微分方程式Ⅰ   Differential Equation Ⅰ

工学部・未来科学部 2年
FI 科 (月曜3限)
EJ 科 (木曜1限)
ES 科 (金曜2限)

担当: 原 隆

場所: FI科 2号館 21004 教室,   EJ科 2号館 2703 教室,   ES科 2号館 2805 教室

講義内容 (シラバスより):
　微分方程式は「関数の微小変化の様子」から「その関数が元々どの様な関数であったか」を導き出すための数学的手法である。その汎用性は非常に広く、微分方程式の理論は単なる数学の一分野の枠を越え、物理学、工学など様々な方面で現象を記述するための数学的手段として広く用いられている。
　この講義では、常微分方程式の初等的な解法について講義する。　　

教科書: 特定の教科書は指定しない。ただし、以下のテキストのうち一冊は入手しておくことを強く薦める。

• 泉英明著『コア・テキスト　微分方程式』(サイエンス社)
• 水田義弘著『大学で学ぶやさしい微分方程式』(サイエンス社)
• デヴィッド・バージェス, モラグ・ボリー共著『微分方程式で数学モデルを作ろう』(日本評論社)
• 鶴見和之他共著『常微分方程式』（東京電機大学出版局)
• 長崎憲一, 中村正彰, 横山利章共著『明解 微分方程式 [改訂版]』(培風館)
• 石村園子著 『だれにでもわかる微分方程式』 (講談社)
• Ｅ．クライツィグ著『常微分方程式』（培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 2018年3月12日   レジュメ・参考資料・映像資料へのリンクを外しました (小テストのリンクは残しています)。
• 8月25日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (2EJのコメントも26日中にはアップします)。
• 8月10日   学期末試験の結果速報 (確定版) および学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新しました。
• 7月14日   7月10日 (月), 7月13日 (木), 7月14日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 7月7日   7月3日 (月), 7月6日 (木), 7月7日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 6月30日   6月26日 (月), 6月29日 (木), 6月30日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 6月27日   第14回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 6月23日   6月19日 (月), 6月22日 (木), 6月23日 (金) 分の講義内容を更新しました。第12回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました (遅れてすみません m(_ _)m)。
• 6月16日   6月12日 (月), 6月15日 (木), 6月16日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 6月15日   第11回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました (遅れてすみません m(_ _)m)。
• 6月9日   6月5日 (月), 6月8日 (木), 6月9日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 6月6日   第10回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。
• 6月3日   5月29日 (月), 6月2日 (木), 6月3日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 5月29日   第9回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。次回から4回かけて (定数係数) 2階線形微分方程式 を扱います。
• 5月26日   5月22日 (月), 5月25日 (木), 5月26日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 5月24日   第8回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました (相変わらず遅くなってすみません)。また、小テスト4, 小テスト5の採点講評を掲載しました (各解答の後ろに付けてあります)。
• 5月19日   5月15日 (月), 5月18日 (木), 5月19日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 5月18日   第7回の講義のレジュメ、予習資料を公開しました。遅くなってすみません。
• 5月12日   5月8日 (月), 5月11日 (木), 5月12日 (金) 分の講義内容を更新しました。
• 5月1日   4月27日 (木), 4月28日 (金), 5月1日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 4月6日 (木), 4月7日 (金), 4月10日 (月) です。

講義内容

講義内容の更新は概ね FI科, EJ科, ES科のすべての講義が終了した後となります (レジュメは先んじて掲載します)。

※ ブレイク・タイム: 偏微分方程式を解いていたらテロリストと間違えられて通報された経済学者の話 (ニュース動画: 英語)
皆様も電車等公共交通機関で微分方程式を解く際にはご注意を。

2017年7月17日 (月) 海の日, 7月20日 (木), 7月21日 (金)

• 学期末考査   問題 2FI   2EJ   2ES     略解 2FI   2EJ   2ES
  
  速報 (確定)

