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線形代数学Ⅱ   Linear Algebra Ⅱ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜2限)
EJ・EH・ES 科 (木曜2限)

担当: 原 隆

場所: いずれのクラスも 5号館3階 5301教室

講義内容 (シラバスより):
線形代数学Ⅱは線形代数学Ⅰの続編であり、３つのテーマ

（1）行列式（2）数ベクトル空間（3）固有値と固有ベクトル

について学ぶ。前期にくらべ、対象がやや抽象的になるが、幾何学的なイメージをもちながら学習することが大切である。

予備知識として、前期に学んだ「線形代数学Ⅰ」の内容を前提とする。

教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 今年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 2018年3月12日   演習問題・資料へのリンクを外しました。
• 2月15日 学期末考査の採点講評・授業アンケートの自由回答欄へのコメントを掲載しました。
• 答案の返却は2月7日(水) 以降 5号館11階 51102A室にて受け付けます。
• 2月3日 学期末考査の採点速報を掲載しました。
• 1月24日 1月18日、1月24日の講義内容を更新しました。確認問題14, 15の解答もアップロードしています。
  本年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 1月16日 明けましておめでとうございます。1月11日、1月16日の講義内容を更新しました。
• 12月22日   12月19日、12月21日の講義内容を公開しました。また、アップロードし忘れていた 演習問題2 の後半の解答 と 演習問題5の解答 をアップロードしました。東京電機大学基幹ネットワーク更新作業に伴うサーバ不良により、更新が遅れてしまい申し訳ございません m(_ _)m
  なお、次回講義は ECFIクラス が 1月16日 (火)、EJEHESクラス が 1月11日 (木) です!
• 12月14日 12月12日、14日の講義内容を更新しました。
• 12月1日 11 月14日、16日、21日、23日、28日、30日の講義内容を掲載しました。確認問題9, 10, 11, 演習問題2, 4の解答を公開しました (遅くなってごめんなさい)。
  12月5日、7日は出張のため 休講 です。
• 11月9日 10月31日、11月9日の講義内容を更新しました。確認問題7の解答を公開しました。
• 10月26日 10月24日、26日の講義内容を更新しました。確認問題6, 演習問題1 (第1回レポート課題) の解答を公開しました。
  今後、暫くは 連立1次方程式を解きまくる ことになりますので、拡大係数行列の行基本変形に不安のある方は、旭祭の休校期間中に (ちょっとでも良いので) 復習しておきましょう。
• 10月19日 10月17日、19日の講義内容を更新しました。確認問題5の解答を公開しました。
• 10月12日 10月10日、12日の講義内容を更新しました。確認問題4の解答を公開しました。
• 10月5日 10月3日、5日の講義内容を更新しました。確認問題3の解答を公開しました。
• 9月28日 9月26日、28日の講義内容を更新しました。
• 9月21日 9月19日、21日の講義内容を更新しました。
• 9月14日 9月12日、13日の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 9月12日 (火), 9月14日 (木) です。
• この講義の試験は 特定科目考査日 (2018年1月26日 または 27日) に実施されます。

講義内容

ウェブページの更新は概ね火曜クラス、木曜クラスの両方の講義が終了した後となります。

2018年1月27日 (土)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『線形代数学Ⅱ』の学期末考査の問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  ECFI (火2) クラス   49名受験 (内1名追試験受験)   平均点: 63.02点 最高得点: 98点 (1名)   S:6名 A:8名 B:7名 C:11名 D:17名 単位放棄: 16名
    EJEHES (木2) クラス   66名受験 (内1名追試験受験)   期末試験平均点: 63.59点 最高得点: 92点 (1名)   S:5名 A:10名 B:16名 C:16名 D:19名 単位放棄: 7名

  学期末考査答案返却について
  • 答案返却希望者には 2月7日 (水) 以降 に5号館11階 51102A研究室にて答案を返却致します。
  • 2月7日の午後は基本的に在室しています。それ以外の日程は、出張等で不在とすることも多いので、事前にメールなどでアポイントを取って下さい。
  • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2018年1月18日 (木), 1月24日 (水)

