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線形代数学Ⅰ (演習付) Linear Algebra Ⅰ
津田塾大学学芸学部 数学科 1年 (水曜1限)
※ 演習 (月曜2限) は 宮澤治子先生 のご担当です
担当: 原 隆
場所: 南校舎 S107 教室
講義内容 (シラバスより):
まず、数ベクトル・行列の定義と基本性質について学ぶ。その後、連立一次方程式を行列によって取り扱うことを学ぶ。連立一次方程式の解法を通じて、線形代数の基本的な概念に触れ、様々な具体例の計算を学ぶ。特に、行列の基本変形、行列の階数の概念、正則行列、行列式の定義と基本性質、ベクトルの一次独立性などについて学ぶ。
教科書: 三宅敏恒著 『線形代数学 — 基礎からジョルダン標準形へ』 （培風館）
※ 教科書とは別に，講義内容の参考資料および演習課題等を配布します
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 11月13日
参考資料7–12をアップロードしました。
- 10月26日
10月19日, 26日の授業内容を更新しました。
- 10月5日
10月5日の授業内容を更新しました。
- 9月28日
9月28日の授業内容を更新しました。
- 9月21日
9月21日の授業内容を更新しました。
- 9月14日
9月7日, 9月14日の授業内容を更新しました。
- 9月6日
本講義の参考資料をアップロードしました (参考資料6まで)。
- 初回講義は 9月7日 (水) です。基本的に 水曜:講義, 月曜: 演習 (宮澤先生ご担当) とします (部分的に例外あり)
参考資料一覧
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参考資料1 (2次正方行列の演算)
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参考資料2 (一般の行列の定義と演算, 行列の区分け)
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参考資料3 (行列の行基本変形と簡約化)
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参考資料4 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
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参考資料5 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方, 行列の基本変形と基本行列)
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参考資料6 (行列の簡約化の存在と一意性の証明)
※ 応用的な内容です。試験 (レポート) 出題範囲外
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参考資料7 (2,3次行列式の基本3性質)
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参考資料8 (基本3性質による行列式の定義, 三角化による行列式の計算法)
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参考資料9 (ラプラスの余因子展開)
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参考資料10 (余因子展開の応用: 余因子行列と逆行列, クラーメルの公
式)
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参考資料11 (行列式の明示公式, 行列式の乗法性, 転置行列の行列式)
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参考資料12 (数ベクトルの線形独立性/線形従属性)
講義内容
- 2023年1月25日 (水)
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- 2022年11月9日 (水)
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- 2022年10月26日 (水)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅱ: 逆行列の求め方
- n 次正方行列の逆行列の定義 (復習)
- 簡約化を用いた逆行列の求め方と具体例
- 問題演習: 逆行列の求め方
- 行列の行基本変形と基本行列の対応
- 正則行列の積は正則行列
- 逆行列の求め方の原理
行列 A を行基本変形で単位行列に変形できたなら、A の左から対応する基本行列の積を掛けると単位行列となる
- 小レポート7 (簡約化の応用2: 逆行列の求め方)
提出締切: 10月29日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年10月19日 (水)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 簡約化の応用Ⅰ: 連立1次方程式の解法
- 拡大係数行列の行基本変形による連立1次方程式の解法
- 例題および問題演習: 連立1次方程式の解法
- ルーシェ–カペリ (Rouché–Capelli) の定理
- 係数行列と拡大係数行列の階数が一致するときのみ解が存在
- 解に現れるパラメータの個数は (未知数の総数) – rank A 個
- 小レポート6 (簡約化の応用1: 連立1次方程式の解法)
提出締切: 10月22日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年10月12日 (水)
- 列車の大幅遅延により 休講 (11/2に補講: 試験範囲外)
- 2022年10月5日 (水)
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- 行列の簡約化とその応用 (続)
- 行列の簡約化: ガウスの消去法
- 戦略: 生き残らせるピボットを選択して (ピボット選択)，その列の残りの成分をピボットを用いて掃き出す (sweep out)
- 例題: 一般の行列の簡約化
- 練習問題: 行列の簡約化
- 小レポート5 (行基本変形と簡約行階段行列)
提出締切: 10月8日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年9月28日 (水)
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- 行列の簡約化とその応用
- 行列の行基本変形と簡約行階段行列
- 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義，基本変形が可逆な操作であること
- 簡約行階段行列 (reduced row echelon form, rref) の定義
- 定理: 行列の簡約化の存在と一意性 (証明は第3タームの最後に発展項目として扱います)
- 例題: 簡約行階段行列の判定と簡単なケースの簡約化
- 小レポート4 (行基本変形と簡約行階段行列)
提出締切: 10月1日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年9月21日 (水)
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- 行列とその演算 (続)
- 一般の行列 (続)
- 一般の行列の演算についての諸注意
- 逆行列および正則行列の定義
- 行列の区分け
- 行列の簡約化とその応用
- 小レポート3 (行列の区分けと3次正方行列の逆行列)
提出締切: 9月24日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年9月14日 (水)
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- 行列とその演算 (続)
- 2次正方行列の演算 (続)
- 2次正方行列の積について (補足)
- 結合法則とその図形的意味
- 交換法則は成り立たない!!
- 零変換と零行列
- 恒等変換と単位行列
- 逆変換と逆行列
- 逆変換の定義
- 逆変換の例と逆変換を持たない例 (正射影)
- 逆変換の行列表示 (逆行列) の計算
- 逆行列の定義と逆行列の存在条件: 行列式が0にならない
- 一般の行列
- 一般の行列の定義と用語 (行、列、成分) の説明
- 行列の演算: “2次正方行列と同様の計算ルールで計算出来る場合のみ定義する”
- 小レポート2 (2次正方行列の逆行列，一般の行列の積)
提出締切: 9月17日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
- 2022年9月7日 (水)
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- 行列とその演算
- 2次正方行列の演算
- 行列の和の定義 —線形変換の和の行列表示として
- 行列のスカラー倍の定義 —線形変換のスカラー倍の行列表示として
- 線形変換の合成と行列の積
- 線形変換の合成の定義
- 合成変換の行列表示としての行列の積
- 問題演習: 行列の積
- 小レポート1 (2次正方行列の積)
提出締切: 9月10日 (土) 23:59 Google Classroom に提出してください。
講義日程
第3ターム
9月 7日, 14日, 21日, 28日
10月 5日, 12日, 19日, 26日
11月 2日 (補講日 / 授業はなし), 9日 (第3ターム最終授業日)
第4ターム
11月 16日, 23日 (勤労感謝の日 / 授業実施日), 30日
12月 7日, 14日, 21日, 28日
(冬季休暇)
1月 4日 (冬季休暇), 11日,18日, 25日 (第4ターム最終授業日)
演習日程
第3ターム
9月 5日, 12日, 19日 (敬老の日 / 授業実施日), 26日
10月 3日, 10日 (スポーツの日 / 授業実施日), 17日, 24日 (津田塾祭 / 休校日), 31日
11月 7日 (第3ターム授業最終週)
第4ターム
11月 14日, 21日, 28日
12月 5日, 12日, 19日, 26日
1月 2日 (元日振替休日 / 休校日), 9日 (成人の日/ 休校日), 16日, 23日 (補講日), 30日 (第4ターム授業最終週)