  2FI科 102名受験 期末試験平均点 57.84点 期末試験最高得点 84点   S 5名, A 31名, B 27名, C 21名, D 18名
  2EJ科 114名受験 (うち1名追試験) 期末試験平均点 45.48点 期末試験最高得点 84点   S 3名, A 15名, B 33名, C 22名, D 41名
  2ES科 28名受験 期末試験平均点 59.39点 期末試験最高得点 97点   S 1名, A 6名, B 10名, C 7名, D 4名
  ※ 平均点はあくまでも学期末試験の素点の平均点です。実際には期末考査の得点調整+小テストの成績を加味したものが最終評点です (詳細は採点講評にて)。

  学期末考査答案返却および採点講評について
  • 答案返却希望者には 8月21日 (月), 28日 (月), 9月4日 (月) の 13時 — 16時 に5号館51102A研究室にて答案を返却致します (予定: 返却日変更の可能性もあり)。
  • 上記日程以外での答案の受け取りを希望される方は、事前にメールなどでアポイントを取って下さい (夏期休校中は常に研究室に在室しているとは限りません)。
  • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
  • 成績は、9月上旬以降にUNIPA上で確認することも可能です (但し UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   2FI     2EJ     2ES
  ※ なるべく 該当クラスのものだけを 閲覧してね♪ (コピペがばれる〜)

2017年7月10日 (月), 7月13日 (木), 7月14日 (金)

• 第14回レジュメ
• 定数係数連立微分方程式 (続)
  • 連立微分方程式の解の安定性   講義で紹介した 連立微分方程式の解の安定性
• 参考資料・演習問題14
• 参考資料・演習問題14+ (Strogatz の“恋愛微分方程式”論について)
• 映像資料
  • 【舘鼻則孝の方程式】8.ロトカ・ヴォルテラ方程式 (日本語)
    フジテレビで2012年頃に放送された番組『オデッサの階段』の一部。生態系の調和を表すロトカ・ヴォルテラ方程式は、クリエイターの心をも揺さぶるのであろうか?
  • 恋愛の微分方程式 The Differential Equation for Love (英語)
    バレンタインデーで開催された恋愛微分方程式の紹介講演 (?) の様子の記録映像。Strogatz の理論は、連立微分方程式の理論を楽しむのにはうってつけなのです。
• 小テスト13   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI   2EJ   2ES

2017年7月3日 (月), 7月6日 (木), 7月7日 (金)

• 第13回 レジュメ
• 定数係数線形連立微分方程式
  • 定数係数連立微分方程式
  • 係数行列の固有値・固有ベクトルと連立微分方程式の解
  • 例題: 定数係数連立微分方程式の解法
  • 問題演習 演習問題詳解
• 第2次世界大戦: ドイツのポーランド侵攻   World War Ⅱ: German invasion of Poland (英語)
  ブリタニカの記録映像。何故戦争は起こってしまうのでしょうか—?
• 参考資料・演習問題13 (演習問題解答付)
• 小テスト12   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI   2EJ   2ES
  

2017年6月26日 (月), 6月29日 (木), 6月30日 (金)

• 第12回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅲ: ヘヴィサイドの演算子法
    • 微分演算子 D を用いた微分方程式の書き換え
    • ヘヴィサイドの演算子法: “逆演算子を文字式のように計算して特殊解を求める”
    • 演算子法による特殊解の求め方: 例題を通して  講義で扱った演習問題の詳解
• 映像資料: 地学&地学基礎2章4話「地震波の基礎」 (日本語)
  Web玉塾 というインターネット上で無料公開されている教材。かなりおちゃらけてはいるけれど、基礎知識はしっかり抑えている模様。大地震が多発する近年の情勢を踏まえても、地震についてこの程度の基礎知識は持ち合わせておきたいところ。
• 参考資料・演習問題12 (演習問題解答付)
• 小テスト11   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI   2EJ  2ES

2017年6月19日 (月), 6月22日 (木), 6月23日 (金)