※ 降雪による23日 (火) 午前の休講措置のため、2ECFI科の補講を24日 (水) に実施

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • 行列の n 乗Ⅱ: ケーリー-ハミルトンの定理の応用
    • ケーリー-ハミルトンの定理を用いた行列の n 乗計算の概略
      Tⁿ を特性多項式で割った余りを求めて T=A を代入
    • 例題および問題演習
    • 特性多項式が重根を持つ場合 (対角化不可能な場合) について: 割り算の式を微分して式をもう1つ導出する
    • ジョルダン標準形について (おはなし)
• 参考資料10 (2次, 3次行列のジョルダン標準形について; 試験範囲外
• 確認問題15 (ケーリー-ハミルトンの定理を用いた行列の n 乗計算)   解答公開済
• 映像資料: ５分でわかる「黄金比」　なーんだ、こういうことだったんだ
  非常に “良くある” 黄金比とフィボナッチ数列についての解説ビデオ。ただこの記事 や この論説 のように、実際には「黄金比関係ないんじゃね?」と言われているものも多い。通説を安易に信用せず、自分の目で確かめてみるのも大事ですね。

2018年1月11日 (木), 1月16日 (火)

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • 行列の n 乗Ⅰ: 対角化の応用として
    • 対角化を用いた行列の n 乗の計算: 例題を通して
    • 問題演習: 行列の n 乗
  • 漸化式への応用: 等比数列の一般項の求め方の「ベクトル版」
    ※ 駆け足になってしまったので補足資料を作成しました   連立漸化式への応用についての補足資料
• 参考資料9   (対角化可能性について)
• 確認問題14 (行列の n 乗計算と漸化式への応用)
  ※ 1月24日公開予定

2017年1月19日 (火), 21日 (木)

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • 固有ベクトルの求め方
    • 固有ベクトルの求め方: 固有値を引いた行列を係数に持つ斉次連立1次方程式の解として
    • 問題演習: 固有ベクトルの計算
  • 行列の対角化
    • 行列の対角化とは? — 正則行列で “サンドイッチ” して対角行列にすること
    • 行列の対角化の計算: 具体例を通して
    次回は対角化の復習および問題演習から初めます。
• 参考資料8 (行列の対角化とm乗計算)
• 演習問題6 (レポート課題; 1/11, 1/16 提出)
• 確認問題13 (固有値と固有ベクトル、行列の対角化)
  ※ 1月16日 解答公開

2017年12月12日 (火), 12月14日 (木)

• 固有値と固有ベクトル
  • 固有値、固有ベクトルの定義と例: “行列を掛けた筈なのにスカラー倍になっているレアなベクトル”
  • 固有値と特性多項式
    • 実数λが行列Aの固有値となる条件: det(A-λI_n)=0
    • 特性多項式の定義
    • 特性多項式を用いた固有値の求め方
    • 問題演習: 特性多項式と固有値
    • ケーリー-ハミルトンの定理: 特性多項式に元の行列を “代入” すると零行列になる!!
• 参考資料7 (固有値と固有ベクトル・ケーリー-ハミルトンの定理)
• 確認問題12 (固有値と特性多項式・ケーリー-ハミルトンの定理)
  ※ 12月22日 解答公開

2017年12月4日 (火), 7日 (木)

出張のため 休講

2017年11月28日 (火), 30日 (木)

• 学期末考査・成績評価について   ※ 教室は判明次第連絡します。
  東京電機大学数学系列の取り決めにより 試験の過去問はウェブページ上には公開しません。受け取っていない者は、ツテを頼りに入手するか個別に申し出ること。
• 数ベクトル空間 (続)
  • 斉次連立1次方程式の解空間 (続)
    • 例題: 斉次連立1次方程式の解空間の次元と基底
      —パラメーターを括り出すことで Span と見做す
    • 命題: 斉次連立1次方程式の解空間の次元は (変数の数)-(係数行列の階数)
      ※ つまり 解空間の次元=パラメータの個数
• 演習問題5 (レポート課題; 12/19, 12/21 提出)   12月22日 解答公開
• 確認問題11 (斉次連立1次方程式の解空間)
  ※ 12月1日解答公開

