ベクトルと行列   Vectors and Matrices

津田塾大学数学科 1年 (木曜3限 / 木曜4限)

担当: 原 隆

場所: 南校舎 S107教室 (ハイブリッド講義)

講義内容 (シラバスより):
高校『数学B』で学習したベクトルの単元の発展として、平面・空間ベクトルおよび2次・3次の行列について学習する。扱う内容はベクトルの内積・外積、2次・3次の行列式とその図形的解釈、空間図形の方程式、平面 (および空間) の線形変換と行列との対応などである。

平面ベクトルや空間ベクトルのような “図の描ける世界” において、「線形性」という抽象的な性質がどのように活用されるかを予め体験しておくことで、1年次第3ターム以降に開講される『線形代数学Ⅰ, Ⅱ』の理解がより深まるだろう。

教科書: 特に指定しない。参考資料のプリントを配布する。

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 6月30日   6月24日 (木) の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 6月24日 (木) の予定です。
  今年度は新型コロナウィルス感染症の流行状況も踏まえつつ ハイブリッド講義 として実施します。

参考資料一覧

• 講義のガイダンス資料 ※ 予め目を通しておいてください!!

1. 参考資料1 演習問題解答 (ベクトルの内積と平行四辺形の面積)
2. 参考資料2 演習問題解答 (空間ベクトルの外積と平行六面体の体積)
3. 参考資料3 演習問題解答 (空間図形の方程式)
4. 参考資料4 演習問題解答 (ベクトルの線形変換と行列)

講義内容

2021年6月24日 (木)

• 講義のガイダンス: 特にオンライン授業の進め方と成績評価について   ガイダンス資料
• ベクトルの内積
  • 内積の定義と性質
    • 内積の定義 (復習)
    • 内積の図形的意味: 「正射影を取ったあとで “大きさ” の積を取る」
    • 内積の性質 — 特に 対称性 と 双線形性 を中心に
  • ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
    • 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
    • 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開” によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
    • 線形性を用いることで 幾何的な問題を代数的に扱ってしまえる のが “線形性のマジック”
  • 平行四辺形の面積と2次行列式
    • ベクトルの張る平行四辺形の面積
      • ベクトルの張る平行四辺形とは
      • 平行四辺形の面積公式 — 内積の応用として
      • 平行四辺形の面積公式: 問題演習
    • 平面ベクトルと2次行列式
      • 平面ベクトルの成分表示と平行四辺形の面積
      • 2次行列式の定義
      • 問題演習: 平行四辺形の面積と2次行列式
      • 2次行列式の符号の意味 — ベクトルの位置関係 (最初のベクトルから見て反時計回りか時計回りか?)
        ※ 証明は参考資料および講義補助動画をご覧ください。
• 参考資料1 演習問題解答 (ベクトルの内積と平行四辺形の面積)
• 確認問題1および解答   確認問題2および解答 (ベクトルの内積と平行四辺形の面積)
      提出期限: 6/28 (月) 23:59   提出先: Google Classroom

講義日程

第2ターム (最終日以外各2コマ)

6月   24日
7月   1日, 8日, 15日, 22日 (第2ターム最終週 / 学期末考査)