• 第11回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅱ: ラグランジェの定数変化法
    • 定数変化法とは: 同伴方程式の解のパラメータ C₁, C₂ を x の関数におき替える
    • 定数変化法とロンスキー行列
    • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解の公式
    • 例題: 定数変化法による微分方程式の解法
• 映像資料
  • バートンの振り子 Barton's Pendulum (英語)
    糸の長さの異なる振り子を用意して、別の振り子を用いて強制振動させたときの様子を観察する、所謂(いわゆる)「バートンの振り子の実験」についての動画。工学系の学生ならば、どこかで「共振現象」については耳にしたことがあるかと思うが、このように動画を通じて見てみると、共振現象が如何に際立った現象であることが再確認させられよう。
  • タコマ橋が堕ちた!! Tacoma Bridge Collapse (英語)
    建築史でも有名な建造物崩壊事例であるタコマ海峡大橋の崩落事故の記録映像。想像をはるかに超える異常な橋の撓(たわ)み具合には圧倒されるし、なかなか衝撃的であろう。この映像を公開している British Pathé は、他にも歴史的に貴重な映像を数多く You Tube 等で公開しているので、興味がある人は是非覗いてみよう!
• 参考資料・演習問題11 (演習問題解答付)
• 小テスト10   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI  2EJ  2ES
  2FI: 84名受験 平均5.81点/8点 最高点8点 (39名)   2EJ: 74名受験 平均5.28点/8点 最高点8点 (21名)   2ES: 15名受験 平均6.13点/8点 最高点8点 (4名)

2017年6月12日 (月), 6月15日 (木), 6月16日 (金)

• 第10回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅰ: 未定係数法
    • 未定係数法の考え方: 「非斉次項 r(x) から特殊解の形を大雑把に推測して、後で細部を微調整する」
    • 未定係数法: 例題
    • 問題演習と技術的注意点 (三角関数の場合、推定した解の形では「巧くいかない」場合)   演習問題詳解
• 映像資料
  • 共振回路 Resonance Circuits: LC Inductor-Capacitor Resonating Circuits (英語)
    電荷を蓄えたコンデンサーとコイルを直列に繋ぐと、当然コンデンサーに蓄えられていた電荷が流れ出す。そうしてコイルに流れた電流は、電磁誘導の法則によって流れている電流を妨げる方向に力が働き、最終的に逆向きに電流が流れるようになる。こうして電流 (および電圧) が一定間隔で増減 (振動) を繰り返していくことが観察される。もしこの回路を外部起電力に繋いだら、電流の (固有) 振動の周波数とと外部起電力の周波数が一致するときに最も良く電流が流れるようになる。これが共振現象と呼ばれるもの。
    回路図を見ながら計算してみてもいまいち良く分からない現象だが、このようにビジュアル化してみると非常にイメージしやすいだろう。
  • ラジオの原理1 (受信と選局) (日本語)
    RLC直列回路の共振現象を利用した、ラジオ波の選局の原理を「なるべく分かりやすく」解説した教材 (とは言え、おそらく回路理論や電磁気学を一切知らない人向けの講演なので、かなり無理のある説明になってしまっているが……)。「アンテナとバリコンのキャッチボール」とはインダクタ (コイル) とキャパシタ (コンデンサー) から定まる固有振動数のこと、と思って見ていただきたい。NPO法人による映像教材です。
• 本講義の成績評価について (期末考査実施日時、出題範囲等)
• 参考資料・演習問題10 (演習問題解答付)
• 小テスト9   問題 2FI   2EJ   2ES     解答および講評 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 90名受験 平均4.97点/8点 最高点8点 (13名)   2EJ: 72名受験 平均4.36点/8点 最高点8点 (1名)   2ES: 19名受験 平均4.68点/8点 最高点8点 (3名)

2017年6月5日 (月), 6月8日 (木), 6月9日 (金)

