代数学入門   Introduction to Algebra

未来科学部1年 FI科
および教職課程 (数学) 履修者 (月曜5限)

担当: 原 隆

場所: 2号館2805教室

講義内容 (シラバスより):
整数 (0,±1,±2,...) は最も「素朴な」数の概念であり、あまりにも身近な数であるため、ともすれば実数などと比べて非常に単純な数の様にも考えられがちである。しかし、〈整数の世界〉が〈実数の世界〉とはまた違った意味で非常に奥深く魅力的な構造を持っていることは古来より知られており、現代に至るまで数多の数学者達を魅了し、研究へと駆り立ててきた。さらに近年では、暗号理論など我々の生活に密接に関わる分野にも整数の理論が応用されるようになってきている。

この講義では初等整数論の初歩について学習する。整数を割った「余り」の概念の復習から始め、「余りの数の世界」に於ける様々な法則の金字塔たるフェルマーの小定理、オイラーの定理を理解することを目指して講義を進める。時間が許せば応用的なトピックスについても扱う予定である。　

教科書: 遠山啓著『数の不思議 — 初等整数論への招待』 (SBクリエイティブ)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 2019年1月23日   1月21日 (単位に関係ないスペシャル補講) の講義内容および、学力試験の結果速報を公開しました。
• 2019年1月7日   新年明けましておめでとうございます。1月7日実施の講義内容を公開しました。1月17日 (木) 17:30—19:00 が学期末考査、1月21日は答案の返却とフェルマーの最終定理についての解説です (出席は自由)。
• 12月25日   Merry Christmas!!! —12月25日の講義内容を公開しました。それでは良いお年をお迎えください m(_ _)m
• 12月17日 12月17日の講義内容を更新しました。次回 (クリスマス; 年内最終講義) とその次の回 (年始の最初の講義) に授業アンケートを実施します。
• 12月10日   12月10日の講義内容を公開しました。年内の講義はあと2回です。
• 12月3日   12月3日の講義内容を公開しました。もう年の瀬ですね……ということで、期末試験の案内も配布しています。
• 11月19日   11月19日の講義内容を公開しました。次週11月26日は出張のため休講 です!
• 11月13日   11月12日の講義内容を公開しました。参考資料5の演習問題の解答を公開しました。今回は参考資料は配布しておりません!
• 11月7日   11月7日の講義内容を公開しました。参考資料4の演習問題4-2.の解答を公開しました。
• 10月30日   10月29日の講義内容を公開しました。
• 10月22日   10月22日の講義内容を公開しました。
• 10月15日   10月15日の講義内容を公開しました。なお、未配布の参考資料0, 参考資料1もアップロードしてありますので、勉強の参考にしてください。
• 9月10日 (月), 10月1日 (月) は 出張のため休講 です。初回講義は 10月15日 (月) です。

講義内容

2019年1月21日 (月)  

