数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学学芸学部 数学科 3年 (月曜1限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S109教室

講義内容:
『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後、加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する。凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質、単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない。参考資料のプリントを配布する予定。
参考書: 有木進著『加群からはじめる代数学入門 —線形代数学から抽象代数学へ』日本評論社 (第3ターム以降)
なお、『線形代数学Ⅰ, Ⅱ (演習付)』のテキスト (三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館; 第1ターム) および『代数入門』『代数学』のテキスト (松坂和夫『代数系入門』岩波書店; 第3ターム以降) でも本講義の内容は扱われているので、必要に応じて参照のこと。

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 12月26日   第4タームの講義の参考資料をアップロードしました。遅くなってすみません。解答は順次アップロードします．
• 10月18日   10月17日の講義内容を更新しました。来週 (10月24日) は 休校日 ですのでご注意ください!!
• 10月10日   10月10日の講義内容を更新しました。
• 10月3日   10月3日の講義内容を更新しました。
• 9月26日   9月26日の講義内容を更新しました。
• 9月19日   9月19日の講義内容を更新しました。
• 9月5日   9月5日の講義内容を更新しました。なお、9月12日 (月) は 休講 です。
• 8月29日   第3タームの講義の参考資料をアップロードしました。なお、第3タームの初回の講義は 9月5日 (月) の予定です。
• 8月17日   第1ターム学期末考査の採点講評および授業アンケートへのコメントを公開しました (第1ターム最終更新です)。
• 6月20日   第1ターム学期末考査の問題・略解を公開しました。
• 6月6日   6月6日の講義内容を更新しました (電車遅延で開始が遅れてしまいすみません m(_ _)m)。
• 5月30日   5月30日の講義内容を更新しました。
• 5月23日   5月23日の講義内容を更新しました。
• 5月16日   5月16日の講義内容を更新しました。
• 5月9日   5月9日の講義内容を更新しました。
• 5月2日   5月2日の講義内容を更新しました。
• 4月25日   4月25日の講義内容を更新しました。
• 4月18日   4月18日の講義内容を更新しました。
• 4月11日   第1タームの講義の参考資料をアップロードしました。
• 初回の講義は 4月18日 (月) の予定です。

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第4ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理)
2. 参考資料2 演習問題解答 (単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の証明)
3. 参考資料3 演習問題解答 (正方行列のフロベニウス標準形)
4. 参考資料4 演習問題解答 (単因子論とジョルダン標準形)

第3ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (ユークリッド整域とその性質，一般化ユークリッドの互除法)
2. 参考資料2 演習問題解答 (環のイデアルと剰余環，中国式剰余定理)
3. 参考資料3 演習問題解答 (環上の加群と準同型写像，準同型定理)
4. 参考資料4 演習問題解答 (単因子論の基本定理，整数係数行列のスミス標準形)
5. 参考資料5 演習問題解答 (多項式係数行列のスミス標準形)
6. 参考資料6 演習問題解答 (基本行列と基本変形，自由加群の間の準同型写像の核・余核)
7. 参考資料7 演習問題解答 (行列式因子と単因子)
8. 参考資料8 (単因子論の基本定理の証明: 係数環がユークリッド整域の場合)   試験範囲外
9. 参考資料8⁺ (単因子論の基本定理の証明: 係数環が一般の単項イデアル整域の場合)   試験範囲外

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)
6. 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
7. 参考資料7 演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
8. 参考資料8 演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)

講義内容

2023年1月30日 (月)

• 第4ターム学期末考査   問題   略解

2022年11月7日 (月)

• 第3ターム学期末考査   問題   略解

2022年10月24日 (月)

休校日 (津田塾祭後始末)

2022年10月17日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 自由加群間の準同型写像の核と余核
    • 対角行列が定める準同型写像の核と余核
    • 行列のスミス標準形と準同型写像の核・余核
    • 練習問題: 行列のスミス標準形と準同型写像の核・余核
    • 基本変形と基本行列の対応
    • 証明の方針: 基本変形に対応するユニモジュラー行列が核・余核の間の同型を誘導する
• 小レポート6 (スミス標準形と準同型写像の核・余核)
  提出締切: 10月20日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月10日 (月)   スポーツの日

