メディア処理の (ための) 基礎数学 (線形代数学Ⅲ)   Linear Algebra Ⅲ for Media Processing

未来科学部2年
FI科 (月曜5限)

担当: 原 隆

場所: 2号館 2504 教室

講義内容 (シラバスより):
　「行列の標準形」の理論とは、ベクトル空間の基底を巧く取り替えて行列 (線形変換) をなるべく簡潔な形で表す理論であり、理論上も実用上も非常に重要な理論である。
本講義では内積空間及び行列の標準形の理論について解説する。最初に数ベクトル空間の基礎事項について、1年次開講の『線形代数学II』の講義では時間的制約のため扱わなかった内容（線形変換の行列表示、基底の変換行列など） を中心に学ぶ。続いて数ベクトルの内積と正規直交基底の概念を導入した上で、行列の標準形の理論 （特に対称行列の直交行列による対角化） について解説する。応用として２次形式の理論や２次曲線・2次曲面の分類、ジョルダン標準形などを取り上げる予定である。

教科書: 特に指定しない (配布する資料に基づいて講義を進める)
なお、参考書として以下のテキストを挙げておく (本講義の内容についてというよりも、線形代数学全般に対する参考書である)。

• 平岡和幸, 堀玄共著 『プログラミングのための線形代数』 (オーム社)
• 三宅敏恒著 『線形代数学 —初歩からジョルダン標準形へ』(培風館)
• 中村郁著 『線形代数学』 (数学書房)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 2018年3月12日   参考資料へのリンクを外しました (小テストのリンクは残しています)。
• 8月23日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載しました。
• 8月10日   学期末試験の結果速報 (確定版) および学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新しました。
• 7月17日   学力考査の速報を掲載しました。
• 7月12日   7月10日 (月) 分の講義内容を更新しました。期末試験頑張って下さい!!
• 7月4日   7月3日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 6月26日   6月26日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 6月23日   6月19日 (月) 分の講義内容を更新しました (遅くなってすみません)。
• 6月12日   6月12日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 6月6日   6月5日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 5月29日   5月29日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 5月22日   5月22日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 5月15日   5月15日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 5月8日   5月8日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 4月10日 (月) です。

講義内容

2017年7月17日 (月)   海の日

• 学力考査
  • 学期末考査     問題   略解
    

    速報 (確定) 23名受験 期末試験平均点: 69.35点   S:5名 A:8名 B:4名 C:3名 D:3名 5名放棄

    学期末考査答案返却および採点講評について
    • 答案返却希望者には 8月21日 (月), 28日 (月), 9月4日 (月) の 13時 — 16時 に5号館51102A研究室にて答案を返却致します (予定: 返却日変更の可能性もあり)。
    • 上記日程以外での答案の受け取りを希望される方は、事前にメールなどでアポイントを取って下さい (夏期休校中は常に研究室に在室しているとは限りません)。
    • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
    • 成績は、9月上旬以降にUNIPA上で確認することも可能です (但し UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
    • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
  • 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2017年7月10日 (月)

• 2次形式 (続)
  • 2次曲線・2次曲面の分類 (続)
    • 2次形式の符号による2次曲線・2次曲面の分類
• 対角化出来ない行列の標準形について —ジョルダン標準形
  • 2次正方行列のジョルダン標準形 — 対角化不可能な行列の “標準形”
  • 例題: 2次正方行列のジョルダン標準形
• 参考資料10 (2次・3次行列のジョルダン標準形について)
• 小テスト13   問題   解答

2017年7月3日 (月)

• 2次形式 (続)
  • 2次形式の符号とシルヴェスターの慣性法則 (続)
    • シルヴェスターの慣性法則と符号の定義
    • 例題: 2次形式の符号
  • 2次曲線・2次曲面の分類
    • 2次形式の直交対角化と2次曲線の概形
• 参考資料9 (2次曲線・2次曲面の分類)
• 小テスト12   問題   解答

2017年6月26日 (月)

