2018年度微分積分学および演習Ⅱ (原)

微分積分学および演習Ⅱ Calculus Ⅱ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原隆

場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2601教室

講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツによって創始され、その後様々な数学者によって築かれてきた微分積分学は、自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。

この講義では前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容に引き続き、多変数（特に2変数）関数の微分、積分を学ぶ。

予備知識として前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容を前提とする。

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

2月7日 WebClass に学期末考査答案をアップロードしました。

1月24日学期末考査結果速報を掲載しました。

1月15日 1月15日の講義内容を更新しました。演習問題13の解答を公開しました。
本年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。それでは試験頑張って!!

1月11日明けましておめでとうございます。1月8日, 11日の講義内容を更新しました。演習問題11の解答を公開しました。

12月18日 12月18日の講義内容を公開しました。
なお、次回 (2018年12月21日) は模擬試験演習としますので、次回の講義は 1月8日 (火) です!!

12月14日 12月14日の講義内容を更新しました。演習問題12の解答は公開済みです。次回 (年内最終講義) とその次の回 (年始の最初の講義) に授業アンケートを実施します。

12月11日 12月11日の講義内容を更新しました。演習問題10の解答をアップロードしました。次回は変数変換公式の解説 (特になぜヤコビ行列式が出て来るのか) を簡単に解説した後、図形の求積問題に入ります。

12月7日 12月7日の講義内容を更新しました。

12月4日 12月4日の講義内容を更新しました。

11月20日 11月16日, 20日の講義内容を更新しました。演習問題9の解答も公開しています。なお11月27日、30日は出張のため休講です! 次回の授業は12月4日 (火) です。

11月13日 11月13日の講義内容を更新しました。演習問題8の解答をアップロードしました。

11月10日 11月9日の講義内容を更新しました。

10月30日 10月30日の講義内容を更新しました。次回は旭祭明けの 11月9日 (金) です。

10月26日 10月26日の講義内容を更新しました。演習問題5の解答を公開しました。

10月23日 10月23日の講義内容を更新しました。

10月19日 10月19日の講義内容を更新しました。演習問題4の略解を公開しました。

10月16日 10月16日の講義内容を更新しました。

10月12日 10月12日の講義内容を更新しました。

10月9日 10月9日の講義内容を更新しました。演習問題2の略解を公開しました。

9月28日 9月28日の講義内容を更新しました。次週 10月2日 (火)、5日 (金) は休講なのでご注意ください!!

9月25日 9月25日の講義内容を更新しました。

9月21日 9月21日の講義内容を更新しました。

9月18日 9月18日の講義内容を更新しました。

9月11日 (火) は創立記念日のため休校日, 9月14日 (金) は出張のため休講です。初回講義は 9月18日 (火) です。

この講義の試験は特定科目考査日 (2019年1月22日または 23日) に実施されます。

講義内容

2019年1月23日 (水)

学期末考査
※ 東京電機大学数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅱ』の学期末考査の問題および解答は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。

速報 (2/1確定)
62名受験期末試験平均点: 72.58点最高点: 100点 (1名) 成績分布: S:10名 A:14名 B:17名 C:9名 D:12名単位放棄:3名
　……まぁ大筋で例年通り、って感じ。単位取れてると良いですね～♪
- 答案は WebClass を通じて返却予定です。~~2月1日くらいに返却……出来ると良いよね (他人事)~~ ~~入試で2号館に入れなくなっちゃったんで、2月7日以降に WebClass にアップロードします~~ 2/7 WebClass に学期末考査答案をアップロードしました
- WebClass に入って「成績→テスト結果」と進めば見られる……と信じてます (管理者からは確認出来ない …なんちゅうシステムや >_<) もし閲覧出来なかったらメール等でお知らせください。
- 答案の原本の返却を希望される方は、5号館11階51102A室まで取りに来てください。ただ、春休み中は結構不在にしていると思いますので、予めメール等でアポイントを取っていただいた方が確実です。
  なお、アポイントを取った上で連絡もなく指定日時にやって来ない人はマジ心象最悪ですので気をつけて (?)
- 右上の点数が試験の得点で、それに従って S, A,... が決まります (書き間違えてたらゴメンね)。
- 採点についての疑問、質問、イチャモン等はお早めにどうぞ。採点結果を事務に提出した後の変更は原則出来ません (まぁ 2/8 が最終締切なんだが)。なお、答案はスキャンしてありますので、書き足しなどの狡い真似はしない方が身のためです。
- 採点講評およびアンケート自由回答欄へのコメントは、用意が出来次第こちらに掲載する予定です。……気長にお待ち下さい (結構大変なのよ、作るの)。。