2017年11月21日 (火), 23日 (木) 勤労感謝の日

• 数ベクトル空間 (続)
  • 線形部分空間 (続)
    • 線形部分空間の定義 (復習)
    • 線形部分空間の典型例: Span, 斉次1次連立方程式の解空間、直線 y=x
    • 線形部分空間でない xy 平面の部分集合の例: 放物線、原点を通らない直線、第1象限、x軸+y軸
    • “線形部分空間=どこまでも続く隙間のない原点を通るまっすぐな空間”
    • 定理: 線形部分空間は必ず Span で表される (証明は参考資料6を参照)
    • 線形部分空間の次元と基底の定義 (Span の次元、基底として)
  • 斉次連立1次方程式の解空間
    • 例題: 斉次連立1次方程式の解空間の次元と基底 (詳細は次回)
• 参考資料6 (線形部分空間, 斉次連立1次方程式の解空間)   次回講義時も持参すること!!!
• 確認問題10 (線形部分空間)
  ※ 12月1日解答公開

2017年11月14日 (火), 16日 (木)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 数ベクトルで生成される線形部分空間 Span (続)
    • 問題演習: 平面ベクトル、空間ベクトルに於ける Span の次元・基底
    • コンピューターグラフィクスによる Span の次元・基底のイメージ
  • 線形部分空間
    • 線形部分空間の定義
• 映像資料: 日本テレビ制作 堺正章主演 『西遊記』 第1話より
  ※ 著作権の関係で動画は掲載出来ません。名作と名高いシリーズですので、興味のある人はレンタルしてみては如何でしょうか?
• 演習問題4 (レポート課題; 11/28,11/30 提出)   12月1日 解答公開
  ※ 演習問題3 は 欠番 です (番号振りをミスりました、すみません)   12月1日 解答公開
• 確認問題9 (Span とその次元、基底2)
  ※ 自由研究あり / 12月1日解答公開

2017年10月31日 (火), 11月9日 (木)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 数ベクトルの線形独立性と線形従属性 (続)
    • 数ベクトルを並べた行列の行標準形と線形独立性/線形従属性の関係
      — ピボットを含むベクトル=基本ベクトル、ピボットを含まないベクトルは基本ベクトルを用いて表される
    • 問題演習: 行基本変形 (行標準形) を用いて非自明な線形関係を求める
  • 数ベクトルで生成される線形部分空間 Span
    • 数ベクトルの線形結合と例
    • 線形結合の意味: 与えられたベクトルから和とスカラー倍を使って新しいベクトルを作る
    • Span の定義と例
    • Span の次元および基底の定義: 線形独立な数ベクトルの最大個数として
    • Span の次元と基底の例
• 確認問題8 (Span とその次元、基底1)
  ※ 今回は自由研究はありません / 11月22日 解答公開

2017年11月2日 (木), 6日 (月)

旭祭による休校日

2017年10月24日 (火), 10月26日 (木)

• 数ベクトル空間
  • 数ベクトルと数ベクトル空間: 定義と例
    2次元数ベクトル=平面ベクトルの成分表示, 3次元数ベクトル=空間ベクトルの成分表示
  • 数ベクトルの線形独立性と線形従属性
    • 数ベクトルの線形独立性と線形従属性の定義
    • 例題: 数ベクトルの線形独立性/従属性の判定
      “連立1次方程式の解が不定解となるかどうか?”
    • 問題演習: 数ベクトルの線形独立性/従属性の判定   演習問題解答例
• 参考資料5 (数ベクトルとその線形独立性/線形従属性)   次回講義時も持参すること!!!
• 確認問題7 (数ベクトルの線形独立性/従属性の判定Ⅰ)
  ※ 自由研究あり/ 11月9日 解答公開

2017年10月17日 (火), 10月19日 (木)

