線形代数学Ⅰ   Linear Algebra Ⅰ

工学部 1年
EC・FI 科 (火曜2限)
EJ・EH・ES 科 (木曜2限)

担当: 原 隆

場所: FI・EC科 5号館 5404 教室,   EJ・EH・ES科 2号館 2703 教室

講義内容 (シラバスより):
　この科目では、高校で学んだベクトルをさらに深く学んだ上で、行列について入門的事項を学ぶ。
　線形代数は、多くの理工系分野の基礎をなしている。線形代数において、幾何学的なイメージをもつことは非常に重要であるので、前半では、３次元ベクトルと空間図形とが関連する題材を扱う。行列については、２行２列の行列から始め、平面の１次変換などを通じ十分慣れ親しんでから、一般の行列へ進む。後半は、行列の応用として連立１次方程式の解法などを学習する。　

教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 9月7日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (お待たせしました)。
• 8月7日   学期末試験の集計結果 (確定版) を更新しました。採点講評は……気長にお待ち下さい m(_ _)m
• 7月29日   演習問題3-2.の解答を修正しました。期末試験直前になってしまってすみません m(_ _)m
• 7月12日   7月10日 (火), 12日 (木) (最終回) の講義内容を更新しました。学期末試験は7月31日 (火) 3限 実施です!
• 7月6日   7月3日 (火), 7月5日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月28日   6月26日 (火), 6月28日 (木) の講義内容を更新しました。同日授業内容に 「学期末考査・成績評価について」のプリントへのリンクを貼りました (実施日時、試験範囲等についての注意)。
• 6月21日   6月19日 (火), 6月21日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月14日   6月12日 (火), 6月14日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月7日   6月5日 (火), 6月7日 (木) の講義内容を更新しました。
• 5月31日   5月29日 (火), 5月31日 (木) の講義内容を更新しました。
• 5月24日   5月22日 (火), 5月24日 (木) の講義内容を更新しました。
• 5月17日   5月15日 (火), 5月17日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題2の解答はすでに掲載しています。
• 5月11日   5月8日 (火), 5月10日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題1の解答はすでに掲載しています。
• 4月27日   4月24日 (火), 4月26日 (木) の講義内容を更新しました。確認問題1の解答を掲載しました。
  ワークシートの提出は自由ですが、ワークシートの内容も試験範囲ですので、各自でしっかり取り組むことをお薦めします。次回の講義の冒頭で少しだけ補足をします。
• 4月19日   4月17日 (火), 4月19日 (木) の講義内容を更新しました。次週提出の人がいるかもしれないので、確認問題1の解答は次週掲載します。
• 4月12日   4月10日 (火), 4月12日 (木) の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 4月10日 (火), 4月12日 (木) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!
• この講義の試験は 特定科目考査日 (2018年7月30日 または 31日) に実施されます。

講義内容

講義内容の更新は概ね EC・FI科, EJ・EH・ES科 の両方の講義が終了した後となります。

2018年7月31日 (火)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  集計結果 (確定) ECFIクラス (火2):

  55名受験   期末試験平均点 73.27点 最高得点 99点   S 6名, A 15名, B 13名, C 15名, D 6名   5名欠席 (単位放棄)
  EJEHESクラス (木2):

  44名受験   期末試験平均点 71.05点 最高得点 97点   S 4名, A 13名, B 11名, C 9名, D 7名   4名欠席 (単位放棄)
  今年は若干成績が奮わなかったような気が……何でやろ。。

  ※ WebClass 上で解答の返却を開始いたしました。解答用紙原本の返却を希望される方は、個別に連絡して下さい。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2018年7月10日 (火), 7月12日 (木)

• 行列の行基本変形とその応用 (続)
  • 行列の行基本変形の応用Ⅱ: 逆行列の求め方
    • n次正方行列の逆行列の定義と例
    • 行基本変形を用いた逆行列の計算法と具体例
    • 問題演習: 逆行列の求め方
    • 行列の行基本変形と基本行列
    • 逆行列の求め方の原理
      行列 A を行基本変形で単位行列に変形できたなら、A の左から対応する基本行列の積を掛けると単位行列となる
• 参考資料9 (逆行列の求め方)
• 演習問題4 および 解答 (行列の行基本変形)
• 確認問題8   解答 (逆行列の求め方)

2018年7月3日 (火), 7月5日 (木)

