2018年度微分積分学および演習Ⅰ (原)

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微分積分学および演習Ⅰ Calculus Ⅰ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原隆

場所: 火曜日 5号館 5302 教室, 金曜日 2号館 2701 教室
(曜日によって教室が異なるので注意!!)

講義内容 (シラバスより):
　ニュートンとライプニッツにより創始され、その後さまざまな数学者によって築かれてきた微分積分学（解析学ともいう）は自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。したがって、微分積分学は諸君が工学を学んでいくために欠かせない基礎知識である。
　この講義では、高校で学んだ内容に引き続いて１変数関数の微分積分を学ぶ。
　標準クラス（週２回開講）は、高校の数学Ⅲで複素数平面、三角関数、指数・対数関数の微分積分を学んだ者を主な対象とする。　

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

9月7日学期末試験の採点講評および授業アンケートの自由回答欄へのコメントを掲載しました (遅くなってごめんなさい)。
8月7日学期末試験の集計結果 (確定版) を更新しました。採点講評は……気長にお待ち下さい m(_ _)m
7月29日演習問題11の解答を公開しました。遅くなってすみません m(_ _)m
7月13日 7月13日 (金) (最終回) の講義内容を更新しました。学期末試験は7月31日 (火) 2限実施です!
7月10日 7月10日 (火) の講義内容を更新しました。次回が最終回です!
7月6日 7月6日 (金) の講義内容を更新しました。
6月29日 6月29日 (金) の講義内容を更新しました。次回 (7/3) は模擬試験演習を実施します。
6月28日 6月21日 (金), 6月26日 (火) の講義内容を更新しました。6月26日の講義内容に「学期末考査・成績評価について」のプリントへのリンクを貼りました (実施日時、試験範囲等についての注意)。
6月20日 6月19日 (火) の講義内容を更新しました。
6月15日 6月15日 (金) の講義内容を更新しました。
6月12日 6月12日 (火) の講義内容を更新しました。
6月8日 6月8日 (金) の講義内容を更新しました。演習問題7の解答は公開済みです。
次回から積分の単元に入ります。
6月5日 6月5日 (火) の講義内容を更新しました。また、講義で解説を省略した演習問題 (問題2-2, 問題4-3, 問題5-3, 問題6-2. (10), (11), (12), 問題6-3, 問題6-4) の解答を公開しました。
6月1日 5月25日 (金), 5月29日 (火), 6月1日 (金) の講義内容を更新しました。
5月18日 5月18日 (金) の講義内容を更新しました。5月22日 (火) は休講ですのでご注意下さい!
5月15日 5月15日 (火) の講義内容を更新しました。
5月11日 5月11日 (金) の講義内容を更新しました。
5月8日 5月8日 (火) の講義内容を更新しました。演習問題3の解答は公開済みです。
4月27日 4月24日 (火), 27日 (金) の講義内容を更新しました。
4月20日 4月20日 (金) の講義内容を更新しました。
4月18日 4月17日 (火) の講義内容を更新しました。
4月13日 4月13日 (金) の講義内容を更新しました。
4月11日 4月10日 (火) の講義内容を更新しました。
初回講義は 4月10日 (火) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!
この講義の試験は特定科目考査日 (2018年 7月~~30日または~~ 31日) に実施されます。

講義内容

2018年7月31日 (火)

学期末考査
※ 東京電機大学数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。

集計結果 (確定)
65名受験期末試験平均点 74.97点最高得点 98点 S 11名, A 20名, B 18名, C 6名, D 10名 4名欠席 (単位放棄)
今年はやたらと (失礼!) 出来が良かったです。お見それいたしました。
※ WebClass 上で解答の返却を開始いたしました。解答用紙原本の返却を希望される方は、個別に連絡して下さい。
採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2018年7月20日 (金)

休講

2017年7月18日 (火)

積分法 (続)
- 模擬試験演習返却・講評
- 図形の求積: 回転体の体積問題12-2. (5) まで解説
  — 特に刳り抜き型、y軸まわりの回転体とバウムクーヘン分割について解説
参考資料: THE MAKING バウムクーヘンができるまで
おなかが空きますね。

