微分方程式Ⅰ   Differential Equation Ⅰ

工学部・未来科学部 2年
FI 科 (月曜3限)
EJ・FA 科 (木曜1限)

担当: 原 隆

場所: FI科 2号館 21004 教室,   EJ科 2号館 2703 教室

講義内容 (シラバスより):
　微分方程式は「関数の微小変化の様子」から「その関数が元々どの様な関数であったか」を導き出すための数学的手法である。その汎用性は非常に広く、微分方程式の理論は単なる数学の一分野の枠を越え、物理学、工学など様々な方面で現象を記述するための数学的手段として広く用いられている。
　この講義では、常微分方程式の初等的な解法について講義する。　　

教科書: 特定の教科書は指定しない。ただし、以下のテキストのうち一冊は入手しておくことを強く薦める。

• 泉英明著『コア・テキスト　微分方程式』(サイエンス社)
• 水田義弘著『大学で学ぶやさしい微分方程式』(サイエンス社)
• デヴィッド・バージェス, モラグ・ボリー共著『微分方程式で数学モデルを作ろう』(日本評論社)
• 鶴見和之他共著『常微分方程式』（東京電機大学出版局)
• 長崎憲一, 中村正彰, 横山利章共著『明解 微分方程式 [改訂版]』(培風館)
• 石村園子著 『だれにでもわかる微分方程式』 (講談社)
• Ｅ．クライツィグ著『常微分方程式』（培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 9月4日   2EJ・2FAクラス期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載。
• 8月30日   2FIクラス期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (2EJ・2FAクラスの皆様は、もう暫くお待ち下さい)。
• 8月7日   学期末試験の集計結果 (確定版) を更新しました。採点講評は……気長にお待ち下さい m(_ _)m
• 7月27日   学力考査の速報 (暫定版) を掲載しました。
• 7月12日   7月9日 (月), 7月12日 (木) (最終回) の講義内容を更新しました。学期末試験は7月23日 (月), 7月26日 (木) 実施です!
• 7月6日   7月2日 (月), 7月5日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月29日   第13回 (講義最終回) の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 6月28日   6月26日 (月), 6月28日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月25日   第11回授業日に「学期末考査・成績評価について」のプリントへのリンクを貼りました (実施日時、試験範囲等についての注意)。 また、第12回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。遅くなってすみません。
• 6月21日   6月18日 (月), 6月21日 (木) の講義内容を更新しました。また、参考資料・演習問題9の解答がアップロードされていなかったようなので更新しました。すみません。
• 6月15日   第11回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 6月14日   6月11日 (月), 6月14日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月8日   第10回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 6月7日   6月5日 (月), 6月7日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月1日   第9回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 5月31日   5月28日 (月), 5月31日 (木) の講義内容を更新しました。
• 5月25日   第8回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 5月24日   5月21日 (月), 5月24日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題6の解答を公開しました。第7回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました (遅くなってすみません)。
• 5月17日   5月14日 (月), 5月17日 (木) の講義内容を更新しました。
• 5月11日   5月7日 (月), 5月10日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題4の解答を公開しました。第6回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 4月28日   第5回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 4月27日   4月23日 (月), 4月25日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題3の解答を公開しました。
• 4月20日   第4回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 4月19日   4月16日 (月), 4月19日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題2の解答を公開しました。
• 4月13日   第3回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 4月12日   4月9日 (月), 4月12日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題1の解答を公開しました。
• 4月2日   第2回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 初回講義は 4月9日 (月), 4月12日 (木) です。

講義内容

講義内容の更新 (演習問題の解答公開を含む) は概ね FI科, EJ・FA科 の両方の講義が終了した後となります。

なお、レジュメ・予習用の参考資料は先んじて (2週間前の金曜日を目処に) 掲載します。

2017年7月23日 (月), 7月26日 (木)

• 学期末考査       問題 2FI   2EJ・FA     略解 2FI   2EJ・FA
  
  集計結果 (最終)
  • 2FI科

    学期末試験結果   105名受験   平均点: 71.16点 最高点: 105点 (1名)
          何と試験100点超えが4名!! (105点、103点、101点、100点)   配点を高くしたとは言え、お見事!!

