2022年度代数学基礎 (演習付) (原)

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代数学基礎 (演習付) Basics of algebra

津田塾大学学芸学部数学科 2年 (火曜3限)

※ 演習 (金曜3限) は前田多恵先生のご担当です

担当: 原隆

場所: 南校舎 S109教室

講義内容 (シラバスより):
身近でなじみ深い整数の性質を調べていく中で，群・環・体といった代数学における基本的な概念や考え方を学ぶ．ユークリッドの互除法，合同式，フェルマーの小定理とオイラーの定理など，初等整数論の様々な話題を学ぶとともに，関連する抽象的な概念を取り扱う．

教科書: 特に指定しません
参考書: 遠山啓著『数の不思議 — 初等整数論への招待』 (sbクリエイティブ) など

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

8月17日学期末考査の問題・略解・採点講評および授業アンケートへのコメントを公開しました (最終更新です)。
6月14日 6月14日の講義内容を公開しました。
6月7日 6月7日の講義内容を公開しました。
5月31日 5月31日の講義内容を公開しました。
5月24日 5月24日の講義内容を公開しました。
5月17日 5月17日の講義内容を公開しました。
5月10日 5月10日の講義内容を公開しました。
4月26日 4月26日の講義内容を公開しました。
4月19日 4月19日の講義内容を公開しました。
4月10日講義の参考資料をアップロードしました。
初回講義は 4月19日 (火) です。

参考資料一覧

ガイダンス資料 (予め目を通しておこう!! )

参考資料0 演習問題解答 (割り算の定理、約数と倍数、ユークリッドの互除法) 各自で読んでおいてください
参考資料1 演習問題解答 (1次不定方程式、ベズーの補題)
参考資料2 演習問題解答 (ユークリッドの補題、素因数分解の存在と一意性定理)
参考資料3 演習問題解答 (合同式の定義と性質、合同式を使ってみよう!! )
参考資料4 演習問題解答 (1次合同方程式とその解法)
参考資料5 演習問題解答 (連立1次合同方程式と中国式剰余定理)
参考資料6 演習問題解答 (フェルマーの小定理とオイラーの定理)
参考資料7 演習問題解答 (オイラーのトーシェント関数の性質)
参考資料α 演習問題解答 (暗号理論への応用1: RSA公開鍵暗号) 試験範囲外
参考資料β 演習問題解答 (暗号理論への応用2: エルガマル公開鍵暗号) 試験範囲外

講義内容

2022年6月21日 (月)

学期末考査問題略解
採点講評

2022年6月14日 (火)

フェルマーの小定理とオイラーの定理 (続)
- オイラーのトーシェント関数の計算法
  - 命題: φ(p^k)=p^k-p^k-1
  - トーシェント関数の乗法性と例
  - 例題: 一般の自然数に対するトーシェント関数の値の計算法 — トーシェント関数の乗法性を用いて
  - トーシェント関数の乗法性の証明の概略
小レポート8 (オイラーの定理 (2))
提出締切: 6月17日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年6月7日 (火)

フェルマーの小定理とオイラーの定理 (続)
- フェルマーの小定理 (続)
  - フェルマーの小定理の証明
    - mod p の世界での “九九の表” を作ってみる
    - mod p の世界での “九九の表” の特徴;
      どの “段” も 1,2,...,p –1 がちょうど一度ずつ現れる
    - “九九の表” を利用した証明の概略
    - 一般の設定での証明
      「“九九の表” のどの “段” も 1,2,...,p –1 がちょうど一度ずつ現れる」ことをどのようにして証明するか?
- オイラーのトーシェント関数とオイラーの定理
  - オイラーのトーシェント関数: 定義と計算例
  - オイラーの定理の主張: 法が合成数の場合へのフェルマーの小定理の拡張
  - オイラーの定理の証明の概略: “法と互いに素な数” に制限して “aの段” の数を掛け合わせる
小レポート7 (フェルマーの小定理 (2), オイラーの定理 (1))
提出締切: 6月10日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年5月31日 (火)