• 第9回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式
  • 定数係数斉次2階線形微分方程式の解法
    • 解の見つけ方の方針 — 「指数関数の形」で解を探す
    • 特性方程式と解の基本系: 3つの場合
      • 特性方程式が相異なる2実数解を持つ場合 (一番簡単)
      • 特性方程式が虚数解を持つ場合: オイラーの公式を用いて三角関数解にする
      • 特性方程式が重解を持つ場合: もうひとつの解を「無理矢理作る」
• 映像資料
  • 物理学: 減衰単振動 Physics: Damped Simple Harmonic Motion (英語)
    高校の『物理』では、バネを伸ばして手を離すと単振動と呼ばれる運動をすると学んだ。しかし、単振動とは「永久に一定の振幅で規則正しく振動を続ける」運動であり、そんなことは実際には起こり得ないだろう。そう、実際には速度に比例する減衰因子 damping factor によって運動が鈍化されるので、いつかバネは止まってしまうのである。さぁ、線形微分方程式を解くことで、高校の物理では扱えなかった減衰振動の世界に飛び込もう!
    ※ 電子教材のお試し版なので、途中でぶった切られます (^^; 聞き取り易い英語だと思いますので、是非リスニングの練習に
  • 「NY株反発! 不透明感抱え週末東京は?」 (日本語)
    2015年7月10日の日経ニュース。株価、為替、売り上げの変動……。そんな、我々の生活と密接な関係のある、一見すると数学とはおよそ関係のなさそうなところにも、2階線形微分方程式は隠れている。まさに「振動あるところに2階線形微分方程式あり」と言えよう。それにしても、消費と投機という2つの経済活動の単純な原理から景気変動のメカニズムを導き出したサミュエルソンの慧眼には眼を瞠るばかり。
• 参考資料・演習問題9 (演習問題解答付)
• 小テスト8   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI  2EJ   2ES
  2FI: 86名受験 平均4.51点/8点 最高点8点 (3名)   2EJ: 76名受験 平均3.55点/7点 最高点7点(5名)   2ES: 24名受験 平均5.54点/7点 最高点7点(14名)

2017年5月29日 (月), 6月1日 (木), 6月2日 (金)

• 第8回 レジュメ
• 線形微分方程式の解の構造
  • n階線形微分方程式の定義と用語の復習
  • 非斉次線形微分方程式の解の構造: 「一般解=特殊解+同伴方程式の一般解」
  • 斉次線形微分方程式の解の構造
    • 重ね合せの原理 — 「“解空間” は “関数空間” の線形部分空間」
    • 関数の線形独立性 / 線形従属性の定義
    • 解の基本系の存在定理 —「“解空間”の次元はn次元」
      → n 個の線形独立な解 (“解空間” の基底) を見付ければ良い(!)
  • ロンスキー行列式と関数の線形独立性: 例題を通して
• 映像資料: 織り糸アールデコ作品『心の宇宙』制作映像
  織り糸を少しずつずらしながら張り詰めていくだけで、驚く程美しく、神秘的な幾何学模様が描かれる— そんな意外性が、最近人気のストリング・アートの魅力なのかもしれません。ぴんと張った糸の一本々々は何の変哲もないただの直線なのに、それがより集まると何故これ程多彩な表情を見せるのでしょうか? そこには包絡線の数学が見え隠れしています。そして包絡線とは切っても切れない関係にあるのが、1階微分方程式の中でも異色なクレーローの微分方程式。チャレンジ問題8 を解いたとき、貴方はどんな神秘的な模様に出会えるでしょうか?
• 参考資料・演習問題8 (演習問題の解答付)
• 小テスト7   問題 2FI   2EJ   2ES     解答 2FI  2EJ  2ES
  ※ EJクラスの小テストの問題に致命的な誤植がありました。大変申し分けありません。採点の際には不利のないよう配慮致します (掲載している問題等は誤植を修正したものです)。 2FI: 81名受験 平均2.90点/7点 最高点7点 (6名)   2EJ: 80名受験 平均3.01点/7点 最高点7点 (5名)   2ES: 22名受験 平均3.68点/7点 最高点7点 (3名)

2017年5月22日 (月), 5月25日 (木), 5月26日 (金)

