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2022年度 2年セミナー (原)
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2年セミナー Seminar Ⅱ
津田塾大学学芸学部 数学科 2年 (月曜3限)
担当: 原 隆
場所: 7号館 7408教室
講義内容 (シラバスより):
英語で書かれた比較的平易な数学書を輪読することにより，初等整数論の基礎知識を学ぶとともに，数学の専門用語を含む洋書文献の読み方を実践的に身につけることを目的とする．
テキスト『数論原論』は初等整数論の入門書である．整数の基本性質から始め，合同式やフェルマーの小定理，オイラーの定理といった基礎事項を確実に修得した上で，様々なディオファントス方程式の解き方を学び，「整数の世界を拡張する」という現代整数論のアイデアを身に付けていく．なお，途中で整数論の暗号理論への応用 (RSA公開鍵暗号) も学修する予定である．
途中で合同式の概念や群論の基礎事項が登場するので，(セミナー中でも補足する予定ではあるが) 同時開講されている『代数学基礎 (演習付)』『代数入門 (演習付)』も併せて履修することを薦める．
教科書: John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer–Verlag
※ テキストは学内から無料でダウンロード出来ます (VPN 接続を利用すれば自宅からもダウンロード出来ます)。
このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。
お知らせ / 更新履歴
- 10月3日
10月3日のセミナーの内容を更新しました。
- 9月26日
9月26日のセミナーの内容を更新しました。
- 9月20日
9月19日のセミナーの内容を更新しました。
- 9月5日
9月5日のセミナーの内容を更新しました。なお、9月12日 (月) は 休講 です。
- 6月20日
6月20日のセミナーの内容を更新しました。
- 6月6日
6月6日のセミナーの内容を更新しました。
- 5月30日
5月30日のセミナーの内容を更新しました。
- 5月23日
5月23日のセミナーの内容を更新しました。
- 5月16日
5月16日のセミナーの内容を更新しました。
- 5月9日
5月9日のセミナーの内容を更新しました。
- 5月2日
5月2日のセミナーの内容を更新しました。
- 4月25日
4月25日のセミナーの内容を更新しました。
- 4月18日
4月18日のセミナーの内容を更新しました。
- 4月10日 セミナーの注意事項等のプリントをアップロードしました。
- セミナーの初回は 4月18日 (月) の予定です。
進捗状況
事前に読んでおいてください
- 2022年10月3日 (月)
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- 3.6 Inverse mod k (続)
- 3.7 Quadratic Diophantine equations
- 合同式がディオファントス方程式の整数解の非存在の証明に使える例
- 素数の形状問題 (フェルマー) に関する歴史的解説
- 4.1 Trapdoor functions
- 2022年9月26日 (月)
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- 3.6 Inverse mod k (続)
- 法が合成数のときの (乗法に関する) 逆元の存在規準
- Z/kZ の可逆元全体 (Z/kZ)× が群をなすこと
- 例: (Z/8Z)×
- (Z/kZ)× の位数: オイラーのトーシェント関数
- 2022年9月19日 (月) 敬老の日
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- 3.5 Congruence theorems of Wilson and Lagrange
- ウィルソンの定理とその例
- ウィルソンの定理の証明: (p-1)! の中で逆元同士を打ち消し合う
- ラグランジュの定理: n次多項式は法 p で高々n個の根を持つ
- (補足) 法が合成数のときにラグランジュの定理が成り立たないこと
- 3.6 Inverse mod k
- 法が合成数のとき、0と合同でない数 a の逆元が存在するとは限らないこと
- 2022年9月5日 (月)
- 出張のため 休講
- 2022年9月5日 (月)
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- 3.4 Fermat's little theorem
- mod p で a, a2, a3,...... の中に同じ値のものが存在すること (鳩の巣原理)
- ラグランジュの定理を用いたフェルマーの小定理の証明
- { a, a2, a3,...... } が群となることの確認
- 2022年6月20日 (月)
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- 3.2 Inverse mod p
- 法 p での逆元の定義と存在
- 非零合同類が積に関して群をなすこと
- 部分群と剰余類，剰余類分割の例 ---(Z/pZ)× を例に
- 2022年6月13日 (月)
- (補講日により授業なし)
- 2022年6月6日 (月)