2018年7月10日 (火)

積分法 (続)
- 広義積分 (続) — 問題10-2. 残り
- 図形の求積: 回転体の体積問題12-2. (3) まで解説
- 演習問題11 (有理関数の積分/広義積分自習課題)
- 演習問題12 (図形の求積)
  ※ 問題12-2. (5) の関数が間違っていました。すみません (訂正済みです)

2018年7月6日 (金)

積分法 (続)
- 有理関数の積分 (続) 問題10-1. (7) 以降を解説
- 広義積分 — 問題10-2.

2018年7月3日 (火)

模擬試験演習問題文等はウェブ上には計算しません

2018年6月29日 (金)

積分法 (続)
- 有理関数の積分 (続)
  - 問題演習: 有理関数の積分問題10-1. (6) まで解説

2018年6月26日 (火)

積分法 (続)
- 問題演習: 定積分の計算問題8-3. 残り (ウォリスの公式の解説を含む)
- 有理関数の積分: 例題
学期末試験・成績評価について
参考資料4 (有理関数の積分手順について)
演習問題9 (いろいろな積分の計算: 自習課題)
演習問題10 (有理関数の積分と講義積分)

2018年6月21日 (金)

積分法 (続)
- 問題演習: 部分積分法と置換積分法 (問題8-2. のこり)

2018年6月19日 (火)

積分法 (続)
- 不定積分の計算: 問題演習 (問題8-1)
- 部分積分法と置換積分法
  - 部分積分法、置換積分法の公式の導出 (復習)
  - 問題演習: 部分積分法と置換積分法 (問題8-2. (1) まで)
※ 終了時刻を完全に間違っていたので、次回は問題8-2. (1) の解説の続きからです。ホントにごめんなさい m(_ _)m
演習問題8 (講義内問題演習用)
※ 問題8-3. ヒント内の誤植は赤色で修正しました。

2018年6月15日 (金)

積分法 (続)
- 定積分の定義 (復習)
- 微分積分学の基本定理
  - 微分積分学の基本定理 Ⅰ 「面積の関数は原始関数」
  - 原始関数の差が定数であること: 平均値の定理の応用として
  - 微分積分学の基本定理 Ⅱ 「定積分は原始関数の値の差」
  - 発展: 関数の微分積分学と数列の差分和分学
参考資料3 (数列に対する差分和分学の基本定理について)

2018年6月12日 (火)

積分法
- アルキメデスの求積法: 放物線と弦で囲まれる部分の面積
  “細かく分割して微小面積を足し合わせる” という発想の源
- 定積分の定義
  - 微小長方形の面積の和による「グラフの下の部分の面積」の近似 (リーマン和)
  - 定積分の定義: リーマン和の極限として
映像資料: 区分求積法: 昔の数学者はこうやって面積を計算した! (日本語)
このアカウントで他にも微分積分学に関する色々な動画があがっているようですので、参考にしてみるのも良いかもしれません。

2018年6月9日 (金)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- 複素指数関数とオイラーの公式
  - 複素指数関数
    - オイラーの公式: 指数関数と三角関数は複素数の世界では “兄弟”である
    - オイラーの等式 eiπ+1=0 — “数学で最も美しい等式 (のひとつ)”
    - オイラーの公式の証明: マクローリン展開の応用として
    - 複素数の掛け算と複素数平面上での回転・拡大縮小 — 複素指数関数の観点から
    - ド・モワヴル (de Moivre) の定理 (=複素指数法則)
    - 三角関数の公式と複素指数法則: 倍角の公式を例に
    - 複素指数関数の定義
演習問題7および解答 (複素指数関数とオイラーの公式; 自習課題 / 解答は公開済)

2018年6月5日 (火)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- テイラー–マクローリンの近似定理の応用2: 不定形の極限 (族)
  - 問題演習 — 不定形の極限: 問題6-2. (4) から (9) まで
- 複素指数関数とオイラーの公式
  - 複素指数関数の定義: 指数関数のマクローリン展開を用いて
  - 複素指数法則: 「指数関数の積は指数の和」
  - オイラーの公式 (紹介のみ)
参考資料2 (複素指数関数と複素指数法則)