• 2次形式 (続)
  • 2次形式と対称行列の対応
  • 直交変数変換による2次形式の対角化: 対称行列の直交対角化の応用として
  • 2次形式の符号とシルヴェスターの慣性法則
    どんな変数変換でクロスタームを消しても、符号は一定になる!
• 小テスト11   問題   解答     18名受験 平均2.89点/8点   最高点: 8点 (1名)

2017年6月19日 (月)

• 対称行列の対角化 (続)
  • 対称行列の対角化 (続)
    • 対称行列の内積に関する自己随伴性について
    • 対称行列の相異なる固有値に関する固有ベクトルが (自動的に) 直交すること
    • 対称行列の直交対角化可能性定理の証明の概略
• 2次形式
  • 2次形式の定義
  • 2次形式の理論でやりたいこと: 変数変換をしてクロスタームを消去する
  • 2次形式と対称行列の関係
• 参考資料8 (2次形式)
• 小テスト10   問題   解答   18名受験 平均4.83点/8点   最高点: 8点 (1名)

2017年6月12日 (月)

• 対称行列の対角化
  • 対称行列の対角化
    • 対称行列の定義
    • 対称行列が直交行列を用いて対角化出来ること
    • 練習問題: 対称行列の対角化
      固有値・固有ベクトルを求めて、各固有値毎に固有ベクトルをグラム・シュミットの正規直交化法を適用する
• 参考資料7 (対称行列の対角化)
• 小テスト9   問題   解答     集計中 17名受験 平均4.76点/8点   最高点: 8点 (2名)

2017年6月5日 (月)

• 対称行列の対角化
  • 固有値・固有ベクトルと行列の対角化
    • 固有値・固有ベクトルと行列の対角化: 問題演習
    • 固有値と固有ベクトルの求め方について (復習)
    • 対角化可能性: 特性多項式が重根を持つときは、対角化できない可能性がある
      固有値の重複度=固有ベクトルのパラメータの個数 (固有空間の次元) のときに対角化可能
• 小テスト8   問題   解答     19名受験 平均4.58点/7点 最高点7点 (8名)

2017年5月29日 (月)

• 直交変換と直交行列 (続)
  • 直交変換の正規直交基底に関する行列表示
  • 直交行列の定義と例
  • 直交変換の行列表示の証明の概略
  • 直交行列は「正規直交基底を並べたもの」
• 参考資料6 (行列の対角化と対角化可能性)
• 小テスト7   問題   解答    20名受験 平均4.45点/7点   最高点: 7点 (6名)

2017年5月22日 (月)

• 数ベクトルの内積 (続)
  • グラム・シュミットの正規直交化法 (復習)
  • 問題演習: グラム・シュミットの正規直交化法
• 直交変換と直交行列
  • 直交変換の定義 — 内積との両立性
  • 正規直交基底の直交変換での像は正規直交基底: 直交変換は「形を変えない変換」

参考資料5 (直交変換と直交行列)

小テスト6   問題   解答     20名受験 平均5.00点/7点   最高点: 7点 (4名)

2017年5月15日 (月)

• 数ベクトルの内積 (続)
  • 単位ベクトルへの正射影
    • 正射影 π_e(x) の定義
    • 正射影の図形的意味
    • 直交化の原理: x'=x-π_e(x) は e と直交
  • グラム-シュミットの正規直交化法 — 与えられた基底から正規直交基底を構成するアルゴリズム
    • 正規直交化のアルゴリズム — 「正規化」と「直交化」を繰り返す
    • 正規直交化の例: 空間ベクトルの場合
• 参考資料4 (グラム・シュミットの正規直交化法)
  ※ 未配布   次週配布します (すみません m(_ _)m)
• 小テスト5   問題   解答     23名受験 平均4.00点/8点   最高点: 8点 (1名)
※ 次回の小テストは 正射影 および 簡単な場合 (平面ベクトル) の正規直交化法 から出題します。参考資料4 (上記リンクを参照) の演習問題4-1. (1) も参考にして下さい。

2017年5月8日 (月)