• 第7回 レジュメ
• 常微分方程式の解の存在と一意性定理
  • 導入: 初期値問題の存在と一意性とは?
    “勾配場に “葉っぱ”を浮かべると、きちんと流れるか? また、その軌跡 (流線) は常に1つに定まるか?
  • 解の一意性について — 一意性が破れるとき
    • 一意性が破れる例: 微分方程式 dy/dx=√y
    • 参考資料: 微分方程式 dy/dx=√y の 勾配場と解曲線
      放物線群が y=0 という解曲線と交わっているのが観察出来る
    • リプシッツの条件が成り立てば一意性が成り立つ (解曲線に枝分かれが生じない)
    • dy/dx=√y が y=0 上でリプシッツの条件を満たさないこと
  • 解の存在について: ピカールの逐次近似法
    • 微分方程式の積分方程式への書き換え
    • ピカールの逐次近似法とそのデモンストレーション
    • 参考資料: ロジスティック方程式 dy/dx=y(1-y/11), y(0)=1 の 解の逐次近似の計算結果 (目がちかちかしますので体調が万全なときにご覧下さい)
• 参考書籍: 笠原晧司著『微分方程式対話』(日本評論社)
  謎の関西弁を話す学生3人と教授が、わいわいやりながら微分方程式を勉強していく対話形式の本。第3週, 第4週が解の一意性定理、解の存在定理に相当しますが、それ以外の部分も面白く読めると思います。これで2,500円は安い! と思います (あくまで個人の感想です)
• 映像資料: 懸垂線 — 我々の周りに溢れる数学
  電線、ネックレス、ウォレットチェーン……。紐状のものが描く優美な曲線、それがカテナリー (懸垂線)。……えっ? 放物線じゃないのかって? 確かに一見放物線と見まごうこの曲線、でも実際に紐と見比べてみると微妙に違うような……。そんな不思議な懸垂線の正体を探るべく、先ずは懸垂線の満たす微分方程式を導き出してみよう!
• 参考資料7 (演習問題の解答付き)
• 小テスト6   問題 2FI   2EJ   2ES   解答 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 92名受験 平均3.34点/7点 最高点7点 (4名)   2EJ: 78名受験 平均4.55点/7点 最高点7点 (14名)     2ES: 25名受験 平均2.96点/7点 最高点5点 (6名)

2017年5月15日 (月), 5月18日 (木), 5月19日 (金)

• 第6回 レジュメ
• 完全微分方程式
  • 完全微分方程式の定義と例
  • 完全微分方程式の一般解: F(x,y)=C
  • 2変数関数の全微分との関係: pdx+qdy の“原始関数” を求めれば一般解は求まる
  • 完全微分方程式の解法: 完全性条件と線積分による “原始関数”の構成     講義で扱った例題の 詳解
• 映像資料: エントロピーって何? (英語)
  Don't cry over spilled milk — コップからこぼれたミルクは二度ともとのコップに戻ることはない。そんな「当たり前」の現象を説明する際に用いられるのがエントロピー (乱雑さ) の概念である。事象はエントロピーが増大する方向に変化することを主張するのが熱力学第二法則。この何とも「良く分からない」概念であるエントロピー、微分方程式の観点から見るとまた別の側面を覗かせるようで……
  ※ 時間の都合で ES 科の授業でのみ流しました。早口ではあるものの、割合聴き取りやすい英語だと思いますよ。
• 参考資料・演習問題6 (加筆および演習問題解答付き)
  ※ 次回の小テストは 問題6-1. の類題を出題します (問題6-2. の積分因子は範囲外)
• 小テスト5   問題 2FI   2EJ   2ES   解答 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 92名受験 平均4.18点/7点 最高点7点 (15名)     2EJ: 90名受験 平均4.36点/7点 最高点7点 (13名)     2ES: 28名受験 平均3.86点/7点 最高点7点 (3名)

2017年5月8日 (月), 5月11日 (木), 5月12日 (金)