    評点  S 29名, A 29名, B 23名, C 14名, D 10名, 単位放棄 10名

  • 2EJ・FA科

    学期末試験結果   143名受験 (うち1名追試験)   平均点: 70.73点 最高点: 110点 (1名)
          試験100点超えが9名!! ……でも逆に「突き抜けてる」答案も少なくありませんでした。例年のことだけど。あと「小テストちゃんと受けていればねぇ……」勢も多数確認。まぁ自業自得っすけどね。

    評点  S 37名, A 33名, B 38名, C 14名, D 21名, 単位放棄 22名

  ※ WebClass 上で解答の返却を開始いたしました。解答用紙原本の返却を希望される方は、個別に連絡して下さい。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   2FI     2EJ・2FA
  ※ なるべく 該当クラスのものだけを 閲覧してね♪ (コピペがばれる〜)

2018年7月9日 (月), 7月12日 (木)

• 第13回レジュメ
• 定数係数連立微分方程式 (続)
  • 連立微分方程式の解の安定性   講義で紹介した 連立微分方程式の解の安定性
• 参考資料・演習問題13 (演習問題解答付)
• 映像資料
  • ロミオとジュリエット (1968年) テーマ曲 Romeo and Juliet
    敵対するモンタギュー家とキャピュロット家に生を受けつつも、愛を貫き通したロミオとジュリエットの悲劇を描く、シェイクスピアの超有名戯曲。こちらは1968年の映画作品。そんなに昔の映像とは思えないほど鮮明な画像ですよね。テーマ曲も非常に有名なので、耳にした人も多いのでは。それにしても、男女の恋愛沙汰ほど先の読めないものはありませんね……
  • 【舘鼻則孝の方程式】8.ロトカ・ヴォルテラ方程式 (日本語)
    フジテレビで2012年頃に放送された深夜番組『オデッサの階段』の一部。生態系の調和を表すロトカ・ヴォルテラ方程式は、クリエイターの心をも揺さぶるのであろうか……? ってなかなかの無茶ぶり (笑)   舘鼻さんという方は靴のデザイナーですが、話振られて「いやぁ、CGいいっすね」とか「方程式ってわけじゃないですけど」とか、話合わせようと無茶苦茶頑張っているのが微笑ましいインタビューです (後半のインタビューは、微分方程式とは殆ど関係ありません)
  • おまけ
    あんまりこういう「専門用語使ってみましたカッケー」系のタイトルって好きではないんですが、試しに聴いてみたらマジでかっこいいキラーチューンでした。アルバムダウンロードする勢い。それにしても、ロックバンドなんてウーバーワールドくらいで更新が止まってたんですよね……歳取ったものだ。。
• 小テスト12      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 88名受験 平均4.80点/9点 最高点9点 (4名)     2EJ・FA: 88名受験 平均4.92点/9点 最高点9点 (2名)

2018年7月2日 (月), 7月5日 (木)

• 第12回 レジュメ
• 定数係数線形連立微分方程式
  • 定数係数連立微分方程式とは
  • 係数行列の固有値・固有ベクトルと連立微分方程式の解
  • 例題: 定数係数連立微分方程式の解法   講義で扱った例題の詳解
• 第2次世界大戦: ドイツのポーランド侵攻   World War Ⅱ: German invasion of Poland (英語)
      ※ リンク先の記事の一番最後の動画。“LEARN MORE”の直前をご覧下さい。
  ブリタニカの記録映像。ナチス・ドイツのポーランド侵攻に端を発し、各地に大き過ぎる爪痕を残した第2次世界大戦からはや70年。それだけの時間が経過した現代でも各地で紛争は起こり続け、戦争のない世界が訪れる気配は微塵も感じられない。戦争を望む人など世界を見渡しても殆どいないはずであるのに、一体何故戦争は起こってしまうのだろうか—?
• 参考資料・演習問題12 (演習問題解答等付)
• 小テスト11      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果 リンク   2FI: 88名受験 平均4.80点/9点 最高点9点 (4名)     2EJ・FA: 88名受験 平均4.92点/9点 最高点9点 (2名)

