一般の数学書とは異なり、本テキストでは多少の数学的厳密さを犠牲にして (証明が省略されている箇所も比較的多い)、現代数論の広大な世界を概観し、楽しむことに重点が置かれているため、セミナーの前半でも最初はあまり細部には立ち入らず、とにかくテキストを通読することを目指してテキスト輪講を行う。その後、自分が興味を惹かれたテーマについて (必要ならばグループに分かれて) もう少し詳しく掘り下げた上で、自由に卒業論文にまとめてもらいたい。

教科書: Avner Ash, Robert Gross 著，新妻弘訳 『1足す1から現代数論へ —モジュラー形式への誘い』 共立出版

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 5月20日 5月20日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 5月13日 5月6日 (木), 5月13日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月23日 4月22日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月19日 4月15日 (木) のセミナーの内容を更新しました。
• 4月14日   「セミナーに参加するに当たって」「セミナーの発表ノート作りについて」「オンラインセミナーに向けて」を掲載しました。
• セミナーの初回は 4月5日 (木) の予定です。
  今年度は新型コロナウィルス感染症の流行状況も踏まえつつ ハイブリッド講義 として実施します。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2021年5月20日 (木)

• 第5章 単純な和 (続)
  • 第5章2. 低いベキ乗の和
    三角数，四角数，多角数の公式，平方和の公式の公式と数学的帰納法
• 第6章 ベキ乗の和，代数を用いて
  • 第6章1. 歴史   ガウスは凄いよ
  • 第6章2. 平方   シグマ記号を用いた計算と S_k の公式の導出法
• 自由研究
  • 第5章2. の終盤と同様にして，3乗和の公式，4乗和の公式の形を推測して数学的帰納法で証明してみよう!!
  • 第6章2. の終盤の「S₃ の添字を付け換えて、(n+1)³ を足したものを計算する」方法を拡張して、S₃, S₄ の公式が得られないか検証してみよう!!

2021年5月13日 (木)

• 第4章 高次のベキの和: ウェアリングの問題
  • 第4章1. g(k) と G(k)
    • g(k) と G(k) の定義とその違い
    • g(2)=G(2)=4
    • G(3) についての評価式
  • 第4章2. 4乗ベキの和
    • g(4) の上界
    • 16が G(4) の下限であること、G(4)=16が成り立つこと (おはなし; ダベンポートの定理)
  • 第4章3. 高次のベキ乗 ...... 難しい!!
• 第5章 単純な和
  • 第5章1. 最初の段階にもどる (九去算など)

2021年5月6日 (木)

• 第2章 二つの平方数の和 (続)
  • 第2章2. 証拠はプディングの中にはない — どんなに大量の数値データが推測を支持していても、証明するまでは本当に正しいか分からない!!
    • Ⅰ型素数とⅢ型素数の数のおはなし
    • 整数が2つの平方数の和で表されるための条件の証明 (概略)
  • 第2章3. 定理2.1と定理2.3の十分条件である部分の証明 (簡単な方)
  • 第2章4. 証明の詳細 – 無限降下法を用いたフェルマーの2平方和定理の証明
• 第3章 3個と4個の平方数の和
  • 第3章1. 3斯の平方数
  • 第3章2. 幕間 (ブラーマグプタの恒等式)
  • 第3章3. 4個の平方数 (ラグランジュの4平方定理の証明の概略)

2021年4月29日 (木)   昭和の日

休講

2021年4月22日 (木)

• 第1章 導入 (続)
  • 第1章5. ルジャンドル記号
    • ルジャンドル記号の定義と意味
    • 法 p で −1 が平方剰余となるような素数 p の条件 (平方剰余の相互法則の第1補充法則)
• 第2章 二つの平方数の和
  • 第2章1. 解答 — どんな数が2つの平方数の和として表されるか?
    • 奇素数の場合 — 平方数の和として表されるのは法4で1と合同なもの
    • 合成数のとき — 素因数分解に現れるすべての Ⅲ 型素数の指数が偶数のとき
      ※ ブラーマグプタの恒等式 (x²+y²)(z²+w²)=(xz−yw)²+(xw+yz)² の意味と導き出し方は良く復習しておくこと!!
※ セミナーでの発表や資料が テキストのコピペ / 朗読にならないよう注意すること!!
必ず1回自分で精読して、自分なりにまとめたものを発表するように心がけよう!!

2021年4月15日 (木)

• 第1章 導入
  • 第1章1. 最大公約数 — 特にユークリッドの互除法とベズーの等式について
  • 第1章2. 合同式 — 合同関係が同値関係であること、合同式と加減乗法との整合性
    ※ 必ず自分で確認しておくこと!!
  • 第1章3. ウィルソンの定理 — その主張のデモンストレーションと証明
  • 第1章4. 平方剰余と非剰余 — mod p の世界で「平方数」を考えると面白い!!
    特に「平方非剰余同士の積は平方剰余」は通常の整数では 殆ど成り立たない 性質であることに注意しよう!!

セミナー日程

第1ターム

4月   1日 (春季休校期間), 8日 (オリエンテーション期間), 15日, 22日, 29日 (昭和の日 / 休校)
5月   6日, 13日, 20日, 27日
6月   3日, 10日, 17日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   2日 (夏季休校期間), 9日, 16日, 23日 (秋分の日 / 授業実施日), 30日
10月   7日, 14日, 21日 (津田塾祭準備 / 休講), 28日
11月   4日, 11日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   18日, 25日
12月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日 (冬期休校期間)
1月   6日, 13日, 27日 (第4ターム最終授業日)