4年セミナー   Seminar Ⅳ

津田塾大学学芸学部 数学科 4年 (木曜3, 4限)

担当: 原 隆

場所: 7号館 7302教室

講義内容 (シラバスより):
ガウス周期の整数論にまつわる話題を輪講形式で学習する．また，学生生活の総決算として，これまでに学習してきた知識をもとに卒業研究に取り組む．

取り上げられるテーマはガウス周期である．ガウス周期とは1の冪乗を適当に足し合わせて得られる複素数のことであり，ガウスの数論研究の根幹をなす概念である．その後より体系立った代数的整数論の発展の中でガウス周期の概念は顧みられることが少なくなったが，ガウスの構築した理論がその後の代数的整数論や数論幾何学の発展に果たした役割は計り知れない．また，ガウスの時代には現代的な抽象代数学 (群論、環論、体論) はまだ確立していなかったにもかかわらず，彼の理論の端々に現代代数学の典型的な議論の原型が見て取れるのも大変興味深いだろう．

本書の最終目標は，ガウスが概要のみを残して完全な証明を付けていなかった4乗剰余の相互法則に対して「ガウス流の証明」を補完することにあるが，その過程でガウスの主要な業績である正17角形の作図問題や平方剰余の相互法則のガウス周期による証明なども扱われる．テキストセミナーに参加しながらそれぞれ興味のあるテーマを探し，(必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で，自由に卒業論文にまとめてもらいたい．

教科書: 栗原 将人著『ガウスの数論世界をゆく —正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ』数学書房

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 9月22日 9月22日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 9月19日 9月15日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 7月27日 7月26日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 7月21日 6月23日 (木), 7月19日 (火) のセミナーの内容を更新しました。
• 6月9日 6月9日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月26日 5月26日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月12日 5月12日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月28日 4月28日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月21日 4月21日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月10日   セミナーの注意事項等のプリントをアップロードしました。
• セミナーの初回は 4月21日 (木) の予定です。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2022年9月22日 (木)

• 第4章 2次のガウス周期 (続)
  • 4.6 平方剰余の相互法則
    • 平方剰余の相互法則の主張
    • 鍵となる補題: [1]^l₂-[l]₂ の係数が l の倍数となること
    • 平方剰余の相互法則の証明

2022年9月15日 (木)

• 第4章 2次のガウス周期 (続)
  • 4.2 有限体上の2次曲線の点の個数   4つの2次曲線上の F_p 有理点の個数の数え上げ (p が 4 で割ると3余る素数のとき)
  • 4.4 円分体の基本性質 — 残り
  • 4.5 2次ガウス周期の基本定理の2つの別証明
    • 積公式の2通りの表し方を用いた証明
    • ガウスによる証明: [1]₂[g]₂ と [g]₂[g²]₂の比較

2022年9月8日 (木)

休講 (出張のため)

2022年7月26日 (火)   補講

• 第4章 2次のガウス周期 (続)
  • 4.3 2次ガウス周期の基本定理の第1の証明 —積公式に現れる各ガウス周期の数え上げ
  • 4.4 円分体の基本性質 —ガウスの補題とアイゼンシュタインの既約性判定法を用いた p-1 次円分多項式の既約性の証明
  • おまけ: 円分体が除法に関して閉じていること — 最小多項式を用いた分母の次数下げ
第3タームは 9/15 (木) からです。

2022年7月19日 (火)   補講

• 第3章 ガウス周期 (続)
  • 3.4 p=7 のとき   2次，3次ガウス周期の満たす具体的な方程式の積公式を用いた導出
• 第4章 2次のガウス周期
  • 4.1 2次のガウス周期と1の冪根   2次ガウス周期の基本定理の主張と補足
  • 4.2 有限体上の2次曲線の点の個数   4つの2次曲線上の F_p 有理点の個数の数え上げ (p が 4 で割ると1余る素数のとき)

2022年6月23日 (木)

• これまで飛ばしたところの補間 (2.6 ガウスを魅了した定理，2.7 4乗剰余)
• 第3章 ガウス周期 (続)
  • 3.3 積公式   積公式の主張と例，積公式の証明

2022年6月16日 (木)

休講 (教育実習等による調整)

2022年6月9日 (木)

• 第2章 有限体 —初等整数論— (続)
  • 2.8 d 乗剰余   d 乗剰余の群 H_d の定義と性質，剰余類分解
• 第3章 ガウス周期
  • 3.1 定義   1 の p 乗根の和の値，ガウス周期の定義と例，初等的な性質

2022年6月2日 (木)

休講 (出張のため)

2022年5月26日 (木)

• 第2章 有限体 —初等整数論— (続)
  • 2.3 F_p 上の方程式 (続)   因数定理，オイラーの定理，F_p の元が満たす方程式，ウィルソンの定理
  • 2.4 原始根の存在 (続)   原始根の存在定理の証明の残り
  • 2.5 平方剰余   定義と性質，ルジャンドル記号とその乗法性，オイラーの規準

2022年5月19日 (木)

休講 (教育実習等による調整)

2022年5月12日 (木)

• 第2章 有限体 —初等整数論— (続)
  • 2.2 有限体の乗法群   元の位数の定義, 剰余類分解と位数に関するラグランジュの定理, フェルマーの小定理
  • 2.3 F_p 上の方程式   多項式の積の根は、どちらかの積因子の根
  • 2.4 原始根の存在   原始根の定義, 証明の第1ステップ

2022年5月5日 (木)   こどもの日

休講

2022年4月28日 (木)

• 第1章 三角関数の値と 1 の n 乗根 (続)
  • 1.5 正7角形   cos 2π/7 が3次の無理数であること，正7角形と正9角形の作図不可能性
  • 1.6 円分数の世界   正 m 角形と正 n 角形が作図可能であるならば，正 mn 角形も作図可能であること，円分数および円分体の定義
• 第2章 有限体 —初等整数論—
  • 2.1 有限体 F_p (p が 0 となる世界)   有限体およびその上の演算の定義，ベズーの補題

2022年4月21日 (木)

• 第1章 三角関数の値と 1 の n 乗根
  • 1.1 円の n 等分と正 n 角形   角度の作図と三角比
  • 1.2 cos 72° と正 5 角形   作図できる数のまとめと正5角形の作図可能性
  • 1.3 弧度法   弧度法の定義の復習
  • 1.4 複素平面と 1 の n 乗根   相反方程式による cos 72° の導出

セミナー日程

第1ターム

4月   7日 (春季休校日), 14日 (オリエンテーション期間), 21日, 28日
5月   5日 (こどもの日 / 休校日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   1日 (夏季休校期間), 8日, 15日, 22日, 29日
10月   6日, 13日, 20日, 27日
11月   3日 (文化の日 / 休校日), 10日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   17日, 24日
12月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日 (冬期休校期間)
1月   5日 (冬期休校期間), 12日, 19日, 26日 (第4ターム授業最終週)