2018年6月25日 (月), 6月28日 (木)

• 第11回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅲ: ヘヴィサイドの演算子法
    • 微分演算子 D を用いた微分方程式の書き換え
    • ヘヴィサイドの演算子法: 逆演算子を “文字式のように” 計算して特殊解を求める
    • 演算子法による特殊解の求め方: 例題を通して  講義で扱った演習問題 (の類題) の詳解
• 映像資料: 地学&地学基礎2章4話「地震波の基礎」 (日本語)
  Web玉塾 というインターネット上で無料公開されている教材。かなりおちゃらけてはいるけれど、基礎知識はしっかり抑えている模様。大地震が多発する近年の情勢を踏まえても、地震についてこの程度の基礎知識は持ち合わせておきたいところ。
• 本講義の成績評価について (期末考査実施日時、出題範囲等)
• 参考資料・演習問題11 (演習問題解答付)
• 小テスト10      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 88名受験 平均4.80点/9点 最高点9点 (4名)     2EJ・FA: 88名受験 平均4.92点/9点 最高点9点 (2名)

2018年6月18日 (月), 6月21日 (木)

• 第10回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅱ: ラグランジュの定数変化法
    • 定数変化法とは: 同伴方程式の解のパラメータ C₁, C₂ を x の関数におき替える
    • 定数変化法とロンスキー行列
    • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解の公式
    • 例題: 定数変化法による微分方程式の解法 (共振モデルを例として)
• 映像資料
  • バートンの振り子 Barton's Pendulum (英語)
    糸の長さの異なる振り子を用意して、別の振り子を用いて強制振動させたときの様子を観察する、所謂(いわゆる)「バートンの振り子の実験」についての動画。工学系の学生ならば、どこかで「共振現象」については耳にしたことがあるかと思うが、このように動画を通じて見てみると、共振現象が如何に際立った現象であるかが再確認させられよう。
  • タコマ橋が堕ちた!! Tacoma Bridge Collapse (英語)
    建築史でも有名な建造物崩壊事例であるタコマ海峡大橋の崩落事故の記録映像。想像をはるかに超える異常な橋の撓(たわ)み具合には圧倒されるし、初めて目にした人にとってはなかなか衝撃的な映像であろう。この映像を公開している British Pathé は、他にも歴史的に貴重な映像を数多く You Tube 等で公開しているので、興味がある人は是非覗いてみよう!
• 参考資料・演習問題10 (演習問題解答付)
• 小テスト9      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 92名受験 平均4.67点/9点 最高点9点 (3名)     2EJ・FA: 集計中

2018年6月11日 (月), 6月14日 (木)

• 第9回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅰ: 未定係数法
    • 未定係数法の考え方: 「非斉次項 r(x) から特殊解の形を大雑把に推測して、微分方程式に代入して細部を微調整する」
    • 未定係数法: 例題
    • 問題演習と技術的注意点 (三角関数の場合、推定した解の形では「巧くいかない」場合)   演習問題詳解
• 映像資料
  • 共振回路 Resonance Circuits: LC Inductor-Capacitor Resonating Circuits (英語)
    電荷を蓄えたコンデンサーとコイルを直列に繋ぐと、当然コンデンサーに蓄えられていた電荷が流れ出す。そうしてコイルに流れた電流は、電磁誘導の法則によって流れている電流を妨げる方向に力が働き、最終的に逆向きに電流が流れるようになる。こうして電流 (および電圧) が一定間隔で増減 (振動) を繰り返していくことが観察される。もしこの回路を外部起電力に繋いだら、電流の (固有) 振動の周波数とと外部起電力の周波数が一致するときに最も良く電流が流れるようになる。これが共振現象と呼ばれるもの。
    回路図を見ながら計算してみてもいまいち良く分からない現象だが、このようにビジュアル化してみると非常にイメージしやすい —かもしれない。
  • ラジオの原理1 (受信と選局) (日本語)
    RLC直列回路の共振現象を利用した、ラジオ波の選局の原理を「なるべく分かりやすく」解説した教材 (とは言え、おそらく回路理論や電磁気学を一切知らない人向けの講演なので、かなり無理のある説明になってしまっているが……)。「アンテナとバリコンのキャッチボール」とはインダクタ (コイル) とキャパシタ (コンデンサー) から定まる固有振動数のこと、と思って見ていただきたい。NPO法人による映像教材です。
• 参考資料・演習問題9 (演習問題解答付)
• 小テスト8      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 94名受験 平均4.88点/9点 最高点9点 (4名)     2EJ・FA: 82名受験 平均4.59点/9点 最高点9点 (9名)

