2018年度 線形代数学Ⅱ (原)
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線形代数学Ⅱ Linear Algebra Ⅱ
工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜2限)
EJ・EH・ES 科 (木曜2限)
担当: 原 隆
場所: EC・FI科 (火曜日) 2号館2605教室, EJ・EH・ES科 (木曜日) 5号館5301教室
講義内容 (シラバスより):
線形代数学Ⅱは線形代数学Ⅰの続編であり、３つのテーマ
（1）行列式（2）数ベクトル空間（3）固有値と固有ベクトル
について学ぶ。前期にくらべ、対象がやや抽象的になるが、幾何学的なイメージをもちながら学習することが大切である。
予備知識として、前期に学んだ「線形代数学Ⅰ」の内容を前提とする。
教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館）
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 2月7日 WebClass に学期末考査答案をアップロードしました。
- 1月28日 学期末考査結果速報を掲載しました。
- 1月17日 1月15日、1月10日・17日 (2コマ目) の講義内容を更新しました。確認問題12, 13 の解答を公開しました。本年度の講義はすべて終了しました。それでは期末考査も頑張ってください!!
- 1月11日 明けましておめでとうございます。1月8日、1月10日・17日 (1コマ目) の講義内容を更新しました。確認問題11の解答を公開しました。
- 12月20日 12月18日、20日の講義内容を更新しました。確認問題10の解答を公開しました。演習問題4の解答はアップロード済みです。それでは良いクリスマス & お年を!!
- 12月13日 12月12日、13日の講義内容を更新しました。確認問題9の解答を公開しました。次回 (年内最終講義) とその次の回 (年始の最初の講義) に授業アンケートを実施します。
- 12月6日 12月4日,6日の講義内容を更新しました。確認問題8の解答を公開しました。補講日程に関するWebClassアンケート (木曜クラスのみ実施) の締切は 12月16日 (日) 23時59分です!!
- 11月24日 11月20日,22日の講義内容に参考資料6へのリンクをつけました。付け忘れでした、ご不便をおかけしてすみません。
- 11月22日 11月20日,22日の講義内容を更新しました。確認問題7の解答を公開しました。
次週11月27日、29日は出張のため休講です!!
- 11月15日 11月13日、15日の講義内容を更新しました。確認問題5の解答を公開しました。
- 11月8日 10月30日、11月8日の講義内容を更新しました。確認問題5の解答を公開しました。
- 10月25日 10月23日、25日の講義内容を更新しました。確認問題4の解答を公開しました。
- 10月18日 10月16日、18日の講義内容を更新しました。確認問題3の解答を公開しました。
- 10月11日 10月9日、11日の講義内容を更新しました。確認問題2の解答を公開しました。
- 9月27日 9月25日 (火)、27日 (木) の講義内容を更新しました。次週 10月2日 (火)、4日 (木) は 休講 なのでご注意ください!!
- 9月20日 9月18日 (火)、20日 (木) の講義内容を更新しました。
- 9月11日 (火) は創立記念日のため 休校日, 9月13日 (木) は出張のため 休講 です。初回講義は 9月18日 (火), 9月20日 (木) です。
- この講義の試験は 特定科目考査日 (2019年1月22日 または 23日) に実施されます。
講義内容
ウェブページの更新は概ね火曜クラス、木曜クラスの両方の講義が終了した後となります。
- 2019年1月23日 (水)
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- 2019年1月15日 (火), 1月10日・17日 (木) [1コマ目]
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- 固有値と固有ベクトル (続)
- 行列の n 乗Ⅱ: ケーリー-ハミルトンの定理の応用
- ケーリー-ハミルトンの定理を用いた行列の n 乗計算の概略
Tn を特性多項式で割った余りを求めて T=A を代入
- 例題および問題演習
- 特性多項式が重根を持つ場合 (対角化不可能な場合) について: 割り算の式を微分して式をもう1つ導出する
- ジョルダン標準形について (おはなし)
- 確認問題13 解答 (ケーリー--ハミルトンの定理と行列の n 乗計算 / 自由研究は工事中 )
- 2019年1月8日 (火), 1月10日・17日 (木) [1コマ目]
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- 固有値と固有ベクトル (続)
- 行列の n 乗Ⅰ: 対角化の応用として
- 対角化を用いた行列の n 乗の計算: 例題を通して
- 問題演習: 行列の n 乗
- 漸化式への応用: 等比数列の一般項の求め方の「ベクトル版」
連立漸化式への応用についての補足資料
- 確認問題12 解答 (行列の n 乗計算と連立漸化式の解法 / 自由研究は工事中 )
- 2018年12月18日 (火), 20日 (木)
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- 固有値と固有ベクトル (続)
- 固有ベクトルの求め方
- 固有ベクトルの求め方: 固有値を引いた行列を係数に持つ斉次連立1次方程式の解として
- 問題演習: 固有ベクトルの計算
- 行列の対角化
- 行列の対角化とは? — 正則行列で “サンドイッチ” して対角行列にすること
- 行列の対角化の計算: 具体例を通して
次回は対角化の応用として、行列の n乗計算を扱います。冬休み中に固有値・固有ベクトルの求め方および対角化の演習を少しでもこなしておくことをお薦めします!
