1年セミナー   Seminar Ⅰ

津田塾大学数学科 1年 (水曜3限)

担当: 原 隆

場所: 7号館 7307教室

講義内容 (シラバスより):
セミナー形式でテキストの輪読を行い、数学の研究に必要とされる論理的思考能力を養うとともに、抽象的な内容を相手に分かりやすく伝えるためのプレゼンテーション能力を身につける。また、数学の専門書の読み方をセミナーを通じて実践的に身につけることを目的とする。

扱う題材は整数の分割である。自然数を 7=1+2+4 のように幾つかの自然数の和の形で表そう、という実に単純な問題がテーマとなっているが、その背後には組合せ論や母関数の理論といった非常に豊かな数学が見え隠れしている。このセミナーでは、特に組合せ論的方法 (全単射法) によるアプローチを中心に扱う。セミナーを通じて「数学的に論証する」ことの楽しみを実践しながら体感しよう。

教科書: ジョージ・アンドリュース，キムモ・エリクソン著， 佐藤文広訳『整数の分割』 (数学書房)

このページには主にセミナーの進捗状況を記録していきます (個人的な備忘録のようなものです)。

授業アンケート実施結果

• 集計結果   自由回答欄へのコメント

お知らせ / 更新履歴

• 7月14日   授業アンケート実施結果等をアップロードしました。
• 6月19日   6月19日の内容を更新しました。本年度の1年セミナーはこれで終了です。お疲れ様でした。
• 6月6日   6月5日の内容を更新しました。
• 5月30日   5月29日の内容を更新しました。
• 5月23日   5月22日の内容を更新しました。
• 5月16日   5月15日の内容を更新しました。
• 5月8日   5月8日の内容を更新しました。
• 4月24日   4月17日 (月), 4月24日 (月) の内容を更新しました。5月の10連休のため、次回のセミナーは 5月8日 です!!
• 4月10日   4月10日の内容を更新しました。
• セミナーの初回は 4月10日 (水) です。

進捗状況

2019年6月19日 (水)

• 4.5 ロジャース–ラマヌジャン第1恒等式の全単射法による証明を求めて
  • どのようにして “分かり易い” 全単射を作るか? — 意外と難しい!!
• 5.1 積型の母関数
  • 母関数とは何か?
  • 和因子が S に属し、すべて異なるような分割の分割数の母関数
  • 和因子が S に属する分割の分割数の母関数
• 5.2 オイラーの定理
  • 母関数を用いたオイラーの恒等式の証明
  • 母関数の威力: 母関数を色々といじれば、様々な分割恒等式が導出出来る!! — “数え上げ” の問題に微分積分学、無限級数論を用いてアプローチが可能となる
• レポート課題 (対象者のみ)   締切は 6月28日 (金) 16:00
今年度の1年セミナーは終了しました。半年間お疲れ様でした。

2019年6月6日 (水)

• 4.4 シューアの定理 (続)
  • シューアの定理の証明の残り (3差的で連続する3の倍数を含まない分割の構成)
次回 (最終回) は 6月20日 (水) です (6月13日は補講日)   内容は 4.5, 5.1, 5.2 を予定

2019年5月29日 (水)

• 4.2 ロジャース–ラマヌジャンの第1恒等式を発見する (続)
  • ロジャース–ラマヌジャンの第1恒等式の定式化
  • n=14まででロジャース–ラマヌジャンの第1恒等式が成り立つことの検証
• 4.4 シューアの定理
  • 3差的な分割と、和因子が法6で±1と合同な分割
  • 和因子が法6で±1と合同な分割の分割数と、和因子が法3で±1と合同で相異なる分割の分割数は一致 (オイラーペアの利用)
  • 和因子が法3で±1と合同で相異なる分割への操作1
次回は 4.4 の残りから

2019年5月22日 (水)

• 3.4 ブレスードの美しい全単射 (続)
  • 「すべての偶和因子が、奇和因子の個数の2倍よりも大きい分割」から「超相異なる和因子を持つ分割」を作る
• 3.5 オイラーの5角数定理 (続)
  • オイラーの5角数定理の主張: 和因子の数が偶数個の分割の数と和因子の数が奇数個の分割の数の関係
  • 何故5角数が例外となるのか? — 全単射のルールを逸脱する存在
• 4.1 分割恒等式の基本タイプ
  • これまでに出て来た様々な分割恒等式を分類する
• 4.2 ロジャース–ラマヌジャンの第1恒等式を発見する
  • 実験: 超相異なる分割数に対する “タイプ (4.1)” の分割恒等式を求めて
次回は 4.2 の残りから

2019年5月15日 (水)

• 3.4 ブレスードの美しい全単射
  • 「超相異なる分割」から「すべての偶和因子が、奇和因子の個数の2倍よりも大きい分割」を作る
  • ブレスードの定理 —フェラーズグラフをいじくりまわすと、色々な分割数公式が得られる!!
  • 課題: 「すべての偶和因子が奇和因子の個数の2倍よりも大きい分割」から「超相異なる分割」を作る方法 (演習問題36の解答を解読して説明する)
• 3.5 オイラーの5角数定理
  • 3角数、5角数の定義とその求め方

次回は 3.5 節の後半から。

2019年5月8日 (水)

• 3.1 フェラーズグラフとフェラーズ盤
  • フェラーズグラフの定理
  • フェラーズグラフを用いた分割恒等式の例: 第1行, 第1列を取り除く
• 3.2 共役分割
  • 共役分割の定義，最大和因子を固定した分割数=和因子の数を固定した分割数
  • 自己共役分割, 自己共役分割数=相異なる奇数による分割の個数
「3.3 p(n) の上界」は飛ばしますが、フィボナッチ数列などが出て来て面白い節なので、余力のある人は読んでおこう!! 次回は 3.4, 3.5 節から。

2019年5月1日 (水)

即位の礼による休講日 (ゴールデンウィーク)

2019年4月24日 (水)

• 2.4 オイラーペア
  • 2進法表記の一意性と全単射法
  • オイラーペア: 分割融合法が適用出来る数の集合とは?
  • オイラーペアの満たすべき条件
• 補足: 集合の記号の書き方、プレゼンテーションの方法、論理式 (「ある〜」の否定は「すべての〜」)

2019年4月17日 (水)

• 2.1 集合論の用語, 2.2 分割恒等式の全単射法による証明, 2.3 オイラーの恒等式に対応する全単射
  • 集合論の用語・記号の確認
  • 全単射法とは何か?
  • オイラーの分割恒等式を求めるための全単射
• 補足: 集合の写像, 全射, 単射, 全単射

2019年4月10日 (水)

• ガイダンス: セミナーに参加するに当たって
• テキストの内容の紹介: 整数の分割数について
• 第1タームの予定の確認と担当決め
※ 次回は2.1,2.2,2.3のセミナーから始めます。

セミナー日程

第1ターム

4月   10日, 17日, 25日
5月   1日 (即位の礼 / 休講日), 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 19日 (第1ターム最終授業日), (11日, 12日) (補講日)