• 学期末考査 答案返却 …… のはずが 採点間に合わなかった yo!!
  …… すみませんでした m(_ _)m   1月23日現在、17日に受験された方については WebClass にて答案を返却しております
  • WebClass に入って「成績→テスト結果」と進めば見られる……と信じてます (管理者からは確認出来ない …なんちゅうシステムや >_<)   もし閲覧出来なかったらメール等でお知らせください。
  • 答案の原本の返却を希望される方は、5号館11階51102A室まで取りに来てください。ただ、結構不在にしていると思いますので、予めメール等でアポイントを取っていただいた方が確実です。
    なお、アポイントを取った上で連絡もなく指定日時にやって来ない人は マジ心象最悪です ので気をつけて (?)
  • 右上の点数が試験の得点、四角で囲った数字が評点 (この授業の成績) です。四角で囲った数字に従って S, A,... が決まります (書き間違えてたらゴメンね)。
  • 採点についての疑問、質問、イチャモン等はお早めにどうぞ。採点結果を事務に提出した後の変更は原則出来ません。   なお、答案はスキャンしてありますので、書き足しなどの狡い真似はしない方が身のためです。
  • 採点講評およびアンケート自由回答欄へのコメントは、用意が出来次第こちらに掲載する予定です。……気長にお待ち下さい (結構大変なのよ、作るの)。。
• フェルマーの最終定理から代数的整数論の世界へ
  • フェルマーの最終定理の主張の紹介
  • フェルマーによるn=4のときの証明方針 — 無限降下法 (参考資料11のウェブページ加筆箇所を参照)
  • n=3,4 のときの証明の方針 — ガウスの整数、アイゼンシュタインの整数で因数分解して「素因数分解の一意性」に矛盾させる
  • ラメ、コーシー等のアイデア: 1のn乗根を付け加えた整数での「素因数分解」を考える
  • ラメ、コーシー等の議論の破綻: 素因数分解の一意性の崩壊
    クンマーの理想数のアイデアとイデアル — そして代数的整数論の世界へ
  • フライ、リベによる谷山–志村予想への帰着、ワイルズによる谷山–志村予想の部分的解決
    → フェルマーの最終定理 陥落!!
• 参考資料11 (フェルマーの最終定理と整数の拡張について)
  ※ 何箇所か加筆修正しております。

今年度の講義は以上です。半年間お疲れ様でした!!

2019年1月17日 (木)

• 学期末考査    試験問題   略解
  速報 (確定)

  57名受験 (内1名追試験)   期末試験平均点: 81.54点   期末試験最高点: 112点 (1名)
  　成績分布: S:28名 A:14名 B:9名 C:3名 D:3名   単位放棄:16名

  期末試験100点超え9名、S 半数……だ…と…?!   スカウターの故s (以下略

2019年1月7日 (月)

• 初等整数論の応用2: ガウスの整数
  • ガウスの整数の定義: ガウス平面 (複素数平面) 上の格子点
  • フェルマーの2平方和定理とその意味: 4で割ると1余る奇素数はガウス整数としてさらに素因数分解出来る!
  • ガウスの素数とその分布 (ガウスの絨毯)
  • 応用例1: すべての自然数 n に対して x²+y²=13ⁿ の整数解が存在すること
  • 応用例2: 原始的ピタゴラス数の求め方 (概略)
• 参考資料10 (ガウスの整数について)  演習問題の解答等もついています
• 小テスト11      問題     解答

2018年12月25日 (火)

• 初等整数論の応用1: RSA公開鍵暗号 (続)
  • RSA公開鍵暗号のプロトコル
    • 鍵生成プロトコルとメッセージ伝達方法について
    • 計算演習: RSA公開鍵暗号の鍵生成プロトコルと暗号化、復号プロセス
    • RSA公開鍵暗号の安全性 — (大きい数の) 素因数分解の困難性
  • 参考資料: 楫元著『工科系のための初等整数論入門 --- 公開鍵暗号をめざして』(培風館) 第6章
    たった15ページ (!) で RSA 公開鍵暗号のエッセンスを見事に纏めてあります。講義ではやはり駆け足の説明になってしまいましたので、RSA公開鍵暗号の詳細に興味がある方は是非ご一読を。暗号の話題も散りばめられていて楽しいです。
  • 小テスト10      問題     解答
    33名受験   平均点: 5.24点/9点   最高点: 9点 (2名)

2018年12月17日 (月)