2019年1月15日 (火)

条件付き極値問題とラグランジュの未定乗数法 (続)
- 問題演習: 問題13-1. (1), (3), (5) の解説
- 身の回りの条件付き極値問題
  - シャノンの情報理論 (エントロピー最大化問題)
    最も平均情報量が多い (“曖昧な”) 状況は、全ての事象が等確率で起こるとき
  - ミクロ経済学の話題から —2財の効用最大化問題
- ラグランジュの未定乗数法の原理
  - 陰関数定理 — 「或る点の回りに限れば “すべての” 平面曲線は関数のグラフ」
  - ラグランジュの未定乗数法の原理: 陰関数を用いて “1文字消去”

2019年1月11日 (金)

2変数関数の積分法 (続)
- 平面図形の重心とパップス–ギュルダンの定理 (続)
  - 平面図形の重心 (復習)
  - パップス–ギュルダンの定理の証明: 特に重心の x座標の定義式とバウムクーヘン分割の関係について
条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法
- 条件付き極値問題
  - 一般の極値問題との違い: x,y が動く範囲が制限 (束縛) される!!
  - 条件付き極値問題の素朴な解法: 束縛条件を用いて “1文字消去”
  - 束縛条件が複雑な式の場合に、どのようにして極値を取る点の候補を求めるか?
- ラグランジュの未定乗数法
  - ラグランジュのアイデア: 「2変数関数+束縛条件」の問題を「3変数関数+束縛条件なし」の問題に変えてしまおう!
  - ラグランジュ関数の定義: 考えている関数と束縛条件から x, y, λ の3変数関数を作り出す
  - ラグランジュの未定乗数法: ラグランジュ関数の臨界点が条件付き極値問題に於ける極値を取る点の候補
  - 簡単な場合の実例
参考資料8 (条件付極値問題とラグランジュの未定乗数法)
演習問題13 (講義内問題演習用: ラグランジュの未定乗数法)

2019年1月8日 (火)

2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
  - 問題演習: 空間図形の体積 (続)
    …… 問題11-1. (6) を解説
- パップス–ギュルダンの定理と平面図形の重心
  - パップス–ギュルダンの定理の紹介と例
  - 平面図形の重心
    - 直線上の質点系の重心: 2質点, 多質点
    - 平面上の質点系の重心
    - 平面図形の重心: “細かく分けて質点系の重心公式で近似して、極限を取る”

2018年12月21日 (金)

模擬試験演習問題文等はウェブ上には計算しません

火曜日に問題を受け取り損ねた人は、誰かにコピーさせて貰うなり海賊版を入手するなり逞しく生きて下さい。

2018年12月18日 (火)

2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
  - 問題演習: 空間図形の体積 (続)
    …… 問題11-1. (4) 解説まで。次回は (5),(6) の解説から

2018年12月14日 (金)

2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
  - 変数変換公式の証明の概略: “uv平面の領域Eを碁盤の目状に切断し、xy平面の領域Dはそれに応じてカットする”
    — ヤコビ行列式は、uv平面での面積ΔuΔvの長方形に対応するxy平面の領域の面積を平行四辺形に近似して計算したもの
- 重積分の応用: 空間図形の体積
  - 空間図形の求積問題について: “底面” (積分領域) と“高さ” (被積分関数) を正しく設定すること
参考資料7 (2重積分の変数変換公式の証明)
演習問題11 (講義内問題演習用 / 空間図形の体積と曲面積 / パップス-ギュルダンの定理) 2019年1月11日解答公開
演習問題12 (自習課題) 解答は公開済みです

2018年12月11日 (火)