• 第5回 レジュメ
• 1階線形微分方程式 (続)
  • 非斉次1階線形微分方程式の解法 — ラグランジェの定数変化法
  • 問題演習     詳解
  • 非斉次1階線形微分方程式の解の公式 (参考: 必ずしも覚える必要はない)
• 参考資料: 講義で扱った例題の 勾配場と解曲線
  特殊解に「同伴方程式の一般解 (“指数関数”)」が巻き付いているイメージが観察出来る。
• 映像資料:
  • BBC アガサ・クリスティ ミス・マープル『牧師館の殺人』 The Murder at the Vicarage (ジョーン・ヒックソン主演)
    4月のある日、セント・メアリー・ミード村の牧師館で殺人事件が起きた。殺されたのはプロセロウ大佐。しかし、ミス・マープルはこうなることを予感していた。大佐は、ほとんどの村人に嫌われていて、日毎にその感情が高まっていたからだ。それにしても容疑者が多すぎる。そしてミス・マープルが真相を掴む間もなく、3人の村人がそれぞれ自白を始める…
    ※ 著作権関係により動画は貼れません。興味を持った方はレンタルして観てみましょう。原作小説もお薦め。
  • ニホンウナギ稚魚の乱獲防止、政府が呼び掛け (ニュース動画: 日本語)
    2014年のニュース映像。「鰻が食べられなくなるかも?」というセンセーショナルなニュースは、記憶に新しい人も多いのではなかろうか? 最近も乱獲による水産資源の枯渇の話題が世間を騒がせているが、水産資源を守るためには「どの成長段階の魚を獲っても良いのか」のガイドラインを規定する必要があり、したがって第一に「魚がどのような過程を辿って成長するのか」を知ることが重要となってくる。……そう、そこにも微分方程式を用いたモデルが登場するのである。微分方程式は、こうして我々の食生活にまで深く関わってきているのである。
• 参考資料・演習問題5 (演習問題解答付き)
• 小テスト4   問題 2FI   2EJ   2ES     解答および講評 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 98名受験 平均5.49点/8点 最高点8点 (32名)   2EJ: 87名受験 平均5.03点/8点 最高点8点 (12名)   2ES: 26名受験 平均4.92点/8点 最高点8点 (7名)

2017年5月4日 (木), 5月5日 (金)

みどりの日 (2EJクラス), こどもの日 (2ESクラス) による 休講

2017年4月27日 (木), 4月28日 (金), 5月1日 (月)

• 第4回 レジュメ
• 1階線形微分方程式
  • 1階線形微分方程式の定義と例
  • 1階線形微分方程式にまつわる用語: 斉次、非斉次、同伴方程式
  • 斉次1階線形微分方程式の解法
    • 解法1: 変数分離法による解法 (および対数を外す際の注意事項)
    • 解法2: 積分因子 e^+∫p(x)dx を掛ける方法
  • 問題演習     詳解
  • 1階線形微分方程式の解の構造: 「特殊解+同伴方程式の一般解」
    ※ 解説時間が少なくなってしまい申し訳ありませんでした。次回の小テストは 演習問題4-2. の類題を出題します ので、良く復習しておいて下さい!
• 映像資料: ピサの地で再現されたガリレオの「落体」の実験
  アリストテレスが唱えた「物体は重いもの程速く落下する」という説を検証するために、ガリレオ=ガリレイがピサの斜塔から重さの異なる金属球を落下させる実験を実施したのは有名な話。今回の資料は、2009年のガリレオ=ガリレイの記念年にその実験を再現した様子を捉えたものである。ただ、もしすべての物体が同じように加速して落下するのであれば、雨粒が地表に到達する頃には我々の身体を突き抜ける勢いになっている筈である! 勿論実際にはそんなことにならないが (なったら大変)、その原因は空気抵抗にある。さぁ、高校の物理では扱われなかった、空気抵抗のある状態での落下運動にチャレンジしてみよう!!
  ※非常に聞き取り易い英語なのでリスニングの練習がてら聴いてみて下さい。音楽に比べてナレーション部が大分小さいので注意。
• 参考資料・演習問題4 (解答付)
• 小テスト3   問題 2FI   2EJ   2ES    解答および講評 2FI  2EJ  2ES
  2FI: 103名受験 平均3.30点/7点 最高点6点 (6名)   2EJ: 95名受験 平均4.40点/7点 最高点7点 (16名)   2ES: 28名受験 平均4.21点/7点 最高点7点 (3名)

2017年4月20日 (木), 4月21日 (金), 4月24日 (月)

