代数入門 (演習付)   Introduction to algebra

津田塾大学学芸学部 数学科 2年 (火曜3限)

※ 演習 (金曜3限) は 前田多恵先生 のご担当です

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S109教室

講義内容 (シラバスより):
代数的構造の一つである 群 group についての基本事項を学ぶ．群や部分群，剰余群，準同型写像などの定義や性質を確認した後，準同型定理とその応用を扱う．後半は群作用やシローの定理などを学ぶ．

参考書: 雪江明彦著『代数学1 — 群論入門』 (日本評論社)
　　　  松坂和夫著『代数系入門』 (岩波書店)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 10月25日   参考資料6を公開しました (演習問題の解答はもう少々お待ちください)。10月25日の講義内容を公開しました。
• 10月18日   10月11日，18日の講義内容を公開しました。
• 10月4日   10月4日の講義内容を公開しました。
• 10月3日   参考資料5および演習問題解答を公開しました。
• 9月27日   9月27日の講義内容を公開しました。
• 9月26日   参考資料4の演習問題解答を公開しました。
• 9月20日   9月20日の講義内容を公開しました。参考資料3の演習問題解答を公開しました。
• 9月13日   9月6日, 9月13日の講義内容を公開しました。
• 初回講義は 9月6日 (火) です。

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

1. 参考資料1 演習問題解答 (群の定義と例)
2. 参考資料2 演習問題解答 (部分群と生成系)
3. 参考資料3 演習問題解答 (巡回群と元の位数)
4. 参考資料4 演習問題解答 (準同型写像と同型写像)
5. 参考資料5 演習問題解答 (集合の同値関係と同値類別)
6. 参考資料6 演習問題解答 (剰余類分割とラグランジュの定理)
7. 参考資料7 演習問題解答 (正規部分群と剰余群)
8. 参考資料8 演習問題解答 (群準同型定理)
9. 参考資料9 演習問題解答 (群の作用)
10. 参考資料10 演習問題解答 (シローの定理)

講義内容

2023年1月31日 (火)

• 第4ターム学期末考査   問題   略解

2022年11月8日 (火)

• 第3ターム学期末考査   問題   略解

2022年11月1日 (火)

補講日 (この授業はありません)

2022年10月25日 (火)

• 剰余類分割とラグランジュの定理 (続)
  • ラグランジュの定理とその系
  • 応用: オイラーの定理の群論的証明
• 正規部分群と剰余群
  • 剰余類上の群演算が well-defined でない例
  • 剰余類上の群演算が well-defined になるための条件は?
  • 正規部分群と剰余群の定義
  • 正規部分群の例 (アーベル群の部分群，3次対称群と交代群，一般線形群と特殊線形群)
• 小レポート8 (ラグランジュの定理とその応用，正規部分群と剰余群)
  提出締切: 10月28日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月18日 (火)

• 剰余類分割とラグランジュの定理 (続)
  • 群の剰余類分割の例: 剰余類や指数が無限となる場合
  • 剰余類の性質2: 各剰余類の位数は等しい，左右剰余類の個数は一致
  • 剰余類の集合に関する注意: 写像が「正しく定義されている (well-defined)」ということ
  • 剰余類の集合に群演算を定義するには? — 群演算の well-definedness
• 小レポート7 (群演算の well-definedness)
  提出締切: 10月21日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月11日 (火)

• 剰余類分割とラグランジュの定理
  • 部分群の定める同値関係
  • 群の左/右剰余類分割，剰余類の集合 G/H, H\G
  • 群の剰余類分割の例: 可換群の場合，非可換群の場合
  • 同値類の性質
• 小レポート6 (群の剰余類分割)
  提出締切: 10月14日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年10月4日 (火)

• 準同型写像と同型写像 (続)
  • 例題の補足: 準同型定理のイメージ，群を「クラス分け」すること
• 集合の同値関係と同値類別
  • 集合の同値関係の定義と例
  • 整数の合同関係が同値関係であること
  • 同値類の定義と性質
  • 同値類別と完全代表系
  • 例: Z 上の合同関係に対する同値類別
• 小レポート5 (集合の同値関係と同値類)
  提出締切: 10月7日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月27日 (火)

• 元の位数 (続)
  • 命題: 元の位数の性質
  • 有限群の元の位数が有限であること (鳩の巣原理)
• 準同型写像と同型写像
  • 例: 3つの位数4の群の比較 —演算表を比べてみる
  • 「群を比較する」とはどういうことか?
  • 群準同型写像，同型写像，群の同型の定義
  • 準同型写像の核と像の定義
  • 例題: 準同型写像の核と像
• 小レポート4 (準同型写像の像と核)
  提出締切: 9月30日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月20日 (火)

• 群の生成系
  • 部分集合が生成する部分群とその例
  • 群の生成系の定義と例
• 巡回群
  • 巡回群の定義: 1つの元 (からなる集合) により生成される群
  • 巡回群の例: Z (加法群), 1の n 乗根のなす群
  • 有限巡回群と無限巡回群のイメージ
• 元の位数
  • 元の位数の定義
  • 例: (Z/7Z)^× の元の位数
  • 元の位数の言い換え: x^*m=e となる最小の自然数
  • (発展) (Z/pZ)^× が巡回群となること (原始根の存在)
• 小レポート3 (巡回群と元の位数)
  提出締切: 9月23日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月13日 (火)

• 群の定義と例 (続)
  • 群の例 (続): 置換の積とn次対称群
• 部分群
  • 部分群の定義
  • 部分群となる例，部分群とならない例
  • 部分集合が部分群であるかどうかの判定条件
  • 部分群の例: 特殊線形群
• 小レポート2 (置換と対称群，部分群)
  提出締切: 9月16日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2022年9月6日 (火)

• ガイダンス (講義の成績の付け方, Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料 (Google Classroom のクラスコードが分からない人は直接お問い合せ下さい)
• 群の定義と例
  • 群の定義
  • 群の例: 加法群，乗法群，一般線形群etc......
  • なぜ群論を学ぶ必要があるのか?
• 小レポート1 (群の定義)
  提出締切: 9月9日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

講義日程

第3ターム

9月   6日, 13日, 20日, 27日
10月   4日, 11日, 18日, 25日
11月   1日 (補講日), 8日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   15日, 22日, 29日
12月   6日, 13日, 20日, 27日
1月   3日 (冬季休暇), 10日, 17日, 24日 (補講日), 31日 (第4ターム最終授業日)

演習日程

第3ターム

9月   2日, 9日, 16日, 23日 (秋分の日 / 授業実施日, 30日
10月   7日, 14日, 21日 (津田塾祭準備 / 休講), 28日
11月   4日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   11日, 18日 (津田ヶ谷祭準備 / 休講), 25日
12月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日 (冬季休暇)
1月   6日, 13日 (休講日), 20日, 27日 (第4ターム最終授業日)