• 行列の行基本変形とその応用 (続)
  • 行列の行基本変形の応用Ⅰ: 連立1次方程式の解法
    • 拡大係数行列の行基本変形による連立1次方程式の解法
    • 例題および問題演習: 連立1次方程式の解法
    • ルーシェ–カペリ (Rouché–Capelli) の定理
      • 係数行列と拡大係数行列の階数が一致するときのみ解が存在
      • 解に現れるパラメータの個数は (未知数の総数) – rank A 個
• 参考資料8 (連立1次方程式の解法)
• 確認問題7   解答 (連立1次方程式の解法)

2018年6月26日 (火)、6月28日 (木)

• 行列の行基本変形とその応用 (続)
  • 行列の行基本変形と行標準形 (続)
    • 例題: 行標準形の判定 (宿題: 4つの行列のうちどれが行標準形でしょうか?; 答え合せ)
    • 行標準形かどうかを見極める3つのチェックポイント
    • 定理: 全ての行列は、行基本変形によって一意的に行標準形に変形出来る
    • 行列の階数 rank の定義 (行標準形のピボットの数)
    • ガウスの消去法: 行基本変形による行標準形への変形のアルゴリズム
    • 例題: ガウスの消去法による行標準形への変形
• 学期末考査・成績評価について
• 確認問題6   解答 (行列の行標準形と階数)

2018年6月19日 (火), 6月21日 (木)

• 行列の行基本変形とその応用
  • 連立1次方程式と拡大係数行列
    • 例題: 3元1次連立方程式
    • 連立1次方程式の「加減法」(文字消去) による解法と基本変形
    • 連立1次方程式と拡大係数行列
    • 加減法=拡大係数行列に行基本変形を施して「なるべく簡単な行列にする」操作のこと
  • 行列の行基本変形と行標準形
    • 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義
    • 行標準形 (row normal form) の定義
    • 行標準形の例と見分け方 (3つのチェックポイント)
    • 例題: 行標準形の判定 (宿題: 4つの行列のうちどれが行標準形でしょうか?)
• 参考資料7 (行基本変形と行標準形)

2018年6月12日 (火), 14日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 逆変換と逆行列 (続)
    • 問題演習: 回転変換、折り返しに対する逆行列の計算
    • 逆行列の応用: 2つのベクトルの移る先が分かっている線形変換の行列表示
  • 一般の行列
    • 一般の行列の定義と用語 (行、列、成分) の解説
    • 行列の演算: 足し算、スカラー倍、積
• 参考資料6 (一般の行列とその演算
• 演習問題3および解答 (線形変換と行列; 2FI・ECクラスは次回配布します)
• 確認問題5   解答 (逆行列と行列の積)

2018年6月5日 (火), 6月7日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 逆変換と逆行列
    • 逆変換の定義
    • 逆変換の例と逆変換を持たない例 (正射影)
    • 逆変換の行列表示 (逆行列) の計算
    • 逆行列の定義と逆行列のが存在条件: 行列式が0にならない
    • 問題演習: 逆変換と逆行列

2017年5月28日 (火), 5月31日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 2次正方行列の演算
    • 行列の和の定義 —線形変換の和の行列表示として
    • 行列のスカラー倍の定義 —線形変換のスカラー倍の行列表示として
    • 線形変換の合成と行列の積
      • 線形変換の合成の定義
      • 合成変換の行列表示としての行列の積
      • 問題演習: 行列の積   1EC・FIクラスは次回扱います!
• 参考資料5 (2次正方行列の演算)
• 確認問題4   解答 (線形変換と2次正方行列)

2018年5月22日 (火), 24日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列
  • 平面ベクトルの線形変換
    • 線形変換の定義 — 特に「線形性」に注目して
    • 線形変換の例: 回転変換、鏡映変換 (折り返し)、正射影 など
  • 線形変換と行列
    • 線形変換でベクトルが移る先は e_x, e_y の移る先が分かればすべて決まる (!)
    • 線形変換の計算例: 鏡映変換, 正射影, 回転変換の場合
    • 線形変換と (正方) 行列との対応: 「線形変換」と「行列」は表裏一体
      線形変換を調べること=行列を調べること!
• 参考資料4 (線形変換と正方行列について)

2018年5月15日 (火), 17日 (木)