• 第3回 レジュメ
• 同次形1階微分方程式
  • 同次形1階微分方程式の定義と例、見分け方 — “同じ次数の同次式の商” は同次形
  • 同次形1階微分方程式の解法: u=y/x と変数変換して変数微分形に帰着
  • 問題演習     詳解
• 参考資料: 講義で扱った例題の 勾配場と解曲線
  変数変換を挟んでいることもあって、大分複雑な解曲線が現れるようになっていますね。
• 映像資料: 勾配流 (英語)
  　山頂に球体をおいて静かに手を話すと、球体は最も急な斜面を谷底へと転がってゆく。その球体の軌跡が勾配流 (gradient flow) である。“1番急な斜面” とは、それ即ち等高線に直交するルート。というわけで、チャレンジ問題では等高線に直交するルートを探す問題である。ちなみに勾配流はベクトル解析の勾配ベクトル場 grad f とも勿論密接に関係している。勾配ベクトル場は、最も急な斜面が「どの位急か?」を表すベクトル場なのだから。
• 参考資料・演習問題3 (解答付)
• 小テスト2   問題 2FI   2EJ   2ES     解答および講評 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 104名受験 平均4.04点/7点 最高点7点 (9名)   2EJ: 110名受験 平均3.34点/7点 最高点7点 (4名)   2ES: 29名受験 平均4.24点/7点 最高点7点 (8名)

2017年4月13日 (木), 4月14日 (金), 4月17日 (月)

• 第2回 レジュメ
• 変数分離形微分方程式
  • 変数分離形微分方程式の定義と例
  • 変数分離形微分方程式の解法 — 変数分離法
  • 例題および問題演習     詳解
• 参考資料: 講義で扱った微分方程式の 勾配場と解曲線
• 映像資料: 指数増大するウサギちゃん (英語)
  　マルサスの人口論によると「人口は指数関数的に増え続けるため、食糧需給が追い付かずいずれ破綻をきたす」ことになるが、実際には様々な要因で「人口を減少させる」作用も働くため、少なくとも「人口が無限に増え続ける」なんてことはあり得ないだろう。そんな自然の摂理を分かり易く表現した (？) クレイアニメ作品である。キーワードは 0:22 辺りに登場する “logistic growth”. さぁ、チャレンジ問題2. を解いて、ロジスティックモデルの世界に飛び込もう!
• 参考資料・演習問題2 (解答付)
• 小テスト1   問題 2FI   2EJ   2ES     解答および講評 2FI   2EJ   2ES
  2FI: 96名受験 平均3.95点/8点 最高点8点 (3名)   2EJ: 114名受験 平均4.15点/8点 最高点8点 (15名)   2ES: 33名受験 平均5.18点/8点 最高点8点 (9名)

2017年4月6日 (木), 4月7日 (金), 4月10日 (月)

• 第1回 レジュメ
• 微分方程式とは何か?   — アメーバの増殖問題を例に
  • アメーバの増殖問題 — 「10,000匹を超えるのは何秒後?」
  • 微分方程式の立式、「微分方程式を解く」とは
  • 自然科学と微分方程式 — なぜ「微分方程式を解ける」ようになる必要があるのか?
  • 微分方程式の図形的意味: 勾配場
  • 厳密解の求め方: 変数分離法 (次回詳しく扱います)
• 講義に関するガイダンス ガイダンス資料
• 参考資料: 微分方程式 dx/dt=x の 勾配場と解曲線
• 映像資料: バクテリアの増殖 (英語)
  　ナレーションの最後の部分で “Just one bacterium, dividing every 20 minute, could produce nearly 5 thousand billion billion bacteria in one day” と言っているのが聴きとれたでしょうか? つまり、20分に1度分裂するバクテリアを1匹捕まえて放置しておくと、1日で約 5,000,000,000,000,000,000,000 匹に増殖する (?!) とのたまわっているわけです (勿論理論値に過ぎませんが)。
  　これから夏場になるにつれて「ペットボトル飲料の飲みかけを放置しておくのは危険!」という注意喚起が増えてくると思いますが、この事実を知ってしまうと、そんな警告もより深刻に受けとめられるのではないでしょうか。
• 参考資料・演習問題1 (解答付)

講義日程

2FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   10日, 17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日, 19日, 26日
7月   3日, 10日, 17日 (海の日 / 授業実施日), (24日)

2EJ科   (UNIPA も参照のこと)

4月   6日, 13日, 20日, 27日
5月   4日 (みどりの日), 11日, 18日, 25日
6月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
7月   6日, 13日, 20日, (27日)

2ES科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日, 14日, 21日, 28日
5月   5日 (こどもの日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日,30日
7月   7日, 14日, 21日, (28日)