数学特別講義B   Special Lecture on Mathematics B

津田塾大学数学科 3年〜 (月曜1限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S107教室

講義内容:
『線形代数学』の続論としてジョルダン標準形の理論について解説した後、加群の理論の基礎的な内容 (特に単因子論) について講義する。凡その予定は以下の通り:

• 第1ターム: ジョルダン標準形 (広義固有空間分解を用いた幾何的方法)
• 第3ターム: 加群の定義と基礎的な性質、単因子論
• 第4ターム: 単因子論の応用 (有限生成アーベル群の構造定理, ジョルダン標準形再訪)

教科書: 特定のテキストは指定しない。参考資料のプリントを配布する予定。なお、『線形代数学』のテキスト (三宅敏恒『線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ』培風館) および『代数入門』『代数学』のテキスト (松坂和夫『代数系入門』岩波書店) でも本講義の内容は扱われているので、必要に応じて参照してください。

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 6月14日   6月14日の講義内容を更新しました。第1タームの講義はこれで終了です。学期末レポート頑張ってください!!
• 6月7日   6月7日の講義内容を更新しました。
• 6月6日   5月31日の講義内容を更新しました。
• 5月24日   5月24日の講義内容を更新しました。
• 5月18日   5月17日の講義内容を更新しました。
• 5月10日   5月10日の講義内容を更新しました。
• 4月26日   4月26日の講義内容を更新しました。
• 4月19日   4月19日の講義内容を更新しました。
• 初回の講義は 4月19日 (月) の予定です。
  今年度は新型コロナウィルス感染症の流行状況も踏まえつつ ハイブリッド講義 として実施します。

参考資料一覧

• ガイダンス資料   (予め読んでおくこと!! )

第1ターム

1. 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
2. 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
3. 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー--ハミルトンの定理と最小多項式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
5. 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)
6. 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
7. 参考資料7 演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
8. 参考資料8 演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)

講義内容

• 第1ターム学期末レポート・成績評価について   レポートは Google Classroom で提出してください。
  解答期間: 6/21 (月) — 6/23 (水),   提出締切: 6/23 (水) 23:59 JST (22:59 CST)     締切厳守!!
• 2020年度数学特別講義B(1) 学期末レポート 問題 略解

2021年6月14日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • 広義固有空間分解定理の証明の概略   [学期末レポート出題範囲外]
    • 線形空間の直和分解の定義と例
    • 射影子を用いた線形空間の直和分解について
    • 最小多項式から射影子を構成する方法 (概略の説明のみ)
• 確認問題8 (正方行列のジョルダン標準形Ⅱ)
  提出締切: 6月18日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年6月7日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • 正方行列のジョルダン標準形
    • ジョルダン標準形を求めるための方針: 広義固有空間毎にジョルダン基底を構成する
    • 例題: 正方行列のジョルダン標準形
• 参考資料7 演習問題解答 (正方行列の加法的ジョルダン分解)
• 参考資料8 演習問題解答 (正方行列のジョルダン標準形)
• 確認問題7 (正方行列のジョルダン標準形Ⅰ)
  提出締切: 6月11日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年5月31日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • 羃零行列の標準形 (続)
    • 例題: 羃零行列の標準形
      特に、ジョルダン基底が複数のジョルダン鎖からなる場合について
• 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
• 確認問題6 (羃零行列の標準形Ⅱ)
  提出締切: 6月4日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年5月24日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • 羃零行列の標準形
    • 羃零行列の定義と特徴付け; 固有値が0のみである行列
    • 羃零行列に関するジョルダン鎖、ジョルダン基底の定義
    • 例題: 羃零行列の標準形 [最小多項式の次数=羃零行列の次数の場合]
      特にジョルダン鎖、ジョルダン基底の構成の仕方に焦点を当てて
      ※ 例題の解説動画を Google Classroom にアップロードしてありますので、参考にしてください。
• 参考資料5 演習問題解答 (広義固有空間分解Ⅱ)
  ※ 今年度は授業では扱いません!! ジョルダン標準形の計算をひと通り学習して、余力のある人は是非チャレンジしてみてください!!
• 参考資料6 演習問題解答 (羃零行列の標準形)
• 確認問題5 (羃零行列の標準形Ⅰ)
  提出締切: 5月28日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年5月17日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • ベクトル空間の広義固有空間分解
    • 広義固有ベクトルおよび広義固有空間の定義
    • 広義固有空間分解定理の主張
      数ベクトル空間は、(実固有値を持つ) 正方行列の広義固有空間の直和に分解される
    • 線形空間の直和について (概説)
  • 例題: ベクトル空間の広義固有空間分解
• 参考資料4 演習問題解答 (ベクトル空間の直和と広義固有空間分解Ⅰ)
• 確認問題4 (ベクトル空間の広義固有空間分解)
  提出締切: 5月21日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年5月10日 (月)

• ジョルダン標準形 (続)
  • ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式
    • ケーリー–ハミルトンの定理と2次正方行列の場合の例
    • 最小多項式の定義と基本性質
      
      1. 最小多項式は特性多項式を割り切る
      2. 最小多項式は (T-固有値) の形の1次式の相異なる固有値に関する積で割り切れる
    • 例題: 最小多項式の求め方
    • 最小多項式の基本性質の証明 (スケッチ)
• 参考資料3 演習問題解答 (ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式)
• 確認問題3 (4次正方行列の最小多項式)
  提出締切: 5月14日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年5月3日 (月)   憲法記念日

休講 (ゴールデンウィーク休暇)

2021年4月26日 (月)

• 行列の対角化可能性 (族)
  • 固有値の重複度の定義
  • 対角化可能性の必要十分条件: 固有値の重複度と固有空間の次元の関係に着目して
  • 固有空間の次元が固有値の重複度以下となることの証明の概略
    — 固有空間の基底の拡張に関する行列表示を用いて特性多項式を計算する
• ケーリー–ハミルトンの定理と最小多項式
  • 行列の多項式への代入: 定数項に単位行列をつける
  • ケーリー–ハミルトンの定理の主張
  次回 (GW明け) はケーリー–ハミルトンの定理の計算例を見たあとで、最小多項式について学習します。
• 参考資料2 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅱ)
• 確認問題2 (4次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月30日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

2021年4月19日 (月)

• ガイダンス (講義の成績の付け方、Google Classroom の使い方など)
  ガイダンス資料: ガイダンス資料   ※ Google Classroom のクラスコードが分からない方は個別にご連絡ください。
• 行列の対角化可能性
  • 行列の対角化可能性の定義
  • 例題: 対角化可能な行列と対角化不可能な行列
• 参考資料1 演習問題解答 (正方行列の対角化可能性Ⅰ)
• 確認問題1 (3次正方行列の対角化可能性)
  提出締切: 4月23日 (金) 23:59   Google Classroom に提出してください。

講義日程

第1ターム

4月   5日 (春季休校期間), 12日 (オリエンテーション期間), 19日, 26日
5月   3日 (憲法記念日 / 休校日), 10日, 17日, 24日, 31日
6月   7日, 14日, 21日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   6日, 13日, 20日 (敬老の日 / 授業実施日), 27日
10月   4日, 11日, 18日, 25日 (津田塾祭後始末 / 休講)
11月   1日, 8日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   15日, 22日, 29日
12月   6日, 13日, 20日, 27日
1月   3日 (冬期休校期間), 10日 (成人の日 / 休校日), 17日, 24日 (第4ターム最終授業日)