• 行列式 (続)
  • ラプラスの余因子展開の応用Ⅰ: — 余因子行列と逆行列 (続)
    • 余因子行列の性質の証明: Ã と A の積の各成分が余因子展開の形となることを確認する   講義スライド
  • ラプラスの余因子展開の応用Ⅱ: — クラーメルの公式
    • クラーメルの公式: 定理の主張
    • 例題および問題演習: クラーメルの公式
    • 定理の証明: 逆行列 (余因子行列) を左から掛ける
    • 連立1次方程式と行列式: その歴史的背景について   講義スライド
• 映像資料: ぐんまちゃんが紹介する上毛かるた動画「【わ】和算の大家　関孝和」
  歴史が苦手な人でも、和算家 関孝和 の名前くらいは聞いたことがあるだろう。和算と言うと鶴亀算とか植木算とか「子供騙しな算数」という印象の人もいるかもしれないが、関孝和等和算家は、鎖国により海外の数学の知識が全く入ってこない状態で、西洋よりも早く行列式の計算法を編み出していた、というのだから驚きである。折角日本で行列式を学ぶのだから、今回はそんな和算家と行列式の関係を少し垣間見てみよう。
  ちなみに群馬の名所、偉人を詠んだ上毛かるたは、最も有名な郷土かるたとも言われ、群馬県民の必須教養 (?) とされている (らしい)。興味のある方は覗いてみては? (ぐんまちゃんかわいいですよね)
• 参考資料: 行列式の “マインド・マップ”
  「行列式」の単元は内容も抱負で、色々な話題が複雑に絡み合っているため、このような「視覚的」に理論の全体を展望出来る “地図” を作成するのは非常に良い勉強になると思います。
• 参考資料α (行列式の少し高度な性質について; 試験範囲外)
  ※ ウェブページ掲載版のみの加筆あり (付録1, 付録2)
• 演習問題A   (自習課題; 試験範囲外)   ※ 解答は公開済です。
• 確認問題6 (クラーメルの公式)
  ※ 自由研究あり/ 10月26日 解答公開

今回で「行列式」の単元は終了です。色々と資料を配布しましたが、先ずは 確認問題を確実に解ける ことを目指してしっかり復習しましょう。余力があれば、各確認問題の Web ページ公開版につけた 自由研究 にも積極的に挑戦しよう!
　次回から「数ベクトル空間」の単元 (線形独立性 / 従属性など) に入ります。

2017年10月10日 (火), 12日 (木)

• 行列式 (続)
  • 行列式の計算法Ⅱ: ラプラスの余因子展開 (続)
    • 行列のサイズ下げ — 余因子展開と基本変形を組み合わせて
    • 余因子展開公式の証明の概略   講義スライド
      “基本パーツ” に帰着して、“基本パーツ” を証明する (“底面積×高さ=体積”)
  • ラプラスの余因子展開の応用Ⅰ: — 余因子行列と逆行列
    • 余因子行列の定義
    • 例題: 余因子行列の求め方
    • 定理: 余因子行列ともとの行列の積は、単位行列の行列式倍   (証明は次回)
    • 問題演習: 余因子行列の計算
• 参考資料4 (ラプラスの余因子展開の応用)     ※ 次回も持参して下さい!!
• 演習問題2   (レポート問題; 10/31, 11/9 締切)   12月22日 問題2-4. 以降の解答も公開
• 確認問題5 (余因子行列の計算)
  ※ 自由研究あり/ 10月19日 解答公開

2017年10月3日 (火), 5日 (木)

• 行列式 (続)
  • 行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化 (続)
    • 補足1: 列に関して成り立つ性質は行に関してもも成立する
      “転置行列の行列式がもとの行列の行列式と等しい” ことの帰結   講義スライド
    • 補足2: 教科書の行列式の「定義」は、基本3性質を用いて行列式を計算したもの   講義スライド
  • 行列式の計算法Ⅱ: ラプラスの余因子展開定理
    • 余因子の定義 (特に余因子の符号について)
    • ラプラスの余因子展開定理
    • 余因子展開を用いた行列式の計算例、問題演習
• 映像資料: 例のやつ   授業中は遊んじゃダメ!! 絶対!! (余因子展開はいいけど)
• 参考資料3 (ラプラスの余因子展開)
• 確認問題4 (ラプラスの余因子展開定理)
  ※ 自由研究あり / 10月12日 解答公開

2017年9月26日 (木), 27日 (金)