• 合同式 (続)
  • フェルマーの小定理の証明
    • 「mod p での九九の表」とフェルマーの小定理
    • 「九九の表」の各行・各列に1,2,…,p-1が一度ずつ現われることの証明
      — 「a倍写像」の単射性
    ※ オイラーの定理もほぼ同様に証明出来るので、チャレンジしてみてください (参考資料7も参照)
• 初等整数論の応用1: RSA公開鍵暗号
  • 公開鍵暗号とは
    • 暗号を用いたメッセージ伝達問題の設定
    • 共通鍵暗号 (古典的暗号) とその問題点 — 特に鍵の共有問題 (リスク) について
    • 公開鍵暗号 — 鍵の共有問題に対するディフィー、ヘルマン等の「解答」
      ディフィー・ヘルマンの鍵共有問題の「実装化」としての RSA 公開鍵暗号
  ※ RSA公開鍵暗号の数学的原理については自習扱います。
• 映像資料: 非対称暗号化 — ごく簡単な解説 Asymmetric encryption — Simply explained (英語)
  インターネットが最早生活の必需品となりつつある今日に於いて、公開鍵暗号は無くてはならないものとなっています。情報化社会に於いて何故公開鍵暗号が必要とされるのか、そもそも「公開鍵暗号方式」とは何者なのか? — 今宵は情報セキュリティの分野では常識となっている「公開鍵暗号」について学んでみましょう。比較的ゆっくりで平易な英語なので、リスニングの練習にもぴったり☆
• 参考資料9 (RSA 公開鍵暗号)   命題の証明、演習問題の解答付き
  ※ 次回 (年明け最初の授業) も持参してください!!
• 小テスト9      問題     解答
  39名受験 (減りましたねぇ)   平均点: 5.51点/8点   最高点: 8点 (6名)

2018年12月10日 (月)

• 合同式 (続)
  • オイラーのトーシェント関数とオイラーの定理
    • オイラーのトーシェント関数: 定義と例題
    • オイラーの定理の主張: 法が合成数の場合へのフェルマーの小定理の拡張
  • オイラーのトーシェント関数の計算法
    • トーシェント関数の乗法性と φ(p^e) の値
    • 例題一般の自然数に対するトーシェント関数の値の計算法 — トーシェント関数の乗法性を用いて
    ※ トーシェント関数の乗法性は、中国式剰余定理の証明と同様の手順 (というか殆ど同じ) で証明出来ますが、少し混み入った議論となるため講義では割愛します。参考資料8のウェブページ加筆版をご覧ください。
• 映像資料: 「ケーニヒスベルクの橋の問題」は数学をどのように変えたのか？ — ダン・ファン・デア・フィーレン How the Königsberg bridge problem changed mathematics — Dan Ban der Vieren (英語)
  7本もの橋が架かったケーニヒスベルクの街。2度同じ橋を渡ることなくすべての橋を渡る方法があるでしょうか—? 「ひと筆描き」の問題の元祖とも呼べる「ケーニヒスベルクの橋渡し」の問題。この難問に対して「そのような方法は無い」ことを示したのがレオンハルト・オイラーです。普通の人なら「このルートでもない、あのルートでもない」と試行錯誤しそうなところを、オイラーは「島と橋のつながり具合」に目を付けて、華麗に問題を解決してしまったのです。オイラーのこの卓越した視点は、現代のトポロジーやグラフ理論の先駆けとも言えるでしょう。
• 参考資料8 (オイラーのトーシェント関数の性質)   問題の解答も付けています
• 小テスト8      問題     解答
  48名受験   平均点: 4.75点/7+1点   最高点: 7点 (7名)

2018年12月3日 (月)

• 合同式 (続)
  • 連立1次合同方程式と中国式剰余定理 (続)
    • 中国式剰余定理の証明のアイデア:
      “mod n₁…n_r での数の集合” から “mod n_j での数の集合” の組 (直積) への “自然な写像” が全単射であることを示す
  • フェルマーの小定理
    • フェルマーの小定理の主張
    • フェルマーの小定理の例: mod 5 の場合
    • 応用: 「大きい羃乗」を素数 p で割ったときの余りの計算、法 p での逆元の求め方
• 学期末考査・成績評価について   (学期末試験のアナウンス)
  ※ 実施日時 に注意すること!!
• 映像資料: ピエール・ド・フェルマー: 偉大なる思想家の経歴 Pierre de Fermat: Biography of a Great Thinker (英語)
  
• 参考資料7 (フェルマーの小定理とオイラーの定理)   問題の解答も付けています
• 小テスト7      問題     解答
  48名受験   平均点:4.77点/8点   最高点: 8点 (3名)