2018年6月4日 (月), 6月7日 (木)

• 第8回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (全4回)
  • 定数係数2階線形微分方程式の解の構造 (復習)
  • 定数係数斉次2階線形微分方程式の解法
    • 解の見つけ方の方針 — 「指数関数の形」で解を探す
    • 特性方程式と解の基本系: 3つの場合
      • 特性方程式が相異なる2実数解を持つ場合 (一番簡単)
      • 特性方程式が虚数解を持つ場合: オイラーの公式を用いて三角関数解にする
      • 特性方程式が重解を持つ場合: もうひとつの解を「無理矢理作る」
• 映像資料
  • 物理学: 減衰単振動 Physics: Damped Simple Harmonic Motion (英語)
    高校の『物理』では、バネを伸ばして手を離すと単振動と呼ばれる運動をすると学んだ。しかし、単振動とは「永久に一定の振幅で規則正しく振動を続ける」運動であり、そんなことは現実には起こり得ないだろう。そう、実際には速度に比例する減衰因子 damping factor によって運動が鈍化されるので、いつかバネは止まってしまうのである。さぁ、線形微分方程式を解くことで、高校の物理では扱えなかった減衰振動の世界に飛び込もう!
    ※ 電子教材のお試し版なので、途中でぶった切られます (^^; 聞き取り易い英語だと思いますので、是非リスニングの練習にも
  • 「NY株反発! 不透明感抱え週末東京は?」 (日本語)
    2015年7月10日の日経ニュース。株価、為替、売り上げの変動……。そんな、我々の生活と密接な関係のある、一見すると数学とはおよそ関係のなさそうなところにも、2階線形微分方程式は隠れている。まさに「振動あるところに2階線形微分方程式あり」と言えよう。それにしても、消費と投機という2つの経済活動の単純な原理から景気変動のメカニズムを導き出したサミュエルソンの慧眼には眼を瞠るばかり。
• 参考資料・演習問題8 (演習問題解答付)
• 小テスト7      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 88名受験 平均4.80点/9点 最高点9点 (4名)     2EJ・FA: 88名受験 平均4.92点/9点 最高点9点 (2名)

2018年5月28日 (月), 5月31日 (木)

• 第7回 レジュメ
• 線形微分方程式の解の構造
  • n 階線形微分方程式の定義と用語の復習
  • 非斉次線形微分方程式の解の構造: 「一般解=特殊解+同伴方程式の一般解」
  • 斉次線形微分方程式の解の構造
    • 重ね合せの原理 — 「“解空間” は “関数空間” の線形部分空間」
    • 斉次線形微分方程式の解の構造定理 —「“解空間”は n 次元線形部分空間」
      → n 個の線形独立な解 (“解空間” の基底) を見付ければ良い (!)
  • ロンスキー行列式と関数の線形独立性
    • ロンスキー行列の定義
    • ロンスキー行列式が0でなければ線形独立
    • 問題演習: 斉次線形微分方程式の解の構造
• 映像資料: 織り糸アールデコ作品『心の宇宙』制作映像
  織り糸を少しずつずらしながら張り詰めていくだけで、驚く程美しく、神秘的な幾何学模様が描かれる— そんな意外性が、最近人気のストリング・アートの魅力なのかもしれない。ぴんと張った糸の一本々々は何の変哲もないただの直線なのに、それがより集まると何故これ程多彩な表情を見せるのだろうか? そこには包絡線の数学が見え隠れしている。そして包絡線とは切っても切れない関係にあるのが、1階微分方程式の中でも異色な存在であるクレーローの微分方程式。さて、チャレンジ問題7. を解いたとき、貴方はどんな神秘的な模様に出会えるのだろうか?
• 参考資料・演習問題7 (補足説明・演習問題の解答付き)
• 小テスト6      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 92名受験 平均2.90点/8点 最高点8点 (1名)     2EJ・FA: 104名受験 平均3.57点/8点 最高点8点 (6名)