2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
  - 問題演習: 2重積分の変数変換問題10-1. (6) まで解説
  - 変数変換公式の応用: ガウス積分 (問題10-2. の解説)
    - ガウス積分とは: 背景等
    - ガウスのアイデア: xy平面全体での exp(-x²-y²) の広義積分を2通りの方法で計算する
    - ガウス積分の計算
映像資料: 統計データのできるまで—第2章　正規分布とは—第1回：正規分布の意味 (日本語)
正規分布についての解説。ぶっちゃけ面白い動画ではありません。まぁ途中に出て来るヒストグラムとかグラフを見て「あぁ、確かに統計データで良く見る形のグラフだなぁ」と感じとっていただければ十分かと思います。ガウス積分は「正規分布のグラフの面積を計算する」こと、つまり「その統計分布の母集団の総数を計算すること」に相当するので、ガウス積分の値を求めることは統計分野への応用の観点からも非常に重要なのです。

2018年12月7日 (金)

2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
  - 問題演習: 2重積分の変数変換問題10-1. (4) まで解説
次回は問題10-1. (5), (6) の答え合わせから始めますので、まだ解き終わっていない人は解いておくこと!!

2018年12月4日 (火)

2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の変数変換公式; “置換積分の重積分版”
  - 重積分の積分変換公式 — dxdy を書き換える際にヤコビ行列式が掛かる
    3つの書き換えポイント: 1. 被積分関数の書き換え 2. 積分領域の書き換え 3. dxdyの書き換え (ヤコビ行列式の計算)
  - 例1: 変数変換で積分領域を “簡単にする”
  - 例2: 極座標変換の計算例 — 積分領域に円が現れるとき
学期末考査・成績評価について
東京電機大学数学系列の取り決めにより試験の過去問はウェブページ上には公開しません。受け取っていない者は、ツテを頼りに入手するか個別に申し出ること。解答は作成していませんが、分からない問題への質問や解いた問題のチェックなどには応じますので遠慮なく申し出て下さい!
演習問題10 (講義内問題演習用 / 重積分の変数変換) 12月11日解答公開 (問題10-2. は略解のみ)

2018年11月27日 (火), 30日 (金)

出張のため休講

2018年11月23日 (金) 勤労感謝の日

休校日

2018年11月20日 (火)

2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の計算 (続)
  - 問題演習: 2重積分の計算問題9-1. (8) まで解説
  ※ 次回 (12月4日) は重積分の変数変換公式を扱います。

2018年11月16日 (金)

2変数関数の積分法
- 重積分の定義 — 1変数関数の定積分と比較して
  - 1変数関数の定積分の定義 (復習): 微小長方形の面積の総和 (リーマン和) の極限
  - 重積分の意味: “関数のグラフの下の部分の体積”
  - 重積分の定義: 微小直方体の体積の総和 (リーマン和) の極限
  - 参考資料: リーマン和の極限としての重積分の定義 (画像資料)
    分割を細かくすればするほど、微小直方体の体積の和がグラフの下の部分の体積に近づいてゆく様子が観察出来る (図はMathematicaで作成)
- 重積分の計算法
  - 例題: 重積分の計算
演習問題9 (重積分の計算: 講義内問題演習用) 解答も公開済みです (問題9-1.は略解のみ)

2018年11月13日 (火)

2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
- 2変数関数の極値問題 (続)
  - 問題演習: 2変数関数の極値問題問題8-1. (4) — (6) の答え合わせ
  - 極値判定法の証明の概略 — 臨界点でのテイラー展開の2次の項を取り出して、2次不等式の問題に帰着する

2017年11月9日 (金)

2変数関数の羃級数展開展開とその応用 (続)
- 2変数関数の極値問題
  - 1変数関数の極値問題: 極値を取る点の候補=微分係数が0となる点、2階導関数 (凹凸) を用いた極値の判定
  - 2変数関数の場合の困難: 増減表が描けない! → 2階導関数を利用する
  - 臨界点の定義 — 「接平面が水平になる点」「極値を取るの候補」
  - ヘッセ行列, ヘッセ行列式の定義と2変数関数の極値の判定法
  - 例題: 2変数関数の極値問題
  - 問題: 2変数関数の極値問題問題8-1. (1)— (3)
  次回は演習問題8-1. (4)— の答え合わせから始めます。
参考資料6 (2変数関数の極値問題について)
演習問題8 (2変数関数の極値問題 / 講義内問題演習用)

2018年11月2日 (金), 11月6日 (火)

旭祭による休校日

2018年10月30日 (火)