2018年11月26日 (月)

出張による 休講

2018年11月19日 (月)

• 合同式 (続)
  • 連立1次合同方程式と中国式剰余定理
    • 『孫子算経』の “数当て問題” — 「余りの情報からもとの数を求める」
    • 中国式剰余定理 — 連立1次合同方程式の解の存在と一意性
    • 連立1次合同方程式の解法 ケース 1, ケース 2
    • 例題: 『孫子算経』の問題の解法
• 映像資料: 孫子算経に対する中国剰余定理を用いた解法 孫子算經對中國剩餘定理的解法 (中国語)
  『孫子算経』の “数当て問題” についての中国語の解説画像。ただ、数式や漢数字を眺めていると何となく言いたいことは伝わりませんか? (伝わらないですか、そうですか) 言語は違えど数式を介して言いたいことが通じる—それも数学の世界の魅力かもしれません。
  ちなみにスライドのタイトルにある “韓信點兵” とは、中国の武将 韓信(ハンシン) が、彼の率いる隊列をを3列縦隊、5列縦隊、7列縦隊に整列させたときの端数の兵隊の人数から、隊列全体の人数をたちどころに計算したという故事に由来する名称です。
• 参考資料6 (連立1次合同方程式と中国式剰余定理)   演習問題解答 (+講義の補足) 付き
• 小テスト6      問題     解答
  56名受験   平均点: 5.32点/8点   最高点: 8点 (3名)

2018年11月12日 (月)

• 合同式 (続)
  • 1次合同方程式とその解法 (続)
    • ケース1: x の係数 a と法 n が互いに素なとき
      x の係数の逆元を両辺に掛ける
    • ケース2: x の係数 a と法 n が互いに素でないとき
      合同式を a と n の最大公約数で “約分する”
  • 1次不定方程式の合同式を用いた解法
    適当な法で modulo して x か y の1次合同方程式に帰着する
• 映像資料: 歴史の中の数学者: ガウス Mathematicians of History: Gauss (英語)
  「歴史上最も偉大な数学者を挙げよ」と問われたら、真っ先に名前が挙がるであろう天才数学者ガウス。その業績は驚くべきもので、この映像資料で挙げられているだけでも
  • 1+2+...+100の計算公式の発見
  • 正十七角形の作図法の発見
  • 合同式と平方剰余の相互法則
  • 電磁気学に於けるガウスの法則の発見
  • 確率統計に於けるガウス分布
  • 線形代数学に於けるガウスの消去法
  • 天文学への貢献
  など、数学の範疇に留まらず様々な分野で名を残していることが窺えるでしょう。興味のある方は是非ガウスの生涯や業績を調べてみよう!!
• 小テスト5     問題     解答
  55名受験   平均点: 5.31点/7+2点   最高点: 9点 (4名)

2018年11月7日 (水)

• 合同式 (続)
  • 合同式を使ってみようⅡ: 大きな羃乗数を割った余り
    • 方針: “1と合同になるような羃乗”を探す
    • 問題演習: 大きな羃乗数を割った余り
    • 羃乗の底と法が 互いに素 なら、必ず1と合同になるような羃乗が存在する — オイラーの定理の帰結
  • 1次合同方程式とその解法
    • 1次合同方程式とは? — (実数の世界での) 1次方程式と比較して
    • 1次方程式 ax=d の解法 (復習) — 両辺に x の係数の逆数を掛ける
    • 法 n での逆元の定義と具体例
    • 逆元の存在定理: a が法 n と 互いに素 なら a^–1 が存在する
• 映像資料
  • 干支 - 十二支の話（日本語版）アニメ日本の昔ばなし／日本語学習 (日本語)
    昔々、神様が「元旦の朝、一番目から十二番目までにここにやって来たものを、1年交代で動物の大将にする」という触書を出したものだからさぁ大変。牛やら虎やら兎やら、はては天空の龍まで巻き込んで、一世一代の大競走が繰り広げられました。ところが猫は、鼠から「元旦の次の日の朝に到着したもの」という誤った触書の内容を教えられて……
    十二支にまつわる日本の逸話。「なぜ猫は十二支に入っていないのか」「『犬猿の仲』の由来」「猫が鼠を追いかけまわすようになった理由」など、ちょっと情報過多なんじゃないのという位色々なことの “由来” を説明しているお話。まぁこの位は、日本人として把握しておいても良いんじゃないでしょうかね?
• 参考資料5 (1次合同方程式とその応用)
  ※ 1次合同方程式の解の存在と一意性、逆元の存在と一意性についての加筆ページあり   11月13日 演習問題解答掲載
• 小テスト4      問題     解答
  53名受験   平均点: 5.92点/7+2点   最高点: 9点 (3名)