2018年5月21日 (月), 5月24日 (木)

• 第6回 レジュメ
• 常微分方程式の解の存在と一意性定理
  • 導入: 初期値問題の存在と一意性とは?
    “勾配場に “葉っぱ”を浮かべると、きちんと流れるか? また、その軌跡 (流線) は常に1つに定まるか?
  • 初期値問題の解の一意性について — 一意性が破れるとき
    • 一意性が破れる例: 微分方程式 dy/dx=√y
      参考資料: 微分方程式 dy/dx=√y の 勾配場と解曲線
      放物線群が y=0 という解曲線と交わっている (解曲線の “枝分かれ”) のが観察出来る
    • 初期値問題の解の一意性が成り立つ十分条件: リプシッツの条件
  • 解の存在について: ピカールの逐次近似法
    • 微分方程式の積分方程式への書き換え
    • ピカールの逐次近似法とそのデモンストレーション
      参考資料: ロジスティック方程式 dy/dx=y(1-y/11), y(0)=1 の 解の逐次近似の計算結果 (目がちかちかしますので体調が万全なときにご覧下さい)
• 参考書籍: 笠原晧司著『微分方程式対話』(日本評論社)
  謎の関西弁を話す学生3人と教授が、わいわいやりながら微分方程式を勉強していく対話形式の本。第3週, 第4週が解の一意性定理、解の存在定理に相当しますが、それ以外の部分も面白く読めると思います。これで2,500円は安い! と思います (あくまで個人の感想です)
• 映像資料: 懸垂線 — 我々の周りに溢れる数学
  電線、ネックレス、ウォレットチェーン……。紐状のものが描く優美な曲線、それがカテナリー (懸垂線)。……えっ? 放物線じゃないのかって? 確かに一見放物線と見まごうこの曲線、でも実際に紐と見比べてみると微妙に違うような……。そんな不思議な懸垂線の正体を探るべく、今回は懸垂線の満たす微分方程式を導き出してみよう!!
• 参考資料6 (参考資料加筆、演習問題解答付き)
• 小テスト5      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 97名受験 平均5.18点/8点 最高点8点 (28名)     2EJ・FA: 120名受験 平均4.03点/8点 最高点8点 (9名)

2018年5月14日 (月), 5月17日 (木)

• 第5回 レジュメ
• 完全微分方程式
  • 完全微分方程式の定義と例 — 左辺が或る2変数関数の全微分として表される方程式
  • 完全微分方程式の一般解は “左辺の原始関数”=C
  • 2変数関数の全微分との関係: pdx+qdy の“原始関数” を求めれば一般解は求まる
  • 完全微分方程式の解法: 完全性条件と線積分による “原始関数”の構成     講義で扱った例の 解説
• 映像資料: エントロピーって何? (英語)
  Don't cry over spilled milk — コップからこぼれたミルクは二度ともとのコップに戻ることはない。そんな「当たり前」の現象を説明する際に用いられるのがエントロピー (乱雑さ) の概念である。事象はエントロピーが増大する方向に変化することを主張するのが熱力学第二法則。この何とも「良く分からない」概念であるエントロピー、微分方程式の観点から見るとまた別の側面を覗かせるようで……
• 参考資料・演習問題5 (参考資料加筆、演習問題解答付き)
  ※ 5月14日、17日の講義で配布した参考資料が激しく落丁していました。申し訳ございません。本来ならリンク先資料の8ページ目までを配布する予定でした。こちらからダウンロードして下さい。
  ※ 次回の小テストは 問題6-1. の類題を出題します (問題6-2. の積分因子は 試験範囲外)
• 小テスト4      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 100名受験 平均4.84点/8点 最高点8点 (10名)     2EJ・FA: 119名受験 平均5.49点/8点 最高点8点 (13名)

2018年5月7日 (月), 5月10日 (木)