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • スミス標準形と単因子 (続)
    • 多項式係数行列のスミス標準形の求め方: 基本変形で “次数を下げて” 掃き出し
• 小レポート5 (多項式係数行列のスミス標準形と単因子)
  提出締切: 10月13日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月3日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 環上の加群と準同型 (続)
    • ユニモジュラー行列と同型写像についての補足
  • スミス標準形と単因子
    • 6つの基本変形とその可逆性
      ※ 行 / 列のスカラー倍の際には単数倍しか許されない!!
    • 単因子論の基本定理: スミス標準形の存在と単因子
    • 整数係数行列のスミス標準形の求め方: “行列に対するユークリッドの互除法”
• 小レポート4 (整数係数行列のスミス標準形と単因子)
  提出締切: 10月6日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月26日 (月)

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • 環上の加群と準同型
    • 環上の加群の (粗い) 定義，ベクトル空間との違い (係数環が体か否か)
    • 加群の例: 自由加群，捩れ加群，およびその混交型
    • 加群の準同型写像の定義
    • 準同型の核，像，余核の定義
    • 自由加群の間の準同型写像が行列を用いて表されること (詳細は『線形代数学Ⅱ (演習付)』とまったく同様)
    • ユニモジュラー行列と同型写像
• 小レポート3 (加群と準同型写像)
  提出締切: 9月29日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月19日 (月)   敬老の日

• 環上の加群と単因子論 (続)
  • イデアルと剰余環
    • イデアルの定義と例，ユークリッド整域は単項イデアル整域であること
    • 剰余環の定義，環準同型定理
    • 中国式剰余定理とその例
    • 多項式環を単項イデアルで割った剰余環の計算
• 小レポート2 (多項式環の剰余環の計算)
  提出締切: 9月22日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月12日 (月)

出張のため 休講

2022年9月5日 (月)

• 環上の加群と単因子論
  • ベクトル空間 (線形代数) と加群 (代数学) の違い……係数が体か環か
  • 環… 乗法に関する単逆元の存在が保障されていない!!
  • ユークリッド整域と (一般化) ユークリッドの互除法
    • ユークリッド整域の定義   “余りのある割り算” が定義された環
    • ユークリッド整域の例: 有理整数環 Z, 体上の多項式環 K[x]
    • 有限体上の多項式の割り算 (筆算) の練習
    • 定理: ユークリッド整域では，ユークリッドの互除法により最大公約元が求められる
• 小レポート1 (ユークリッド整域と一般化ユークリッドの互除法)
  提出締切: 9月8日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

†       †       †

2022年6月20日 (月)

• 第1ターム学期末考査   問題   略解
• 採点講評

採点講評および，授業アンケート集計結果，自由回答欄のコメントへのフィードバックを載せています．

2022年6月13日 (月)

(補講日につき授業なし)

2022年6月6日 (月)

• 正方行列のジョルダン標準形 (続)
  • ジョルダン鎖とジョルダン細胞の関係について (補足)
  • 例題: 3次正方行列のジョルダン標準形
• 小レポート8 (4次正方行列のジョルダン標準形2)
  提出締切: 6月9日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

それでは学期末考査頑張ってください!!

2022年5月30日 (月)

• 第1タームの学期末考査・成績評価について   資料
• 正方行列のジョルダン標準形
  • ジョルダン細胞およびジョルダン標準形の定義
  • ジョルダン標準形を求めるための方針: 広義固有空間毎にジョルダン基底を構成する
  • 例題: 正方行列のジョルダン標準形
• 小レポート7 (4次正方行列のジョルダン標準形1)
  提出締切: 6月2日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年5月23日 (月)