2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
- 2変数関数の合成関数の微分法 (続)
  - 合成関数の微分法 Case 2 — x, y に2変数関数を代入する (変数変換)
    - 定理の主張, ヤコビ行列とヤコビ行列式の定義
- 2変数関数のテイラー–マクローリンの近似定理
  - 2変数関数のテイラーの近似定理
  - 証明の概略: 1変数関数のマクローリンの近次定理 + 合成関数の微分法 Case 1.
参考資料5 (2変数関数のテイラー–マクローリンの近似定理とその証明について)
演習問題7 (2変数関数の微分法総合演習; 自習課題) 解答は公開済

2018年10月26日 (金)

2変数関数の羃級数展開とその応用(続)
- 2変数関数のテイラー–マクローリン展開 (続)
  - 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開問題5-2. 残りの解説
- 2変数関数の合成関数の微分法
  - 1変数関数の場合との違い; 関数を代入する箇所が x, y の2箇所ある
  - 合成関数の微分法 Case 1 — x, y に1変数関数を代入する
    - 定理の主張と計算例
参考資料4 (2変数関数の合成関数の微分法) ※ 5ページ目の【自由研究】の部分を加筆してあります。
演習問題6 (2変数関数の合成関数の微分法) 今年度は自習課題とします (略解は公開済み)

2018年10月23日 (火)

2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
- 2変数関数のテイラー–マクローリン展開
  - 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開の展開係数の公式
  - 例題: 2変数関数のマクローリン展開
    解法1: 愚直に展開係数を計算する解法2: (1変数関数の) マクローリン展開の公式を利用する
  - 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開問題5-2. (1), (2) まで
    ※ 問題5-1. は自習課題とするので、各自で解いてみてください!
演習問題5 (講義内問題演習用)

2018年10月19日 (金)

2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
- 高階偏微分 (続)
  - 問題演習: 高階偏導関数の計算問題4-1. (5), (6) の答え合わせ
  - 定理: 2階連続偏微分可能な関数に対しては偏微分の順序交換が可能
    ポイント: f_xy(x,y) と f_yx(x,y) は、同じ式に対して極限を取る順序を入れ換えたもの
    → (2階偏導関数の) 連続性から極限の順序交換が可能である
  - 偏微分の順序交換が出来ない例について問題4-2. の関数のグラフ
- 2変数関数のテイラー–マクローリン展開
  - 1変数関数のテイラー展開の展開係数の求め方 (復習)
  - 2変数の場合の厄介さ — 高次の項が文字の組合せにより複数現れる
  ※ 2変数関数のテイラー展開の求め方の詳細は、次回解説します。
参考資料3 (偏微分の順序交換可能性について)

2018年10月16日 (火)

2変数関数の羃級数展開とその応用
- 高階偏微分
  - 高階偏導関数とその個数: n 階偏導関数は2ⁿ個 (“ねずみ算” 式に増えてゆく)
  - 例題: 2階偏導関数の計算
  - 問題演習: 高階偏導関数の計算問題4-1. (4) まで答え合わせ
  ※ 次回は問題4-1. (5), (6) の答え合わせから (残りは自習課題とします)
演習問題4 (高階偏微分; 講義内問題演習用) 10月19日解答公開

2018年10月12日 (金)

2変数関数の微分法 (続)
- 関数の最良1次近似と全微分可能性
  - 1変数関数の場合
    - 動機付け: (アウトプットの) 増分 Δy をインプットのずれ Δx の1次関数で近似したい
    - 最良1次近似の条件: 「Δx を 0 に近づけるスピードより誤差が小さくなるスピードが圧倒的に速い」
    - 最良1次近似の比例係数としての微分係数
    - “接線=最良近似直線”
  - 2変数関数の場合
    - 動機付け: (アウトプットの) 増分 Δz をインプットのずれ Δx, Δy の1次関数で近似したい
    - 全微分可能性の定義 — “(Δx, Δy) をどのように (0,0) に近づけても、誤差関数の方が圧倒的に速く0に収束する”
    - 最良1次近似の比例係数は偏微分係数
    - 偏微分可能でも全微分可能とは限らない (問題2-3. の関数 z=xy/(x²+y²) を例に)
画像資料: 全微分可能性 (講義中にプロジェクターで見せた図)
参考資料2 (全微分可能性について)
演習問題3 (偏微分と全微分 / 解答公開済み)

※ 全微分可能性の概念はかなり高度な概念で、一朝一夕で身につくものではないと思いますので、今回の講義で良く分からなかった点、理解が追いつかなかった点があってもあまり気にせず、取り敢えず先に進んでしまいましょう。ふと気になったときにまたノートを見返してみると、新たな発見があるかもしれません。

