2年セミナー   Seminar Ⅱ

津田塾大学数学科 2年 (月曜3限)

担当: 原 隆

場所: 7号館 7305教室

講義内容 (シラバスより):
英語で書かれた比較的平易な数学書を輪読することにより、初等整数論の基礎知識を学ぶとともに、数学の専門用語を含む洋書文献の読み方を実践的に身につけることを目的とする。

テキストはタイトルが示す通り初等整数論の入門書である。約数・倍数など、高校数学で学習した整数の性質の復習から始め、合同式やフェルマーの小定理、オイラーの定理といった基礎的かつ重要な事項を確実に習得した上で、初等整数論の金字塔とも称される平方剰余の相互法則の意味を理解し応用出来るようになることを目標としてセミナーを進めたい。セミナーではテキストの第7章までを扱う予定である。なお、途中で合同式の概念や群論の基礎事項が登場するので、(セミナー中でも補足する予定ではあるが) 同時開講されている『代数学基礎』『代数入門』も併せて履修することを薦める。

教科書: Gareth A. Jones and J. Mary Jones, Elementary Number Theory, Springer–Verlag
※ テキストは学内から無料でダウンロード出来ます。

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

お知らせ / 更新履歴

• 7月3日   6月29日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月24日   6月22日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月18日   6月15日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月12日   6月8日のセミナーの内容を更新しました。
• 6月1日   6月1日のセミナーの内容を更新しました。
• 5月25日   5月25日のセミナーの内容を更新しました。
• 5月18日   5月11日, 5月18日のセミナーの内容を更新しました。
• 4月27日   4月27日のセミナーの内容を更新しました。
• 4月13日   「セミナーに参加するに当たって」「セミナーの発表ノート作りについて」「オンラインセミナーに向けて」を掲載しました。
• セミナーの初回は 4月13日 (月) の予定です。
  津田塾大学の授業開始日等延期方針に伴い、セミナーの初回は 4月27日 (月) となる予定です (新型コロナ流行の状況に応じてさらに変更となる可能性があります)。

進捗状況

事前に読んでおいてください

2020年6月29日 (月)

• 3.1 Modular Arithmetic (続)
  • 合同類の演算の well-definedness (続)
    演算の well-definedness について — なぜ「合同類の合同類乗」は定義されないか?
  • 合同式の計算例とその応用
  • 合同式と多項式
    • 整数係数多項式が整数根を持たないための十分条件
    • どんな整数を代入しても素数となるような整数係数多項式は存在しない

第1タームのセミナーは以上です。お疲れ様でした!! 第3ターム以降の予定は追ってお知らせします。

2020年6月22日 (月)

• 2.2 Distribution of primes (続)
  • [おはなし] ディリクレの素数定理: aq+b 型の素数は無限に存在する
  • [おはなし] 素数に関するその他の話題 (双子素数予想、ゴルトバッハの予想など)
• 3.1 Modular Arithmetic
  • 合同式の考え方: 整数で割った余りが等しいものを “同じ” と見做す
  • 合同式の定義
  • 合同類の定義と合同類の加法、減法、乗法の定義
  • 合同類の演算の well-definedness

2020年6月15日 (月)

• 2.2 Distribution of primes
  • ユークリッドによる素数の無限性の証明
  • n 番目の素数の大きさの評価、実数 x 以下の素数の個数の評価
    ※ まったく精密な評価ではない!!
  • [おはなし] 素数定理 (アダマール–ド・ラ・ヴァレ・プーサンの定理)
    — 実数 x 以下の素数の個数の精密な評価
  • 4q+3 の形の素数の無限性の証明

2020年6月8日 (月)

• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations (続)
  • 素羃分解 (素因数分解) の存在と一意性の証明
  • 互いに素な数の積が m 乗数なら、それぞれの数が m 乗数
  • 応用: 平方数でない有整数の平方根は無理数
• 課題 (6/14 までに Google Classroom で提出)

2020年6月1日 (月)

• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations (続)
  • 素数の性質 (ユークリッドの補題とその応用)
  • 整数係数多項式の既約 / 被約性
  • アイゼンシュタインの既約性判定法とその証明
  • アイゼンシュタインの既約性判定法: 例題
• 課題 (6/7 までに Google Classroom で提出)

2020年5月25日 (月)

• 1.4 Linear Diophantine equations
  • 1次不定方程式の一般解 (Theorem 1.13)
  • 1次不定方程式の一般解の求め方
  • 図形的な意味: 直線上の格子点として
• 2.1 Prime numbers and prime-power factorisations
  • 素数の定義と性質
• 課題 (5/31 までに Google Classroom で提出)

2020年5月18日 (月)

• 1.2 Bezout's identity (続)
  • 1次不定方程式の整数解の存在条件 (Theorem 1.8)
  • 「互いに素」の定義と性質 (Corollaries 1.9, 1.10, 1.11)
• 1.3 Least common multiple
  • 最小公倍数の定義と性質 (Theorem 1.12)
• 課題 (5/24 までに Google Classroom で提出)

2020年5月11日 (月)

• 1.1 Divisors (続)
  • ユークリッドの互除法 (Lemma 1.5, Theorem 1.6)
• 1.2 Bezout's identity
  • ベズーの恒等式 (Theorem 1,7) とその応用
• 課題 (5/17 までに Google Classroom で提出)

2020年4月27日 (月)

• 1.1 Divisors
  • 割り算の定理とその証明 (Theorem 1.1)
  • 整数の整除性とその性質 (Theorem 1.3)
• 課題 (5/11 までに Google Classroom で提出)

セミナー日程

第1ターム

4月   6日 (オリエンテーション期間), 13日, 20日, 27日
5月   4日 (みどりの日 / 休講日), 11日, 18日, 25日
6月   1日, 8日, 15日 (第1ターム最終授業日), (4日, 5日) (補講日)

第3ターム

9月   7日, 15日, 21日 (敬老の日 / 授業実施日), 28日
10月   5日, 12日 (敬老の日 / 授業実施日), 19日, 26日 (津田塾祭後始末 / 休講)
11月   2日, 9日 (第3ターム最終授業日), (10月22日午前, 26日午後, 28日   補講日)

第4ターム

11月   16日, 23日 (勤労感謝の日 / 授業実施日),30日
12月   7日, 14日, 21日, 28日
1月   4日 (冬期休暇), 11日 (成人の日 / 休校日), 18日, 25日 (第4ターム最終授業日), (15日午前, 19日午前, 20日, 21日   補講日)