• 第4回 レジュメ
• 1階線形微分方程式 (続)
  • 非斉次1階線形微分方程式の解法 — その1:ラグランジュの定数変化法
  • 問題演習     詳解
  • 非斉次1階線形微分方程式の解法 — その2:積分因子をかける方法
  • 非斉次1階線形微分方程式の解の公式 (参考: 必ずしも覚える必要はない)
• 参考資料: 講義で扱った例題の 勾配場と解曲線
  特殊解に「同伴方程式の一般解 (“指数関数”)」が巻き付いているイメージが観察出来る。
• 映像資料:
  • BBC アガサ・クリスティ ミス・マープル『牧師館の殺人』 The Murder at the Vicarage (ジョーン・ヒックソン主演)
    4月のある日、セント・メアリー・ミード村の牧師館で殺人事件が起きた。殺されたのはプロセロウ大佐。しかし、ミス・マープルはこうなることを予感していた。大佐は、ほとんどの村人に嫌われていて、日毎にその感情が高まっていたからだ。それにしても容疑者が多すぎる。そしてミス・マープルが真相を掴む間もなく、3人の村人がそれぞれ自白を始める…
    ※ 著作権関係により動画は貼れません。興味を持った方はレンタルして観てみましょう。原作小説もお薦め (ハヤカワのクリスティ文庫など)。
  • ニホンウナギ稚魚の乱獲防止、政府が呼び掛け (ニュース動画: 日本語)
    2014年のニュース映像。「鰻が食べられなくなるかも?」というセンセーショナルなニュースは、記憶に新しい人も多いのではなかろうか? 最近も乱獲による水産資源の枯渇の話題が世間を騒がせているが、水産資源を守るためには「どの成長段階の魚を獲っても良いのか」のガイドラインを規定する必要があり、したがって第一に「魚がどのような過程を辿って成長するのか」を知ることが重要となってくる。……そう、そこにも微分方程式を用いたモデルが登場するのである。微分方程式は、こうして我々の食生活にまで深く関わってきているのである。
• 参考資料・演習問題4 (演習問題解答付き)
• 小テスト3      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  採点結果   2FI: 100名受験 平均5.54点/9点 最高点9点 (20名)     2EJ・FA: 122名受験 平均6.66点/9点 最高点9点 (52名)

2018年4月30日 (月), 5月3日 (木)

昭和の日振り替え休日 (2FIクラス), 憲法記念日 (2ES・FAクラス) による 休講
良いゴールデンウィークをお過ごし下さいノシ

2018年4月23日 (月), 4月26日 (木)

• 第3回 レジュメ
• 1階線形微分方程式 (全2回)
  • 1階線形微分方程式の定義と例
  • 1階線形微分方程式にまつわる用語: 斉次、非斉次、同伴方程式
  • 斉次1階線形微分方程式の解法
    • 解法1: 変数分離法による解法 (および対数を外す際の注意事項)
    • 解法2: 積分因子 e^+∫p(x)dx を掛けて式変形する方法
  • 問題演習     詳解
  • 1階線形微分方程式の解の構造: 「特殊解+同伴方程式の一般解」
• 映像資料: ピサの地で再現されたガリレオの「落体」の実験
  アリストテレスが唱えた「物体は重いもの程速く落下する」という説を検証するために、ガリレオ=ガリレイがピサの斜塔から重さの異なる金属球を落下させる実験を実施したのは有名な話。今回の資料は、2009年のガリレオ=ガリレイの記念年にその実験を再現した様子を捉えたものである。ただ、もしすべての物体が等しく9.8m/s²で加速して落下するのであれば、雨粒が地表に到達する頃には我々の身体を突き抜ける勢いになっている筈である! 勿論実際にはそんなことにならないが (なったら大変)、その原因は空気抵抗にある。さぁ、高校の物理では扱われなかった、空気抵抗のある状態での落下運動にチャレンジしてみよう!!
  ※ 非常に聞き取り易い英語なのでリスニングの練習がてら聴いてみて下さい。音楽に比べてナレーション部が大分小さいので注意。
• 参考資料・演習問題3 (演習問題解答付き)
  ※ 次回の小テストは 演習問題3-2 の類題を出題するので、良く復習しておきましょう。
• 小テスト2      問題 2FI   2EJ・FA     解答 2FI  2EJ・FA
  ※ 2FIクラスの問題2-1の問題文を訂正するのを忘れていたので、「特殊解」「一般解」のいずれも正解としています。
  採点結果   2FI: 108名受験 平均5.81点/8点 最高点8点 (27名)     2EJ・FA: 141名受験 平均6.23点/8点 最高点8点 (43名)