• 空間図形の方程式 (続)
  • 平面のベクトル方程式
    • 平面を1つに定めるデータ: 法線ベクトルと通る点 (の位置ベクトル)
    • 平面のベクトル方程式の立て方: 「法線ベクトルは平面上のベクトルと直交」
    • 問題演習 — 特に方向ベクトルの情報が隠されているときにどう対処するか?
    • 定理: x,y,zの1次方程式は平面を表す
    • 空間内の直線は連立1次方程式 (2つの等式) で表されること
      特に直線の連立1次方程式としての表し方は無数に存在する
  ※ パラメータ表示を介した平面の方程式 (参考資料3の「平面の方程式Ⅱ」) は本年度は自主研究課題とします。意欲的な方はぜひチャレンジしてください!!
• 確認問題3   解答 (空間図形の方程式)
• 演習問題2および解答 (空間図形の方程式; 自習課題)

2018年5月8 (火), 5月10日 (木)

• ベクトルの外積 (続)   ※ ワークシートの解説を中心に
  • 平行六面体の体積とスカラー三重積
  • 3次行列式の定義とサラスの公式
  • 3次行列式の符号の意味: 右手系か左手系か
• 空間図形の方程式
  • 空間直線のベクトル方程式
    • 直線を1本に定めるデータ: 方向ベクトルと通る点 (の位置ベクトル)
    • 直線のベクトル方程式
    • 直線のパラメータ表示 (媒介変数表示)、直線の方程式
    • 問題演習 — 特に方向ベクトルの情報が隠されているときにどう対処するか?
• 参考資料3 (空間図形の方程式)
• 演習問題1および解答 (ベクトルの内積と外積; 自習課題)

2018年5月1日 (火), 5月3日 (木)

ゴールデンウィーク休講 (1EC・FIクラス), 憲法記念日 (1EJ・EH・ESクラス) による 休講
良いゴールデンウィークをお過ごし下さいノシ

2018年4月24日 (火), 4月26日 (木)

• ベクトルの外積
  • 空間ベクトルの外積の定義
  • ベクトルの外積の性質: 外積の歪対称性、双線形性
  • 歪対称性の系: 「同じベクトルの外積は零ベクトル」
  • ベクトルの成分表示と外積: 双線形性を用いて
  • 外積の計算演習
• 参考資料2 (ベクトルの外積)
• ワークシート (平行六面体の体積)   ※ 試験範囲です!! 解答の公開予定はありません。教科書等を参照して各自で埋めてみること。
• 確認問題2   解答 (ベクトルの外積)

2018年4月17日 (火), 19日 (木)

• ベクトルの内積 (続)
  • 平行四辺形の面積と2次行列式
    • ベクトルの張る平行四辺形の面積
      • ベクトルの張る平行四辺形とは
      • 平行四辺形の面積公式 — 内積の応用として
      • 平行四辺形の面積公式: 問題演習
    • 平面ベクトルと2次行列式
      • 平面ベクトルの成分表示と平行四辺形の面積
      • 2次行列式の定義
      • 問題演習: 平行四辺形の面積と2次行列式
      • 2次行列式の符号の意味 — ベクトルの位置関係 (最初のベクトルから見て反時計回りか時計回りか?)
      • 2次行列式の符号と反時計回り/時計回りの関係: 「時計回りにπ/2回転したベクトルとの内積を考える
• 確認問題1   解答 (ベクトルの内積)

2018年4月10日 (火), 12日 (木)

• ガイダンス: 「線形代数学とは?」=「ベクトルとその変換の幾何学」   — 「線形性」がキーワード
  事務的な事項のガイダンス (成績評価等について)   ガイダンス資料
• ベクトルの内積
  • 内積の定義と性質
    • 内積の定義 (復習)
    • 内積の図形的意味: 「正射影を取ったあとで “大きさ” の積を取る」
    • 内積の性質 — 特に 対称性 と 双線形性 を中心に
  • ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
    • 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
    • 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いた “展開&rdauo; によって基本ベクトル同士の内積に帰着する
    • 線形性を用いることで 幾何的な問題を代数的に扱ってしまえる のが “線形代数のマジック”
• 参考資料1 (ベクトルの内積)   次回講義時 (4/20) にも持参して下さい!

講義日程

1EC・FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   10日, 17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日, 19日, 26日
7月   3日, 10日, 17日 (月曜授業実施日), (24日)

※ 7月17日 (火) は 月曜日の講義実施日 (14週目) のため この講義は開講されません!

1EJ・1EH・1ES科   (UNIPA も参照のこと)

4月   12日, 19日, 26日
5月   3日 (憲法記念日), 10日, 17日, 24日, 31日
6月   7日, 14日, 21日, 28日
7月   5日, 12日, 19日, (26日)