• 数ベクトルの内積 (続)
  • 正規直交基底
    • 正規直交基底の定義
    • 正規直交基底の例: 標準基底、平面の標準基底の「回転」
    • 正規直交基底の成分表示と内積
  • フーリエ級数展開と正規直交基底 (発展)
    • 区間 [-π,π] 上の関数の「内積」
    • 三角関数の直交性の「正規直交基底」としての再解釈
    • フーリエ級数展開=正規直交基底に関する成分表示
  • 参考資料3 (ベクトルの内積と正規直交基底)
  • 小テスト4   問題   解答     23名受験 平均4.00点/8点   最高点: 8点 (1名)
  ※ 次回の小テストは 線形変換の行列表示の基底の取り換えによる変換公式 (参考資料2) から出題します。参考資料3は次回配布します (すみません)

2017年5月1日 (月)

• 数ベクトル空間の線形変換と行列表示
  • 線形変換と基底の取り換え
    • 線形変換の行列表示の基底の取り換えによる変換公式
    • 発展: 行列の対角化との関係
• 数ベクトルの内積
  • 数ベクトルの (ユークリッド内積) の定義
  • 性質1: 交換法則と双線形性
  • 性質2: 同じベクトルの内積は正の実数, 数ベクトルのノルムの定義
  • コーシー-シュワルツの不等式と三角不等式、及び “図形的意味”
• 小テスト3   問題   解答     23名受験 平均3.52点/7点   最高点: 7点 (5名)
※ 次回の小テストの計算問題は 線形変換の行列表示の基底の取り換えによる変換公式 (参考資料2) から出題します。参考資料3は次回配布します (すみません)

2017年4月24日 (月)

• 数ベクトル空間の基底と成分表示 (続)
  • 異なる基底に関するベクトルの成分表示の間の関係 (証明)
• 数ベクトル空間の線形変換と行列表示
  • 数ベクトル空間 Rⁿ の線形変換の定義
  • 線形性の重要性: 基底を写した先の成分表示が計算出来れば、任意のベクトルを写した先も計算可能
  • 基底に関する線形変換の行列表示 (または表現行列)
  • 線形変換の行列表示の意味 — 線形変換を「行列を掛ける」操作として捉える
  • 計算例
• 参考資料2 (線形変換と基底の取り替え) 次回 (5/1) も持参して下さい!
• 小テスト2   問題   解答    26名受験 平均3.96点/8点   最高点: 8点 (4名)

2017年4月17日 (月)

• 数ベクトル空間の基底と成分表示 (続)
  • 数ベクトル空間の基底と成分表示 (続)
    • 「任意の数ベクトルが基底に関して1通りに《番地割り》表示出来ること」の証明
  • 基底の変換行列
    • 基底の変換行列の定義
    • 基底の変換行列の計算方法と例, 計算演習
    • 異なる基底に関するベクトルの成分表示の間の関係, 計算演習
• 小テスト1   問題   解答と講評     21名受験 平均4.61点/7点   最高点: 7点 (2名)

2017年4月10日 (月)

• はじめに — 本講義で扱う内容=「線形変換の幾何学と行列の標準形」
• 講義についてのガイダンス ガイダンス資料
• 数ベクトル空間の基底と成分表示
  • 数ベクトルの線形独立性/従属性の定義 (復習)
  • ベクトルの線形独立性/従属性の例: 平面ベクトル、空間ベクトルの場合 (復習)
  • ベクトルの線形独立性の判定: 問題演習
  • 数ベクトル空間の基底の定義
  • 任意の数ベクトルは、基底に関して《番地割り》表示出来る (証明は次回)
  • 基底に関する成分表示の例: 平面ベクトルの場合
• 参考資料1 (次回 (4/17) も持参して下さい!)
  ※ 次回の小テストは 線形独立性の判定 から出題します。

講義日程

2FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   10日, 17日, 24日
5月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
6月   5日, 12日, 19日, 26日
7月   3日, 10日, 17日 (海の日 / 授業実施日), (24日)