※ 次回の小テストの計算問題は「大きな羃乗数を割った余り」 (参考資料4 演習問題4-2.) から出題します (語句等確認問題はその限りではありません!)。

2018年10月29日 (月)

• 合同式
  • 合同式とは?
    • 定義とその意味 — 「整数を余りで分類する」
    • 合同式の基本性質: 合同式の加減乗について
      ※ 合同式同士の 割り算は一般には出来ない ことに注意!! (次回辺り補足します)
  • 合同式を使ってみようⅠ: 暦の計算
    • 曜日の計算の仕方の復習: “1週間=7日間” で割った余りに注目する
    • 合同式の威力: “〇年後 / 〇年前は何曜日?”
      ※ 答え合わせをし忘れましたが、2008年10月29日は 水曜日 でした。
      “ 365×8+366×2 日前”=“−(365×8+366×2 日後” と考えると分かり易いでしょう。
    • 閑話休題: 干支と暦について
• 映像資料
  • 后羿と10の太陽: 中国の伝承 Hòu Yì and The Ten Suns: A Chinese Folktale (英語)
    遙か昔の帝堯の治世、天帝 (帝夋) の息子である10個の太陽が一度に地上に現れ、中国の値は灼熱地獄と化しておりました。そこで天帝は、この問題を解決すべく、弓の名手たる后羿(こうげい) (中国読: ホウイー) を地上に遣わしました。しかしあろうことか后羿は、天帝の息子たる太陽を1つを残してすべて射落としてしまったのです。激怒した天帝は后羿とその妻嫦娥(じょうが) (中国読: チャンガ) を神籍から抜いてしまいます。困り果てた后羿は、崑崙(こんろん)山 (中国読: クンルンシャン) に棲まう西王母のもとを訪ね、宮殿と引き換えに不老不死の妙薬を貰うことに成功します。家に戻った后羿は妙薬を隠しますが、嫦娥はそれを見つけてしまいました。或る日庭を散歩していた嫦娥は、好奇心を抑えられず不老不死の妙薬を飲んでしまいます。すると嫦娥の身体はあれよあれよと浮かび上がり、后羿が慌てて引き止めようとするも間に合わず、満月へと消えていってしまったのでした。
    『射日神話』『大羿射日』として伝わる中国の有名な故事。現在も暦や占術で用いられる十干 (甲乙丙丁戊己庚辛壬癸) が10の要素からなるのは、この伝承に由来するのではないかとも言われています (諸説あります)。
• 参考資料4 (合同式の定義 / 合同式を使ってみよう!! )
  ※ 合同式の性質の証明を加筆, 演習問題4-3.まで解答付   次回もご持参下さい!!
• 小テスト3      問題     解答
  63名受験   平均点: 5.24点/7+1点   最高点: 8点 (6名)

※ 次回は 11月7日 (水) (月曜授業実施日) です。小テストは「暦の計算」 (参考資料4 演習問題4-2.) から出題します。

2018年10月22日 (月)