2018年6月1日 (金)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- テイラー–マクローリンの近似定理の応用1: 関数の近似値の計算と誤差評価
  - 問題演習: 関数の近似値の計算問題6-1.
  - 誤差評価について — ラグランジェの剰余項を評価する
- テイラー–マクローリンの近似定理の応用2: 不定形の極限
  - 不定形の極限: マクローリン展開を利用する方法と、ド・ロピタルの定理を利用する方法
  - 問題演習 — 不定形の極限: 問題6-2. (3) まで
演習問題6 (テイラー–マクローリンの近似定理の応用) 講義で説明していない問題の解答公開 (6/5)

2018年5月29日 (火)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- コーシーの平均値の定理とド・ロピタルの定理
  - コーシー (Cauchy) の平均値の定理とその証明
  - ド・ロピタル (de L'Hospital) の定理とその証明
- テイラー–マクローリンの近似定理
  - テイラー展開の収束性 = 剰余項 (誤差項) が0に収束するか?
    → 誤差項を具体的に表したい!!
  - テイラー-マクローリン (Taylor-Maclaurin) の近似定理: 剰余項の明示的表記 (ラグランジュ型の剰余項)
  - テイラー-マクローリンの近似定理の証明: ロルの定理の利用
  ※ 基本的な関数のマクローリン展開の収束性 (剰余項の評価) は講義では扱いません。興味がある人は参考資料1の後半を参照してください。
参考資料1 (基本的な関数のマクローリン展開の収束性について)

2018年5月25日 (金)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- ロルの定理と平均値の定理
  - 連続関数の最大値・最小値の存在定理
    - 定理の主張
    - 定理の仮定「有界」「閉区間」「連続関数」を取り除いたら最大値・最小値が存在しないことがあること
  - ロル (Rolle) の定理
    - 定理の主張と図形的意味
    - ロルの定理の証明 — 最大値・最小値を取る点に着目する
  - (ラグランジュLagrange の) 平均値の定理
    - 定理の主張と図形的意味、ロルの定理との関係
    - 平均値の定理の証明 — ロルの定理に帰着する
    - 応用: 微分して0となる関数は定数関数

2018年5月22日 (火)

休講

2018年5月18日 (金)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- マクローリン展開の計算 (続)
  - 色々な関数のマクローリン展開 (続): 問題演習問題5-1. 最後まで解説
- 無限級数への応用 (問題5-2) —ニュートン–メルカトール級数, マダーヴァ–ライプニッツ級数
- テイラー展開の収束性
  - 無限和のパラドクス — なぜ級数を考える際に “収束性” が重要か?
  - テイラー展開が収束するとは — 「テイラー多項式の次数を上げてゆくともとの多項式に収束」
  - cos x, (1+x)^1/2 のマクローリン展開の収束性 (Gnuplot によるデモンストレーション)

2018年5月15日 (火)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- テイラー展開/マクローリン展開が求められると何が嬉しいのか?
  微分積分が容易、近似計算、級数の計算etc......
- マクローリン展開の計算
  - 例題: 真面目に展開係数を計算する方法と既知のマクローリン展開の公式を利用する方法
  - 色々な関数のマクローリン展開: 問題演習問題5-1
演習問題5 (講義内問題演習用) 問題5-3 の解答公開 (6/5)
※ 問題5-1. (4) 問題を差し替えました。(リンク先のプリントは修正済みです)

2018年5月11日 (金)

関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
- 多項式の展開級数と微分係数 (まとめ)
- 関数の羃級数展開: 「多項式関数」の制限を外して「展開係数」を計算してみると……? 指数関数の x=1 でのテイラー展開を例に
- 問題演習: 基本的な関数のマクローリン展開 (問題4-2)
参考資料: 基本的な関数のマクローリン展開について ※ 確実に丸暗記すること!!!!!!