合同式 (続)
- 連立1次合同方程式と中国式剰余定理 (続)
  - 中国式剰余定理 — 連立1次合同方程式の解の存在と一意性
  - 連立1次合同方程式の解法: 一般の場合
    “右辺を1箇所だけ残して残りを0にした連立合同方程式の解を足し合わせる”
フェルマーの小定理とオイラーの定理
- フェルマーの小定理の主張
- 例: p=3, p=5, p=7 のとき
- 応用: 法が素数のときの逆元の存在
映像資料: 警察と泥棒: 漢兵を徴兵するのに余りを用いること 點指兵兵點用餘數點漢兵 (中国語)
(恐らく) 中国の数学教育番組的な動画。所謂 “韓信點兵” 算についての解説。数学の時間 (?) に居眠りをしていると、夢の中に中国の武将韓信(ハンシン) が現れて……、という内容 (だと思います)。
中国語が分からなくても、何となく漢字の雰囲気で内容が推察出来るのは、同じ漢字言語圏ならではの感覚なのでしょうね。“韓信點兵” の歴史的背景や、“韓信點兵” 算の計算法 (『算法統宗』に掲載されている「謎の詩」の意味) についても解説されています。中国語・中国文化を履修されている人は、リスニング教材として活用してみてはいかがでしょう (^^;
小レポート6 (連立1次合同式の解法 (2), フェルマーの小定理 (1))
提出締切: 6月3日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年5月24日 (火)

合同式 (続)
- 1次合同式とその解法 (続)
  - 法 n での逆元の定義と具体例
  - 逆元の存在定理: a が法 n と互いに素なら a^–1 が存在する
  - 1次合同式の解法2: x の係数が定数項を割り切らない場合
  - 1次不定方程式への応用
    適当な法で modulo して x か y の1次合同方程式に帰着する
- 連立1次合同式と中国式剰余定理
  - 『孫子算経』の “数当て問題” — 「余りの情報からもとの数を求める」
  - 中国の算法書に載っている解答 (「三人同行七十稀〜」の詩の意味の解説)
  - 例題: 1つの合同式を除いて右辺が0の場合
- 小レポート5 (1次合同式の解法 (2), 連立1次合同式の解法 (1))
  提出締切: 5月27日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年5月17日 (火)

合同式 (続)
- 合同式を使って遊んでみようⅡ: 大きな羃乗数を割った余り
  - 方針: 底を法より小さい数で取り換える → “1と合同になるような羃乗”を探す
  - 例題: 大きな羃乗数を割った余り
- 1次合同式とその解法
  - 1次合同式とは? — (実数の世界での) 1次方程式と比較して
  - 1次不定方程式との関係
    ax ≡ d (mod n) を満たす整数 x が存在する ⇔ ax - ny = d を満たす整数組 (x, y) が存在する
  - 1次合同式の解法1: x の係数が定数項を割り切る場合
    - 合同式と割り算
    - 例題
映像資料
- 干支 - 十二支の話（日本語版）アニメ日本の昔ばなし／日本語学習 (日本語)
  昔々、神様が「元旦の朝、一番目から十二番目までにここにやって来たものを、1年交代で動物の大将にする」という触書を出したものだからさぁ大変。牛やら虎やら兎やら、はては天空の龍まで巻き込んで、一世一代の大競走が繰り広げられました。ところが猫は、鼠から「元旦の次の日の朝に到着したもの」という誤った触書の内容を教えられて……
  十二支にまつわる日本の逸話。「なぜ猫は十二支に入っていないのか」「『犬猿の仲』の由来」「猫が鼠を追いかけまわすようになった理由」など、ちょっと情報過多なんじゃないのという位色々なことの “由来” を説明しているお話。まぁこの位は、日本人として把握しておいても良いんじゃないでしょうかね?
小レポート4 (合同式を使ってみよう (2) — 大きい羃乗数を割った余り，1次合同式の解法 (1))
提出締切: 5月20日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年5月10日 (火)

