線形代数学Ⅰ   Linear Algebra Ⅰ

工学部 1年
EJ・EH・ES 科 (木曜2限)

担当: 原 隆

場所: 2号館 2703 教室

講義内容 (シラバスより):
　この科目では、高校で学んだベクトルをさらに深く学んだ上で、行列について入門的事項を学ぶ。
　線形代数は、多くの理工系分野の基礎をなしている。線形代数において、幾何学的なイメージをもつことは非常に重要であるので、前半では、３次元ベクトルと空間図形とが関連する題材を扱う。行列については、２行２列の行列から始め、平面の１次変換などを通じ十分慣れ親しんでから、一般の行列へ進む。後半は、行列の応用として連立１次方程式の解法などを学習する。　

教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 2018年3月12日   演習問題・資料へのリンクを外しました。
• 8月21日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載。
• 8月10日   学期末試験の結果速報 (確定版) および答案返却についてのお知らせを更新しました。
• 7月20日   7月13日 (木), 7月20日 (木) の講義内容を更新しました。また、配布した演習問題、確認問題のすべての解答を公開しました。
  講義はこれですべて終了です。期末試験頑張ってください!
• 7月6日   7月6日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月29日   6月29日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月27日   確認問題5の解答を公開しました。
• 6月22日   6月22日 (木) の講義内容を更新しました。演習問題2の解答を公開しました (遅れてすみません)。
• 6月15日   6月15日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月8日   6月8日 (木) の講義内容を更新しました。
• 6月1日   6月1日 (木) の講義内容を更新しました。また、演習問題1 (本日締切のレポート) の解答を公開しました。
• 5月25日   5月25日 (木) の講義内容を更新しました。
• 4月6日 (木) の講義は休講です!    初回講義は 4月13日 (木) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!

講義内容

2017年7月31日 (月)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  56名受験   期末試験平均点 69.38点 最高得点 96点   S 6名, A 13名, B 14名, C 12名, D 11名   1名欠席

  学期末考査答案返却および採点講評について
  • 答案返却希望者には 8月21日 (月), 28日 (月), 9月4日 (月) の 13時 — 16時 に5号館51102A研究室にて答案を返却致します (予定: 返却日変更の可能性もあり)。
  • 上記日程以外での答案の受け取りを希望される方は、事前にメールなどでアポイントを取って下さい (夏期休校中は常に研究室に在室しているとは限りません)。
  • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
  • 成績は、9月上旬以降にUNIPA上で確認することも可能です (但し UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2017年7月20日 (木)

• 行列の行基本変形と行標準形 (続)
  • 行基本変形の応用: 逆行列の求め方
    • 逆行列の定義 (復習)
    • 行基本変形を用いた逆行列の計算法と具体例
    • 問題演習: 逆行列の求め方
  • 行列の行基本変形と基本行列
    • 基本行列の定義と行基本変形との対応
    • 逆行列の求め方の原理
      行列 A を行基本変形で単位行列に変形できたなら、A の左から対応する基本行列の積を掛けると単位行列となる
• 参考資料9 (逆行列の求め方)
• 確認問題8 および 解答

2017年7月13日 (木)

• 行列の行基本変形と行標準形 (続)
  • 連立1次方程式の解法
    • 拡大係数行列の行基本変形による連立1次方程式の解法
    • 例題: 連立1次方程式の解法
    • ルーシェ-カペリ (Rouché-Capelli)の定理
      • 係数行列と拡大係数行列の階数が一致すれば解が存在
      • 解に現れるパラメータの個数は n-rank A 個
• 参考資料8 (連立1次方程式と行基本変形)
• 確認問題7 および 解答

2017年7月6日 (木)

• 行列の行基本変形と行標準形 (続)
  • 行列の行基本変形と行標準形
    • 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義
    • 行標準形 (row normal form) の定義
    • 全ての行列は、行基本変形によって一意的に行標準形に変形出来る
    • 例題: 行標準形の判定
    • ガウスの消去法: 行基本変形による行標準形への変形のアルゴリズム
• 参考資料7 (行基本変形と行標準形)
• 演習問題4 および 解答 (レポート問題: 7月20日 (木) 締切)
• 確認問題6 および 解答

2017年6月29日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 一般の行列とその演算 (続)
    • 参考: 一般の (正方行列と限らない) 行列と線形写像について (試験範囲外です)
    • 応用: 基本ベクトルでないベクトルの移る先が分かっている線形変換の行列表示の求め方
• 行列の行基本変形と行標準形
  • 連立1次方程式とガウスの消去法
    • 例題: 3元1次連立方程式
    • 連立1次方程式の基本変形とガウスの消去法の方針 (文字消去)
    • 連立1次方程式と拡大係数行列
• 学期末考査・成績評価について