2018年5月8日 (火)

微分法 (続)
- 1次近似としての微分法
  - 微分係数の別の見方 — 1次近似として
  - 1次近似の数値例
  - 「微分可能ならば連続」:1次近似の応用として
  - 連続ではあるが微分可能ではない関数 (詳細は問題2-2参照)
関数の羃級数展開とテイラーの近似定理
- 多項式の展開係数と微分係数: 多項式の展開係数と高階微分係数の関係について
- 問題演習: 問題4-1.
演習問題3および解答 (自習課題 / 解答は公開済)
演習問題4 (講義内問題演習用) 問題4-3 の解答公開 (6/5)

2018年5月1日 (火), 5月4日 (木)

ゴールデンウィーク休講, みどりの日による休講
良いゴールデンウィークをお過ごし下さいノシ

2018年4月27日 (金)

微分法 (続)
- 逆三角関数の微分法: 問題演習 (問題2-3)

2018年4月24日 (火)

微分法 (続)
- 問題演習: 色々な関数の微分問題2-1 (10) – (12) 解説
- 微分法の計算法則 — 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法
- 逆関数の微分法と例: 対数関数の微分法
- 逆三角関数の微分法: 値域に気を付けて符号を決める

2018年4月20日 (金)

微分法
- 微分係数・導関数の定義とその意味: 「微小変化の割合」の極限
- 問題演習: 色々な関数の微分 (問題2-1)
  ※ 基本的に講義時間中に解説した問題の解答は公開しません!
- 微分法の計算法則 — 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法

2018年4月17日 (火)

色々な関数 (続)
- 逆三角関数 (続)
  - 逆三角関数の値 (宿題の答え合わせ)
  - 逆正弦関数, 逆余弦関数, 逆正接関数の主値について
関数の極限と連続性
- 関数の極限
  - 関数の極限の定義
  - 余談: 「限りなく近づく」という表現の曖昧さとε-δ論法による極限の「厳密」な定義 (期末考査範囲外です!!)
- 関数の連続性
  - 関数の連続性の定義とイメージ: 「関数のグラフが繋がっていること」
  - 連続性の定義の条件を満たさない例 (グラフを通じて理解する)
  - 連続関数の中間値の定理とその意味: 「川渡りの問題」のイメージで
演習問題2 問題2-2 の解答公開 (6/5)
※ 次回答え合せを始めるので (4) 位までは解いておくこと!!

2018年4月13日 (金)

色々な関数 (続)
- 逆関数 (続)
  - 逆関数の定義
  - 逆関数の定義と例 (対数関数、反比例の関数)
- 逆三角関数
  - 逆三角関数 — 「範囲を変えると逆関数の様子 (グラフ) が大きく変わる!」
  - 逆三角関数の値: 単位円を描いて対応する角度を正しい範囲で求める
  - 問題演習: 逆三角関数の値 (次回の冒頭で答え合わせ)
- 演習問題1および解答 (自主学習用; 1度自分なりに解いてみてから解答をチェックすること!!)

2018年4月10日 (火)

ガイダンス — 微分積分学=「関数の性質を調べる学問」
講義に関する事務的なガイダンスガイダンス資料
数の集合の記号について N, Z, Q, R, C
色々な関数
- 関数の定義 — 数を入力すると数を出力する「装置」 “函数”
- 関数のグラフ — 関数の規則の「視覚化」 visualisation
- 合成関数 — 2つの関数 (函) を “くっつけて” 1つの大きな函にしよう
- 逆関数
  - 単射関数の定義とグラフによる説明
  - なぜ単射関数を考えるのか? — きちんと「逆再生」出来る!

講義日程

1EC・FI科 (UNIPA も参照のこと)

4月 10日, 13日, 17日, 20日, 24日, 27日
5月 1日, 4日 (みどりの日), 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日
6月 1日, 5日, 8日, 12日, 15日, 19日, 22日, 26日, 29日
7月 3日, 6日, 10日, 13日, ~~17日~~ (月曜授業実施日), 20日, (24日), (27日)

※ 7月17日 (火) は月曜日の講義実施日 (14週目) のためこの講義は開講されません!