合同式
- 合同式とは?
  - 定義とその意味 — “整数を n で割った余りで分類する”
  - 合同式の基本性質: 合同式の加減乗について
    ※ 講義ではあまり強調しませんでしたが、合同式同士の割り算は一般には出来ないことに注意!! (そのうち補足します)
- 合同式を使って遊んでみようⅠ: 暦算
  - 暦算: “〇年後 / 〇年前は何曜日?”
  - 閑話休題: 閏年, 干支と暦について
  - 曜日の計算の仕方の復習: “1週間=7日間” で割った余りに注目する
  - 合同式の威力: 先にすべて n で割った余りにしてから加減乗算をしても良い!!
    → 計算量が飛躍的に少なくなる!!
映像資料
- 后羿と10の太陽: 中国の伝承 Hòu Yì and The Ten Suns: A Chinese Folktale (英語)
  遙か昔の帝堯の治世、天帝 (帝夋) の息子である10個の太陽が一度に地上に現れ、中国の地は灼熱地獄と化しておりました。天帝はこの問題を解決すべく、弓の名手たる后羿(こうげい) (中国読: ホウイー) を地上に遣わしました。しかしあろうことか后羿は、天帝の息子たる太陽を1つを残してすべて射落としてしまったのです。激怒した天帝は后羿とその妻嫦娥(じょうが) (中国読: チャンガ) を神籍から抜いてしまいます。困り果てた后羿は、崑崙(こんろん)山 (中国読: クンルンシャン) に棲まう西王母のもとを訪ね、宮殿と引き換えに不老不死の妙薬を貰うことに成功します。家に戻った后羿は妙薬を隠しますが、嫦娥はそれを見つけてしまいました。或る日庭を散歩していた嫦娥は、好奇心を抑えられず不老不死の妙薬を飲んでしまいます。すると嫦娥の身体はあれよあれよと浮かび上がり、后羿が慌てて引き止めようとするも間に合わず、満月へと消えていってしまったのでした。
  『射日神話』『大羿射日』として伝わる中国の有名な故事。現在も暦や占術で用いられる十干 (甲乙丙丁戊己庚辛壬癸) が10の要素からなるのは、この伝承に由来するのではないかとも言われています (諸説あります)。
小レポート3 (合同式を使ってみよう (1) — 暦算)
提出締切: 5月13日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年5月3日 (火) 憲法記念日

休校日

2022年4月26日 (火)

ユークリッドの補題，整数の素因数分解と一意性定理
- 素数と合成数の定義
- ユークリッドの補題 — ベズーの補題の応用として
- 素因数分解の存在と一意性定理
小レポート2 (素因数分解の一意性の応用)
提出締切: 5月3日 (火) 23:59 Google Classroom に提出してください。

2022年4月19日 (火)

ガイダンス (講義の成績の付け方、Google Classroom の使い方など)
ガイダンス資料 ※ Google Classroom のクラスコードが分からない方は個別にご連絡ください。
整数の性質
- 1次不定方程式とベズーの補題
  - 不定方程式 (ディオファントス方程式) の定義と例
    ピタゴラス数の決定，フェルマーの最終定理など: ディオファントス問題は見かけ以上に難しい!!
  - 1次不定方程式の整数解が存在する必要十分条件
  - 必要性の証明
  - 十分性: ベズーの補題
  - 例題: ユークリッドの互除法の “逆再生” による1次不定方程式の特殊解の構成
小レポート1 (ユークリッドの互除法と1次不定方程式の特殊解)
提出締切: 4月22日 (金) 23:59 Google Classroom に提出してください。

講義日程

4月 5日 (春季休校日), ~~12日~~ (ガイダンス期間), 19日, 26日
5月 3日 (憲法記念日 / 休校日), 10日, 17日, 24日, 31日
6月 7日, 14日, 21日 (第1ターム最終週)