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- 2.6 Linear Diophantine equations
- 1次不定方程式が整数解を持つための条件
- 1次不定方程式の一般解
- 3.1 Congruence modulo n
- 3.2 Congruence classes and their arithmetic
- 合同類の定義と例
- 合同類の加法の定義と well-definedness (途中まで)
- 2022年5月30日 (月)
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- 2.4 Primes and factorization (続)
- 素因数分解の一意性の証明 (ユークリッドの補題を用いた背理法)
- 2.5 Consequences of unique prime factorization
- 平方数の互いに素な因子は平方数 (→ 立方数その他にも応用可)
- 平方数でない自然数の平方根は無理数 (→ 立方根その他にも応用可)
- 素因数分解を用いた最大公約数・最小公倍数の求め方
- 2022年5月23日 (月)
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- 前回までの残り (1.8 後半, 2.3前半)
- 2.4 Primes and factorization
- 素因数分解の存在 (降下の議論による)
- 素因子の性質 (ユークリッドの補題)
- 2022年5月9日 (月)
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- 2.1 The gcd by subtraction
- 2.2 The gcd by division with remainder
- 割り算による最大公約数の求め方 (ユークリッドの互除法)
- 2.3 Linear representation of the gcd (最大公約数の線形表示)
- 互除法による最大公約数の線形表示の求め方 (ベズーの補題)
- 2022年5月9日 (月)
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- 1.6 Diophantine equations (続)
- ピタゴラス数について: プリンプトン322 の話, ユークリッド
の公式
- 1.7 Diophantus chord method
- 1.8 Gaussian integers
- ガウスの整数の定義
- ガウスの整数を用いた2平方和恒等式の証明
- ピタゴラス数の合成
- 2022年5月2日 (月)
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- 1.3 Integers (続)
- 1.4 Division with remainders
- 余りのある割り算: 商と余りの定義
- 余りのある割り算の計算例
- 1.5 Binary notation
- 2進法表記の定義
- 2進法表記から10進法表記への “効率の良い” 戻し方
- 2進法表記から10進法表記への変換にかかる操作数の評価と繰り返し2乗法 (発展)
- 1.6 Diophantine equations
- べき根による解の公式: 2次方程式, 3次方程式 (Cardano—Tartaglia), 4次方程式 (Ferrari)
※ 5次以上の方程式に対するべき根による解の公式は存在しない!! (Abel–Ruffini) → ガロワ理論へ
- ディオファントス方程式の例
- 2022年4月25日 (月)
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- 1.1 Natural numbers
- 自然数とは，素数等の定義
- 素数が無限に存在することの (降下法による) 証明 (ユークリッド)
- 1.2 Induction
- 帰納法による証明の例
- 自然数の帰納的構造と，自然数の演算の定義の仕方 (発展)
- 1.3 Integers
- 整数の集合がアーベル群および環になること
- 0 や負の整数も含めて考えることの欠点と利点
次回は 1.3 の残りから
※ 来週5月2日は 通常授業日 なのでお間違えなく!!
- 2022年4月18日 (月)
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- ガイダンス
- Google Classroom への登録, 発表グループ決め
- セミナーの発表の仕方について
- Slack の利用について
次回からセミナーの本編に入ります (1.1 Natural numbers から)
セミナー日程
第1ターム
4月 4日 (春季休校期間), 11日 (オリエンテーション期間), 18日, 25日
5月 2日, 9日, 16日, 23日, 30日
6月 6日, 13日 (補講日), 20日 (第1ターム授業最終週)
第3ターム
9月 5日, 12日, 19日 (敬老の日 / 授業実施日), 26日
10月 3日, 10日 (スポーツの日 / 授業実施日), 17日, 24日 (津田塾祭 / 休校日), 31日
11月 7日 (第3ターム授業最終週)
第4ターム
11月 14日, 21日, 28日
12月 5日, 12日, 19日, 26日
1月 2日 (元日振替休日 / 休校日), 9日 (成人の日/ 休校日), 16日, 23日 (補講日), 30日 (第4ターム授業最終週)