• 行列式 (続)
  • n 次行列式
    • n 次行列式の定義: 基本3性質を用いて計算される値として
  • 行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化
    • 列基本変形と行列式の関係
    • 対角行列の行列式は対角成分の積
    • 三角行列の行列式は対角成分の積 (次回補足します)
    • 行列の三角化による行列式の計算例, 問題演習
• スライド資料: 三角行列の行列式について
  ※ EC・FI クラスでは (制作が間に合わなかったため) 見せていないので、次回の講義の冒頭でお見せします
• 参考資料2 (n 次行列式, 行列の三角化による行列式の計算)
• 演習問題1   (レポート問題; 10月17日, 19日 締切)   10月26日 解答公開
• 確認問題3 (行列の三角化による行列式の計算)
  ※ 自由研究あり/ 10月5日 解答公開

宿題 (EJ・EH・ESクラスで伝え忘れました。ごめんちゃい)
テキスト『ベクトルと行列』の p.91 — p.93 を 3回音読して、書いてある内容を理解することを試みよう。

2017年9月19日 (火), 21日 (木)

• 行列式 (続)
  • 2次, 3次行列式の基本3性質
    • 2次, 3次行列式の基本3性質: 多重線形性, 歪対称性, 単位行列の行列式は1 (復習)
    • ファンデルモンドの定理: 同じ列ベクトルを含む行列の行列式は0
    • 基本3性質のみを用いた行列式の計算例
    • 問題演習: 基本3性質を用いた行列式の計算     演習問題の解答例
    • n 次行列式の定義: 基本3性質を用いて計算される数として
    • 行列式の基本3性質の図形的意味
• 参考資料1 (行列式の基本3性質とその証明; Webページ公開版のみの加筆あり)
• 映像資料: 多重線形性の解説アニメーション   2次行列式版   3次行列式版
• 確認問題2 (基本3性質を用いた行列式の計算)
  ※ 自由研究あり / 9月28日 解答公開

2017年9月12日 (火), 14日 (木)

• ガイダンス — “平面・空間ベクトルとその変換の幾何学” から “高次元数ベクトルの幾何学” へ
  • n次元数ベクトルの定義
  • 1次元数ベクトル空間=数直線
  • 2次元数ベクトル=平面ベクトル
  • 3次元数ベクトル=空間ベクトル
  • 4次元数ベクトル=……?
    平面ベクトル、空間ベクトルの知識を総動員して “絵に描けない” ベクトルの世界を探検しよう!
• 履修に関するガイダンス   配布資料
• 行列式
  • 2次行列式, 3次行列式の復習 — 「符号付き面積」「符号付き体積」としての理解
  • 計算練習: 行列式の基本3性質が実際に成立していること
• 確認問題1 および 解答 (2次, 3次行列式と基本性質)
• 映像資料: Dimension III 第4次元
  SFの世界ではお馴染みの4次元空間。絵に描くことは出来ないけれど、4次元空間の「立体」の「断面図」を見ることは我々にも出来る。そう、立体図形の断面を平面に写し取れるように……。秋の夜長、4次元空間に思いを馳せてみるのもまた一興。目まぐるしく移りゆく美しい図形を眺めているだけでも楽しい。
  この動画を見終えて「4次元空間面白ぇ!!」と感激するか「は? 頭おかしいんじゃないの?」と思うかは貴方次第。続きものの動画なので、興味を持った方は是非全編をご鑑賞あれ (自分で検索してね)。

※ 私が『線形代数学Ⅰ』を担当した学生には期末試験を返却しました。クラスが変わった人で、期末試験の返却を要望する方は個別にお知らせ下さい。

講義日程

1EC・1FI科   (UNIPA も参照のこと)

9月   12日, 19日, 26日
10月   3日, 10日, 17日, 24日, 31日
11月   7日 (旭祭による休校日), 14日, 21日, 28日
12月   5日, 12日, 19日, 26日 (冬季休校) 1月   2日 (冬季休校), 9日 (休校日), 16日, (23日)

1EJ・1EH・1ES科   (UNIPA も参照のこと)

9月   14日, 21日, 28日
10月   5日, 12日, 19日, 26日
11月   2日 (休校日), 9日, 16日, 23日 (勤労感謝の日 / 授業実施日)
12月   7日, 14日, 21日, 28日 (冬季休校) 1月   4日 (冬季休校), 11日, (18日)