2018年4月16日 (月), 19日 (木)

• 第2回 レジュメ
• 変数分離形微分方程式
  • 変数分離形微分方程式の定義と例
  • 変数分離形微分方程式の解法 — 変数分離法
  • 例題および問題演習     講義中に扱った 練習問題の 詳解
• 参考資料: 講義で扱った微分方程式の 勾配場と解曲線
• 映像資料: 指数増大するウサギちゃん (英語)
  　マルサスの人口論によると「人口は指数関数的に増え続けるため、食糧需給が追い付かずいずれ破綻をきたす」ことになるが、実際には様々な要因で「人口を減少させる」作用も働くため、少なくとも「人口が無限に増え続ける」なんてことはあり得ないだろう。そんな自然の摂理を分かり易く表現した (？) クレイアニメ作品である。キーワードは 0:22 辺りに登場する “logistic growth”. さぁ、チャレンジ問題2. を解いて、ロジスティックモデルの世界に飛び込もう!
• 参考資料・演習問題2 (演習問題解答付き)
• 参考資料・演習問題2+ (同次形微分方程式について; 演習問題解答付き)
  ※ 14週授業への移行に伴うカリキュラム変更のため 今年度は試験範囲から外した 内容です。
    試験範囲外ではありますが 非常に基本的な内容 ですので、余力のある人は是非積極的に取り組んでみて下さい!!
• 小テスト1       問題   2FI   2EJ・FA     解答   2FI   2EJ・FA
  採点結果   2FI: 107名受験 平均5.96点/9点 最高点9点 (21名)     2EJ・FA: 145名受験 平均5.37点/8点 最高点9点 (13名)

2018年4月9日 (月), 4月12日 (木)

• 第1回 レジュメ
• 微分方程式とは何か?   — アメーバの増殖問題を例に
  • アメーバの増殖問題 — 「10,000匹を超えるのは何秒後?」
  • 微分方程式の立式、「微分方程式を解く」とは
  • 微分方程式の視覚化 (visualisation): 勾配場
  • 厳密解の求め方: 変数分離法 (次回詳しく扱います)
  • 自然科学と微分方程式 — なぜ「微分方程式を解ける」ようになる必要があるのか?
• 講義に関するガイダンス ガイダンス資料
• 参考資料: 微分方程式 dx/dt=x の 勾配場と解曲線
• 映像資料: バクテリアの増殖 (英語)
  　ナレーションの最後の部分で “Just one bacterium, dividing every 20 minute, could produce nearly 5 thousand billion billion bacteria in one day” と言っているのが聴きとれただろうか? 要約すると、この資料では20分に1度分裂するバクテリアを1匹捕まえて放置しておくと、1日で約 5,000,000,000,000,000,000,000 匹に増殖する (?!) とのたまわっているのである (あくまで理論値に過ぎないが)。
  　これから夏場になるにつれて「ペットボトル飲料の飲みかけを放置しておくのは危険!」という注意喚起が増えてくると思われるが、この事実を知ってしまうと、そんな警告もより深刻に受けとめられるのではなかろうか。
• 参考資料・演習問題1 (演習問題解答付き)

講義日程

2FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   9日, 16日, 23日, 30日 (昭和の日振替休日)
5月   7日, 14日, 21日, 28日
6月   4日, 11日, 18日, 25日
7月   2日, 9日, 16日 (海の日), 17日 (月曜授業実施日), (23日)

※ 7月17日 (火) は 月曜日の講義実施日 (14週目) です!

2EJ・FA科   (UNIPA も参照のこと)

4月   12日, 19日, 26日
5月   3日 (憲法記念日), 10日, 17日, 24日, 31日
6月   7日, 14日, 21日, 28日
7月   5日, 12日, 19日, (26日)