- 参考資料8 (行列の対角化とm乗計算)
- 演習問題4 (固有値と固有ベクトル / 自習課題) 解答公開済み
- 確認問題11 解答 (固有値と固有ベクトル、行列の対角化 / 自由研究は工事中 )
- 2018年12月11日 (火), 13日 (木)
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- 数ベクトル空間 (続)
- 斉次連立1次方程式の解空間 (続)
- 確認問題9の講評
特に、連立1次方程式を 係数行列と未知数ベクトルの積 と見做すと、斉次連立1次方程式の解空間が線形部分空間になることが簡単に証明出来ること
- 固有値と固有ベクトル
- 固有値、固有ベクトルの定義と例: “行列を掛けた筈なのにスカラー倍になっているレアなベクトル”
- 固有値と特性多項式
- 実数λが行列Aの固有値となる条件: det(A-λIn)=0
- 特性多項式の定義
- 例題: 特性多項式を用いた固有値の求め方
- ケーリー–ハミルトンの定理: 特性多項式に元の行列を “代入” すると零行列になる!!
- 参考資料7 (固有値と固有ベクトル・ケーリー–ハミルトンの定理)
- 確認問題10 解答 (固有値と特性多項式・ケーリー–ハミルトンの定理, 問題文に 自由研究あり)
- 2018年12月4日 (火), 6日 (木)
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- 2018年11月27日 (火), 29日 (木)
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出張のため 休講
- 2018年11月20日 (火), 22日 (木)
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- 数ベクトル空間 (続)
- 数ベクトルで生成される線形部分空間 Span (続)
- 線形部分空間
- 線形部分空間の定義
- 線形部分空間である部分集合と線形部分空間でない部分集合の例: xy平面の場合
原点を通る直線、放物線、原点を通らない直線、第1象限、x軸+y軸
- 線形部分空間のイメージ: “原点を通る隙間のないどこまでも続くまっすぐな空間”
- 映像資料: 日本テレビ制作 堺正章主演 『西遊記』 第1話より
岩から産まれた石猿・孫悟空が大暴れして、ほとほと困った天帝が釈迦如来に孫悟空を凝らしめてもらうシーン。所謂「お釈迦様の掌の上」の逸話ですね。この後、石山によって動きを封じられた孫悟空は、三蔵法師と出会って天竺へと壮大な旅に出るのです……。
※ 著作権の関係で動画は掲載出来ません。名作と名高いシリーズですので、興味のある人はTSUTAYA等でレンタルしてみては如何でしょうか?
- 参考資料6 (線形部分空間, 斉次連立1次方程式の解空間) 次回講義時も持参すること!!!
- 演習問題3 (数ベクトル空間 / 自習課題) 解答公開済み
- 確認問題8 解答 (線形部分空間, 問題文に 自由研究あり) ※ 自由研究の解答は工事中
- 2018年11月13日 (火), 11月15日 (木)
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- 数ベクトル空間 (続)
- 数ベクトルの線形独立性と線形従属性 (続)
- 数ベクトルで生成される線形部分空間 Span
- 数ベクトルの線形結合の定義と意味 — 与えられたベクトルを素材として、和とスカラー倍のみを使って“新しいベクトル”を作る
- 数ベクトルの生成する線形部分空間 Span の定義
- Span の例: 1つのベクトルの Span, 2つのベクトルの Span
- Span の次元および基底の定義: 線形独立な数ベクトルの最大個数として
- 例題: Span の次元と基底 — 行標準形 (階段行列) に変形して考える
ピボットを含むベクトル=基本ベクトル、ピボットを含まないベクトルは基本ベクトルを用いて表される
- 映像資料: 2次元数ベクトル空間 (座標平面) の Span
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| すべての平面ベクトルが作れる 次元2 |
直線 y=x/3 上のベクトルしか作れない 次元1 |
| GIFアニメーション |
GIFアニメーション |
- 映像資料: 3次元数ベクトル空間 (座標空間) の Span
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| すべての空間ベクトルが作れる 次元3 |
平面 20x-17y+11z=0 上のベクトルしか作れない 次元2 |
| GIFアニメーション |
GIFアニメーション |
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| 直線 x/2=y/3=z 上のベクトルしか作れない 次元1 |
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| GIFアニメーション |
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- 確認問題7 解答 (Span の次元と基底, 問題文に 自由研究あり)
- 確認問題7+ 解答 ※ 確認問題7の類題。必ず1度解いてみてから解答を確認すること!!
