
    • スティッケルベルガーの定理の一般化としてのブルーマー予想
  • エルブラン–リベの定理とその後の発展
    • イデアル類群の指標分解とエルブランの定理: スティッケルベルガーの定理の帰結として
    • リベの定理 (=エルブランの定理の逆) の主張
    • リベの定理の2つの証明法 (1): アイゼンシュタイン合同式の手法について (リベの証明方法)
    • リベの定理の2つの証明法 (2): 円単数のオイラー系・コリヴァギン系を用いた手法について
    • 最近の話題: リベの手法によるブルーマー–スターク予想の解決と，ヒルベルト第12問題への応用 (ダスグプタ–カクデの定理)
• レポート課題 [DAY5]

2023年8月24日 (木)

• イデアル類群とゼータ関数の不思議な関係
  • 解析的類数公式とその応用
    • デデキントのゼータ関数の定義
    • 解析的類数公式: デデキントゼータ関数の s=1 での留数に類数と単数規準が現れる
    • 解析的類数公式の導出の概要: 特に新谷の錐分割の手法を用いたゼータ関数の扱いについて
  • 相対類数公式とクンマーの判定法
    • ディリクレ指標とディリクレの L 関数
    • p 分体のデデキントのゼータ関数のディリクレ L 関数による分解
    • 相対類数公式: p 分体の相対類数をディリクレ L 関数の特殊値 (一般化ベルヌーイ数) で表す
    • クンマーの判定法: p が非正則素数であることと，p が B₂, B₂,..., B_p-3 のいずれかの分子を割り切ることが同値
  • クンマーの判定法の精密化に向けて: エルブラン–リベの定理
    • 指標分解の動機付け: イデアル類群も “指標毎に” 分解することで，一般化ベルヌーイ数と対応付ける
    • 羃等元の定義と性質
    • イデアル類群 (のシロー p 部分群) の指標分解と，エルブラン–リベの定理の主張
• レポート課題 [DAY4]

2023年8月23日 (火)

• リーマンゼータ関数とその解析接続
  • リーマンゼータ関数の定義とその性質
    • バーゼル問題と冪乗数の逆数の和
    • リーマンゼータ関数の (級数としての) 定義
    • ゼータ関数の基本性質: 解析接続性，関数等式，オイラー積表示
    • オイラー積表示と整数の素因数分解の一意性との関係
  • 解析接続とは何か?
    • 複素解析的関数の一致の定理
    • 滑らかな実関数では「一致の定理」はまったく成り立たないこと
    • 解析接続の概念
  • メラン変換とリーマンゼータ関数の解析接続
    • メラン変換の定義，指数関数のメラン変換としてのガンマ関数
    • ガンマ関数の解析接続: ガンマ関数の等式を利用した解析接続
    • (exp(t)-1)^-1のメラン変換がガンマ関数とリーマンゼータ関数の積と一致すること
    • ハンケル積分によるリーマンゼータ関数の解析接続
    • 応用: リーマンゼータ関数の負の整数点での特殊値の計算
• レポート課題 [DAY3]

2023年8月22日 (火)

• 関–ベルヌーイ数とその応用
  • 羃和の公式と関–ベルヌーイ数
    • 数羃和から漸化式を導く
    • 関–ベルヌーイ数の漸化式による定義
    • 関–ベルヌーイ数の指数型母関数
  • 関–ベルヌーイ数のスターリング数表示
    • 第2種スターリング数とその漸化式による特徴付け
    • 第2種スターリング数の性質
    • 関–ベルヌーイ数の第2種スターリング数による表示
  • フォン=シュタウト，クラウゼンの定理とクンマーの合同式
    • フォン=シュタウト，クラウゼンの定理の主張と例
    • フォン=シュタウト，クラウゼンの定理の証明 — ベルヌーイ数のスターリング数表示を用いて
    • クンマーの合同式とその数値計算例 (計算機による実演)
    • クンマーの合同式の証明 — クンマーの原論文の手法に基づいて
• 参考資料2 (差和分の基本定理，バーゼル問題とリーマンのゼータ関数)
• レポート課題 [DAY2] (8/25 修正あり)

2023年8月21日 (月)

• イデアルとイデアル類群
  • ピタゴラス数
    • ピタゴラス数の例とディオファントスの公式
    • ディオファントスの公式の証明と素因数分解: 互いに素な整数の積が平方数ならば，どちらも平方数
  • フェルマーの最終定理と “数の世界の拡張”
    • フェルマーの最終定理について
    • 円分整数を用いたアプローチ: ラメ，コーシーの論争について
    • ラメ，コーシーのアイデアとその破綻: 拡張された数の世界では，“素因数分解の一意性” が成り立たない!!
  • クンマーの “理想数” とデデキントのイデアル論
    • クンマーの “理想数” と “理想素因子分解”
    • “理想素因子分解” の一意性の例
    • デデキントによるイデアルとしての解釈: 「数」から「数の集合」へ
    • イデアルを巡る諸概念の定義，古典的な「数の理論」との用語の対応
  • 代数的整数論 (“拡張された数の世界”) の基本定理
    • 素イデアル分解の存在と一意性，およびその証明のポイント
    • 分数イデアル群，イデアル類群の定義とイデアル類群の有限性
  • 正則素数に対するフェルマーの最終定理 (クンマー)
    • 正則素数と非正則素数
    • 正則素数の場合の証明の概略: ケース1について
• 参考資料1 (フェルマーの最終定理とクンマーの “理想数”)
• レポート課題 [DAY1]

講義日程

8月   21日, 22日, 23日, 24日, 25日