2年セミナー   Seminar Ⅱ

津田塾大学数学科 2年 (月曜3限)

担当: 原 隆

場所: 7号館 7303教室

講義内容 (シラバスより):
英語で書かれた比較的平易な数学書を輪読することにより、初等整数論の基礎知識を学ぶとともに、数学の専門用語を含む洋書文献の読み方を実践的に身につけることを目的とする。

テキストはタイトルが示す通り初等整数論の入門書である。約数・倍数など、高校数学で学習した整数の性質の復習から始め、合同式やフェルマーの小定理、オイラーの定理といった基礎的かつ重要な事項を確実に習得した上で、初等整数論の金字塔とも称される平方剰余の相互法則の意味を理解し応用出来るようになることを目標としてセミナーを進めたい。セミナーではテキストの第7章までを扱う予定である。なお、途中で合同式の概念や群論の基礎事項が登場するので、(セミナー中でも補足する予定ではあるが) 同時開講されている『代数学基礎』『代数入門』も併せて履修することを薦める。

教科書: Gareth A. Jones and J. Mary Jones, Elementary Number Theory, Springer–Verlag
※ テキストは学内から無料でダウンロード出来ます (VPN 接続を利用すれば自宅からもダウンロード出来ます)。

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 6月14日   6月14日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月7日   6月7日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月6日   5月31日のセミナーの内容を更新しました。
• 5月24日   5月24日のセミナーの内容を更新しました。
• 5月18日   5月17日のセミナーの内容を更新しました。
• 5月10日   5月10日のセミナーの内容を更新しました。
• 4月26日   4月26日のセミナーの内容を更新しました。
• 4月19日   4月19日のセミナーの内容を更新しました。
• セミナーの初回は 4月19日 (月) の予定です。
  今年度は新型コロナウィルス感染症の流行状況も踏まえつつ ハイブリッド講義 として実施します。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2021年6月14日 (月)

• 2.2 Distribution of primes (続)
  • Corollary 2.8: 実数 x 以下の素数の個数 π(x) の評価
    ※ まったく精密な評価ではない!!
  • [おはなし] 素数定理 (アダマール–ド・ラ・ヴァレ・プーサンの定理)
    — 実数 x 以下の素数の個数の精密な評価
  ※ 担当者病欠のため、順番を入れ換えました
• 3.1 Modular Arithmetic
  • 合同式の考え方: 整数で割った余りが等しいものを “同じ” と見做す
  • 合同式の定義と言い換え (Lemma 3.1)
  • 合同関係が同値関係であること (Lemma 3.2)

2021年6月7日 (月)

• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations (続)
  • Lemma 2.4: 互いに素な数の積が m 乗数なら、それぞれの数が m 乗数
  • Corollary 2.5: 平方数でない正の整数の平方根は無理数
• 2.2 Distribution of primes
  • Theorem 2.6: 素数の無限性について (ユークリッド『原論』の方法
  • Corollary 2.7: k番目の素数の大きさの (非常に粗い) 評価

2021年5月31日 (月)

• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations (続)
  • 整数係数多項式の既約 / 被約性
  • アイゼンシュタインの既約性判定法: 例と証明
  • Theorem 2.4: 素羃分解 (素因数分解) の存在と一意性の証明
  • 素羃分解と加減乗除，最大公約数 / 最小公倍数

2021年5月24日 (月)

• 1.4 Linear Diophantine equations
  • 1次不定方程式の一般解 (Theorem 1.13)
  • 1次不定方程式の一般解の求め方と例題
• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations
  • 素数の定義と性質 (補題2.1, 系2.2)
    ※ 系2.2 は 数学的帰納法 の非常に良い練習問題なので、しっかり復習しておいてください!!

2021年5月17日 (月)

• 1.2 Bezout's identity (続)
  • ベズーの恒等式の応用 (Corollaries 1.10, 1.11)
• 1.3 Least common multiple
  • 最小公倍数の定義と性質 (Theorem 1.12)
• 1.4 Linear Diophantine equations
  • 1次不定方程式の一般解の構造 (Theorem 1.13 前半の証明まで)

2021年5月10日 (月)

• 1.1 Divisors (続)
  • ユークリッドの互除法 (続; Theorem 1.6, Example 1.3)
• 1.2 Bezout's identity
  • ベズーの恒等式とその応用 (Theorem 1.7, 1.8)
  • 「互いに素」について, Corollary 1.9

2021年5月3日 (月)   憲法記念日

休講 (ゴールデンウィーク休暇)

2021年4月26日 (月)

• 1.1 Divisors
  • 割り算の定理とその証明 (Theorem 1.1)
  • 整数の整除性とその性質 (Theorem 1.3)
  • ユークリッドの互除法の原理 (Lemma 1.4) とユークリッドの互除法のアルゴリズム
次回は1.1の残り + 1.2 Bezout's identity

2021年4月19日 (月)

• ガイダンス
  • Google Classroom への登録, 発表グループ決め
  • セミナーの発表の仕方について
  • Slack の利用について

次回からセミナーの本編に入ります (1.1 Divisors から)

セミナー日程

第1ターム

4月   5日 (春季休校期間), 12日 (オリエンテーション期間), 19日, 26日
5月   3日 (憲法記念日 / 休校日), 10日, 17日, 24日, 31日
6月   7日, 14日, 21日 (第1ターム最終授業日)

第3ターム

9月   6日, 13日, 20日 (敬老の日 / 授業実施日), 27日
10月   4日, 11日, 18日, 25日 (津田塾祭後始末 / 休講)
11月   1日, 8日 (第3ターム最終授業日)

第4ターム

11月   15日, 22日, 29日
12月   6日, 13日, 20日, 27日
1月   3日 (冬期休校期間), 10日 (成人の日 / 休校日), 17日, 24日 (第4ターム最終授業日)