- 2018年10月30日 (火), 11月8日 (木)
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- 数ベクトル空間
- 数ベクトルと数ベクトル空間: 定義と例
2次元数ベクトル=平面ベクトルの成分表示, 3次元数ベクトル=空間ベクトルの成分表示
“次元” のイメージ: その空間のすべてのベクトルを表すのに必要なベクトルの数
- 数ベクトルの線形独立性と線形従属性
- 数ベクトルの線形独立性と線形従属性の定義
- 基本ベクトルの線形独立性 — 定義に即して
- 例題: 数ベクトルの線形独立性/従属性の判定
“連立1次方程式の解が不定解となるかどうか?”
- 映像資料: Dimension III 第4次元
SFの世界ではお馴染みの4次元空間。絵に描くことは出来ないけれど、4次元空間の「立体」の「断面図」を見ることは我々にも出来る。そう、立体図形の断面や影を平面に写し取れるように……。秋の夜長、4次元空間に思いを馳せてみるのもまた一興。目まぐるしく移りゆく美しい図形を眺めているだけでも、どことなくわくわくしませんか? (しないか)
この動画を見終えて「4次元空間面白ぇ!!」と感激するか「は? 頭おかしいんじゃないの?」と思うかは貴方次第。続きものの動画なので、興味を持った方は是非全編をご鑑賞あれ (自分で検索してね)。
- 参考資料5 (数ベクトルとその線形独立性/線形従属性) 次回講義時も持参すること!!!
- 確認問題6 解答 (数ベクトルの線形独立性/従属性の判定, 問題文に 自由研究あり)
- 2018年11月1日 (木), 11月6日 (火)
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旭祭開催に伴う 休校日
- 2018年10月23日 (火), 10月25日 (木)
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- 行列式 (続)
- ラプラスの余因子展開の応用Ⅰ: — 余因子行列と逆行列 (続)
- 確認問題4の講評
- 余因子行列の性質の証明: Ã と A の積の各成分が余因子展開の形となることを確認する 講義スライド
- ラプラスの余因子展開の応用Ⅱ: — クラーメルの公式
- クラーメルの公式: 定理の主張
- 例題および問題演習: クラーメルの公式
- 定理の証明: 逆行列 (余因子行列) を左から掛ける
- 連立1次方程式と行列式: その歴史的背景について 講義スライド
- 映像資料: ぐんまちゃんが紹介する上毛かるた動画「【わ】和算の大家 関孝和」
歴史が苦手な人でも、和算家 関孝和 の名前くらいは聞いたことがあるだろう。和算と言うと鶴亀算とか植木算とか「子供騙しな算数」という印象の人もいるかもしれないが、関孝和等和算家は、鎖国により海外の数学の知識が全く入ってこない状態で、西洋よりも早く行列式の計算法を編み出していた、というのだから驚きである。折角日本で行列式を学ぶのだから、今回はそんな和算家と行列式の関係を少し垣間見てみよう。
ちなみに群馬の名所、偉人を詠んだ上毛かるたは、最も有名な郷土かるたとも言われ、群馬県民の必須教養 (?) とされている (らしい)。興味のある方は覗いてみては? (ぐんまちゃんかわいいですよね)
- 参考資料: 行列式の “ロード・マップ”
「行列式」の単元は内容も抱負で、色々な話題が複雑に絡み合っているため、このような「視覚的」に理論の全体を展望出来る “地図” を作成するのは非常に良い勉強になると思います。
- 確認問題5 解答 (クラーメルの公式, 問題文に 自由研究あり)
- より進んだ内容についての資料 (講義では未配布; 試験範囲外)
- 参考資料α (行列式の少し高度な性質について)
- 演習問題A (参考資料αに関する演習問題) ※ 解答は公開済です。
次回から「数ベクトル空間」の単元 (線形独立性 / 従属性など) に入ります。
- 2018年10月16日 (火), 18日 (木)
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- 行列式 (続)
- 行列式の計算法Ⅱ: ラプラスの余因子展開 (続)
- 確認問題3の講評
- 補足1: 行列のサイズ下げによる行列式の計算 — 余因子展開と基本変形を組み合わせて
- 補足2: 列に関して成り立つ性質は行に関してもも成立する
“転置行列の行列式がもとの行列の行列式と等しい” ことの帰結 講義スライド
- 余因子展開公式の証明の概略 講義スライド
“基本パーツ” に帰着して、“基本パーツ” を証明する (“底面積×高さ=体積”)
- ラプラスの余因子展開の応用Ⅰ: — 余因子行列と逆行列
- 余因子行列の定義
- 例題: 余因子行列の求め方, 余因子行列と元の行列の積
- 参考資料4 (ラプラスの余因子展開の応用)
※ 次回も持参して下さい!!