• 1次不定方程式 Ⅰ (続)
  • 補足: 1次不定方程式の整数解の図形的意味: 直線上の格子点の座標
  • ベズーの補題: 1次不定方程式が整数解を持つための必要十分条件
  • 1次不定方程式が整数解を持つときは、ユークリッドの互除法の “逆再生” によって特殊解を求められる
  • 例題: ユークリッドの互除法を用いた1次不定方程式の特殊解の構成
• 映像資料
  • 幾何学の父 ユークリッド: ユークリッド幾何学への招待 Euclid as the father of geometry: Introduction to Euclidean geometry (英語)
    ユークリッド『原論』でお馴染みの古代ギリシアの数学者ユークリッド (エウクレイデース)。現在の「定義」「公理」「命題」「証明」型の数学様式の端緒は『原論』にまで遡ると言っても過言ではない。小難しい『原論』の著者にして「幾何学に王道なし」の名言を残す、いかにも厳格そうなイメージのユークリッド。そんなユークリッドが創設した “ユークリッド幾何学” の世界を、しばし覗いてみよう。
    ※ 英語字幕も利用出来るので、「我こそは」と思う人はリスニングにもチャレンジしてみよう!
• 参考資料3 (ベズーの補題 / 素因数分解の存在と一意性定理の証明)
  ※ 演習問題解答、素因数分解の存在と一意性定理の証明の概略などを加筆
• 小テスト2      問題     解答
  59名受験   平均点: 5.95点/8+1点   最高点: 9点 (5名)

※ 今年度も 素因数分解の一意性 は、時間の都合上扱いませんでした。興味のある人は、参考資料の補足説明や、テキスト『数の不思議』の p.36, p.37 などを参照して下さい。

2018年10月15日 (月)

• 履修についてのガイダンス 配布資料
• 参考資料0 (ピタゴラス数について),   参考資料1 (約数と倍数)
  ※ 講義では 未配布   反転授業教材 としますので、各自で取り組んでおくこと!
• 1次不定方程式
  • 不定方程式 (ディオファントス方程式) の定義と例
    ピタゴラス数の決定、フェルマーの最終定理など: ディオファントス問題は見かけ以上に難しい!!
  • 1次不定方程式の整数解が存在する必要条件: 係数の最大公約数が右辺の数を割り切ること
  • 1次不定方程式の解の構造 — ひとつ整数解が存在すれば、無限個の整数解が存在する
  • 例題: 特殊解が与えられたときの、全ての整数解の求め方
• 参考資料2 (演習問題の解答付)
• 映像資料
  • 【算数クイズ】古代ギリシャの数学者「ディオファントスの一生」（IQテスト・脳トレ）brain plus*
    ディオファントスの墓石に記されているという数学の問題。まぁ単なる1次方程式ではあるが、果たして解けるであろうか? 頭の体操だと思って挑戦してみよう!! ……それにしても、墓碑銘にまで数学の問題を残すとは、根っからの数学者だったんですねぇ。。
• 小テスト1      問題     解答
  67名受験   平均点: 6.67点/7点   最高点: 7点 (57名)
※ 次回の小テストは、講義の最後に扱った例題および演習問題2-1.の類題を出題しますので、よく復習のこと!

2018年10月8日 (月) 体育の日

休校日

2018年10月1日 (月)

出張により 休講

2018年9月24日 (月) 秋分の日振替休日

旭祭による 休校日

2018年9月17日 (月) 敬老の日

休校日

2018年9月10日 (月)

出張により 休講

講義日程

9月   10日 (出張のため休講), 17日 (敬老の日), 25日 (秋分の日振替休日)
10月   1日 (出張のため休講), 8日 (体育の日), 15日, 22日, 29日
11月   5日 (休校日 / 旭祭), 7日 (水曜日 / 月曜授業実施日), 12日, 19日, 26日
12月   3日, 10日, 17日, 24日 (天皇誕生日), 25日 (火曜日 / 月曜授業実施日), 31日 (冬季休講日)
1月   7日, 14日 (成人の日 / 休校日), (21日)