2018年10月9日 (火)

2変数関数の微分法 (続)
- 接平面の方程式 (続)
  - 問題演習: 接平面の方程式問題2-2., 問題2-3. 解説
  - 問題2-3. の解説と疑問点: 「これは本当に接平面?」
  - 偏微分の限界: 「y=一定」「x=一定」での切り口しか見ていない!!
    → 全微分の概念へ (次回詳しく説明します)
参考資料: 接平面の図 (講義中にプロジェクターで見せたもの)

2018年10月2日 (火), 5日 (金)

出張のため休講

2018年9月28日 (金)

2変数関数の微分法 (続)
- 偏微分係数と偏導関数 (続)
  - 問題演習: 偏微分の計算問題2-1. (8) の解説
- 偏微分係数の図形的意味: y=b, x=a という平面での “グラフの切り口” の接線の傾き
- 接平面の方程式
  - 接平面の方程式の求め方
    Step 1. 偏微分を用いて接ベクトルを2つ求める Step 2. 法線ベクトルを求める Step 3. 接平面の方程式を求める
  - 例題: 回転放物面の場合

休講期間中に必ず解いておくこと!!

2018年9月25日 (火)

2変数関数の微分法
- 偏微分係数と偏導関数
  - 復習: 1変数関数の微分係数と導関数
  - 偏微分係数・偏導関数の定義と計算例
  - 問題演習: 偏微分の計算 (問題2-1.)
演習問題2 (偏微分および接平面の方程式; 講義内問題演習用) 10月9日略解公開
次回は問題2-1. (8) の後、接平面の求め方に入ります。

2018年9月21日 (金)

2変数関数の極限と連続性 (続)
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (続)
  - z=x²/(x²+y²) のグラフ (x,y)=(0,0) のとき z=0 としても点 (0,0) で不連続 (極限値を持たない)
  - z=x³/(x²+y²) のグラフ (x,y)=(0,0) のとき z=0 とすると点 (0,0) で連続 (極限値 0 を持つ)
    (少しつままれた感じになっている部分が点 (0,0,0))
- 極限の問題へのアプローチ :「極限値を持つこと」を示すのは想像以上に難しい!!
  - Step 1. 直線 y=mx に沿って近づける
  - Step 2. 極座標変換を用いた「極限値」の検証
  - 極座標変換の落とし穴: r を0に近づける際にθを巧く動かすと、違う値に収束することがある!!
  - 極座標変換により極限値が計算できる場合の絡繰り: 挾み撃ちの原理の応用
  ※ この辺りは発展的な内容も含んでいるので、理解が追いつかなかった人も心配には及びません。
- 2変数関数の連続性の定義 — “グラフが繋がっている”
参考資料1 (2変数関数の極限)
演習問題1 (2変数関数の極限 / 解答公開済み)

次回から偏微分法です。

2018年9月18日 (火)

イントロダクション: 「2変数関数の微分積分学とは?」
- 1変数関数から2変数 (多変数)関数へ ……「インプットが1つの数字 (変数) から2つの数字 (変数) へ」
- 2変数関数とそのグラフの例: 平面、回転放物面、気温分布
  - 関数 z=f(x,y)=x²+y² のグラフ (回転放物面)
- 2変数関数を調べる意義: 天気予報など
履修に関するガイダンスガイダンス資料
2変数関数の極限
- 2変数関数の極限の定義 — 「近づけると」=「どんな近づけ方で近づけても」
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例

2018年9月14日 (金)

出張のため休講

2018年9月11日 (火) 創立記念日

休校日

講義日程

9月 ~~11日~~ (創立記念日), ~~14日~~ (出張のため休講), 18日, 22日, 25日, 28日
10月 2日 (出張のため休講), 5日 (出張のため休講), 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日
11月 2日 (旭祭準備のための休校日), 6日 (旭祭片付けのための休校日), 9日, 13日, 16日, 20日, ~~23日~~ (勤労感謝の日), 27日, 30日
12月 4日, 7日, 11日, 14日, 18日, 21日, ~~25日~~ (火曜授業実施日), ~~28日~~ (冬季休校)
1月 1日 (元日), 4日 (冬季休校), 8日, 11日, (15日, 18日)