- 演習問題2 (自習課題; 10月18日 解答公開)
- 確認問題4 解答 (余因子行列と逆行列, 問題文に 自由研究あり)
- 2018年10月9日 (火), 11日 (木)
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- 行列式 (続)
- 行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化 (続)
- 確認問題2の講評
- 三角行列の行列式についての解説 (スライドは9月25日, 27日の講義内容参照)
- 発展: 教科書の行列式の「定義」は、基本3性質を用いて行列式を計算したもの 講義スライド
- 行列式の計算法Ⅱ: ラプラスの余因子展開定理
- 余因子の定義 (特に余因子の符号について)
- ラプラスの余因子展開定理の紹介
- 余因子展開を用いた行列式の計算例
- 参考資料3 (ラプラスの余因子展開)
- 確認問題3 解答 10月18日 (木) 公開 (ラプラスの余因子展開定理, 問題文に 自由研究あり)
- 2018年10月2日 (火), 4日 (木)
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出張のため 休講
- 2018年9月25日 (火), 27日 (木)
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- 行列式 (続)
- 2次, 3次行列式の基本3性質 (続)
- 行列式の基本3性質の図形的意味
- 映像資料: 多重線形性の解説アニメーション
- n 次行列式
- n 次行列式の定義: 基本3性質を用いて計算される値として
- 例題: 基本3性質を用いた4次行列式の計算
- 行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化
- 列基本変形と行列式
「ある列を何倍かして他の列に加えても、行列式の値は変わらない」
- 定理: 三角行列の行列式は対角成分の積
※スライド資料: 三角行列の行列式について (次回お見せしますが、簡単なので興味のある人はどうぞ)
- 例題: 行列の下三角化による行列式の計算
- 参考資料2 (n 次行列式, 行列の三角化による行列式の計算)
- 演習問題1 (自習課題; 9月27日 解答公開)
- 確認問題2 解答 10月11日 (木) 公開 (行列の三角化による行列式の計算, 問題文に 自由研究あり)
- 予習用映像資料 次回までに良く予習しておこう (授業中は遊んじゃダメ!! 絶対!!)
- 2018年9月18日 (火), 20日 (木)
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- 履修に関するガイダンス ガイダンス資料
- 行列式
- 2次・3次行列式の基本3性質
- 練習問題: 2次行列式・3次行列式の計算
- 行列式の基本3性質: 多重線形性, 歪対称性, 単位行列の行列式は1
- ファンデルモンドの定理: 同じ列ベクトルを含む行列の行列式は0
- 基本3性質のみを用いた行列式の計算例 研究課題の解答例と追加の演習問題
- 参考資料1 (行列式の基本3性質とその証明; Webページ公開版のみの加筆あり)
- 確認問題1 解答 (2次・3次行列
式の基本性質, 問題文に 自由研究1, 2あり)
- 2018年9月13日 (木)
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出張のため 休講
- 2018年9月11日 (火) 創立記念日
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休校日
講義日程
1EC・1FI科 (UNIPA も参照のこと)
9月 11日 (創立記念日), 18日, 25日
10月 2日 (出張のため休講), 9日, 16日, 23日, 30日
11月 6日 (旭祭片付けのための休校日), 13日, 20日, 27日
12月 4日, 11日, 18日, 25日 (月曜授業実施日)
1月 1日 (元日), 8日, (15日)
1EJ・1EH・1ES科 (UNIPA も参照のこと)
9月 13日 (出張のため休講), 20日, 27日
10月 4日 (出張のため休講), 11日, 18日, 25日
11月 1日 (旭祭準備のための休校日), 8日, 15日, 22日, 29日
12月 6日, 13日, 20日, 27日 (冬季休校)
1月 3日 (冬季休校), (10日)