• 羃零行列の標準形 (続)
  • ジョルダン鎖の定義と基本性質
  • 例題: 羃零行列の標準形
    特に、ジョルダン基底が複数のジョルダン鎖からなる場合について
• 小レポート6 (5次羃零行列の標準形)
  提出締切: 5月26日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年5月16日 (月)

• 広義固有空間分解定理の証明 (続)
  • 最小多項式から構成した行列 P_j が射影子となることの証明
  • P_j の像が固有値 λ_j に関する広義固有空間と一致することの証明
• 羃零行列の標準形
  • 羃零行列の定義と特徴付け; 固有値が0のみである行列
  • 羃零行列に関するジョルダン鎖、ジョルダン基底の定義
  • 例題: 羃零行列の標準形 [最小多項式の次数=羃零行列の次数の場合]
    特にジョルダン鎖、ジョルダン基底の構成の仕方に焦点を当てて
• 小レポート5 (3次羃零行列の標準形)
  提出締切: 5月19日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年5月9日 (月)

• 射影子とベクトル空間の直和分解
  • ベクトルの直和分解に関する射影子の定義
  • 射影子の基本性質
  • 射影子を用いたベクトル空間の直和分解
• 広義固有空間分解定理の証明
  • 方針: 最小多項式から射影子を構成する方法
  • 広義固有空間への射影子の計算例
• 小レポート4 (4次正方行列に関する広義固有空間分解と射影子)
  提出締切: 5月12日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年5月2日 (月)

• ベクトル空間の直和 (分解)
  • ベクトル空間の直和 (分解) の定義
  • 直和分解の例，直和分解でないものの例
  • 直和の基本性質: 各直和因子の基底を集めると，全体空間の基底をなす
• 広義固有空間分解
  • 広義固有空間の定義
  • 広義固有空間分解定理の主張
    1. 数ベクトル空間は、(実固有値を持つ) 正方行列の広義固有空間の直和に分解される
    2. 広義固有空間の次元=固有値の重複度，広義固有空間の次数=最小多項式の (T-固有値) の指数
  • 例: 4次正方行列に対する広義固有空間
• 小レポート3 (4次正方行列の広義固有空間)
  提出締切: 5月5日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年4月25日 (月)

• ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式
  • 行列の多項式への代入: 定数項に単位行列をつける
  • ケーリー–ハミルトンの定理の主張
  • 2次 / 3次正方行列の場合のケーリー–ハミルトンの定理
  • ケーリー–ハミルトンの定理の証明 (スケッチ)
  • 最小多項式の定義と基本性質
    1. 最小多項式は特性多項式を割り切る
    2. 最小多項式は (T-固有値) の形の1次式の相異なる固有値に関する積で割り切れる
  • 例題: 最小多項式の求め方
  • 対角化可能性と最小多項式
  • 最小多項式の基本性質の証明 (スケッチ)
• 小レポート2 (4次正方行列の最小多項式と対角化可能性)
  提出締切: 4月28日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。
※ 次週 (5月2日) は 通常授業日 なので要注意!!

2022年4月18日 (月)

• ガイダンス (講義の成績の付け方、Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料   ※ Google Classroom のクラスコードが分からない方は個別にご連絡ください。
• 行列の対角化可能性
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
  • 行列の対角化可能性の同値条件
• 小レポート1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月21日 (木) 23:59   Google Classroom に提出してください。

講義日程

第1ターム

4月   4日 (春季休校期間), 11日 (オリエンテーション期間), 18日, 25日
5月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日
6月   6日, 13日 (補講日), 20日 (第1ターム授業最終週)

第3ターム

9月   5日, 12日, 19日 (敬老の日 / 授業実施日), 26日
10月   3日, 10日 (スポーツの日 / 授業実施日), 17日, 24日 (津田塾祭 / 休校日), 31日
11月   7日 (第3ターム授業最終週)

第4ターム

11月   14日, 21日, 28日
12月   5日, 12日, 19日, 26日
1月   2日 (元日振替休日 / 休校日), 9日 (成人の日/ 休校日), 16日, 23日 (補講日), 30日 (第4ターム授業最終週)