2017年6月22日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 2次正方行列の演算 (続)
    • 逆変換と逆行列 (続)
      • 逆行列が存在するための条件: 行列式が0にならない
      • 逆変換の行列表示: 逆行列
      • 問題演習: 逆変換と逆行列
      • 逆行列の存在条件の意味: det A=0 → f(e_x), f(e_y) の張る平行四辺形が “潰れる”
  • 一般の行列とその演算
    • 一般の行列の定義と用語 (行、列、成分) の解説
    • 行列の演算: 足し算、スカラー倍、積
• 参考資料6 (一般の行列とその演算
• 演習問題3 および 解答 (レポート問題: 7月6日 (木) 締切)
• 確認問題5 および 解答 (解答公開済)

2017年6月15日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 2次正方行列の演算 (続)
    • 行列の和、スカラー倍の定義 (一部復習)
    • 線形変換の合成と行列の積
      • 線形変換の合成の定義
      • 合成変換の行列表示としての行列の積
      • 問題演習: 合成変換と行列の積
      • 命題: 行列の積は結合法則と分配法則を満たすが、交換法則は満たさない!
      • 結合法則の意味: “どこの乗り継ぎをショートカットするか?”
    • 逆変換と逆行列
      • 逆変換の定義
      • 逆変換の例と逆変換を持たない例 (正射影)

2017年6月8日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 平面ベクトルの線形変換 (続)
    • 線形変換と行列 (続)
      • 線形変換の行列表示と例
      • 問題演習: 線形変換の計算
      • 線形変換の図形的イメージ: “番地割りの基準を歪ませる”
  • 2次正方行列の演算
    • 行列の和 —線形変換の和の行列表示として
• 参考資料5 (2次正方行列の演算)
• 確認問題4 および 解答

2017年6月1日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列
  • 平面ベクトルの線形変換
    • 線形変換の定義 — 特に「線形性」に注目して
    • 線形変換の例: 回転変換、鏡映変換 (折り返し)、正射影 など
  • 線形変換と行列
    • 線形変換でベクトルが移る先は e_x, e_y の移る先が分かればすべて決まる (!)
    • 線形変換の計算例: 鏡映変換, 正射影, 回転変換の場合
    • 線形変換と (正方) 行列との対応: 「線形変換」と「行列」は表裏一体
      線形変換を調べること=行列を調べること!
• 参考資料4 (線形変換と正方行列について)

2017年5月25日 (木)

• 空間図形の方程式 (続)
  • 平面のベクトル方程式Ⅰ: 法線ベクトルの利用 (続)
    • 宿題の解説
    • x,y,zの1次方程式が平面を表すこと
    • 空間内の直線は連立1次方程式 (2つの等式) で表されること
      特に直線の連立1次方程式としての表し方は無数に存在する
  • 平面のベクトル方程式Ⅱ: 平面のパラメータ表示
    • パラメータ表示を用いた平面の方程式の立て方
• 演習問題2 および 解答 (レポート問題: 6/15 (木) 締め切り)
• 確認問題3 および 解答

2017年5月18日 (木)

• 空間図形の方程式
  • 直線のベクトル方程式
    • 直線を1本に定めるデータ: 方向ベクトルと通る点 (の位置ベクトル)
    • 直線のベクトル方程式
    • 直線のパラメータ表示 (媒介変数表示)、直線の方程式
    • 問題演習
  • 平面のベクトル方程式Ⅰ: 法線ベクトルの利用
    • 平面を1つに定めるデータ: 法線ベクトルと通る点 (の位置ベクトル)
    • 平面のベクトル方程式の立て方Ⅰ, 平面の方程式
    • 問題演習 (宿題; 次回冒頭で解説します)
• 参考資料3 (空間図形の方程式)

2017年5月11日 (木)

• 平行六面体の体積と3次行列式
  • 3つの空間ベクトルが張る平行六面体
  • 平行六面体の体積 — スカラー3重積 (の絶対値) として
  • 3次行列式の定義: 「3次行列式=スカラー三重積」
  • 3次行列式の計算法: サラスの公式 (Sarrus's rule)
  • 問題演習: 平行六面体の体積
  • 3次行列式 (スカラー3重積) の符号の意味: 右手系か左手系か？
• 演習問題1 および 解答 (レポート問題: 6/1日 (木) 締め切り)
• 確認問題2 および 解答/講評

2017年5月4日 (木)

みどりの日 による休講

2017年4月27日 (木)

• ベクトルの外積
  • 空間ベクトルの外積の定義
  • ベクトルの外積の性質: 外積の歪対称性、双線形性  
  • ベクトルの成分表示と外積: 双線形性を用いて
  • 外積の計算演習
  • 閑話休題: 力のモーメント, 角運動量とベクトルの外積
• 参考資料2 (ベクトルの外積)   次回講義時 (5/10) にも持参して下さい!

2017年4月20日 (木)

• 平行四辺形の面積と2次行列式
  • 平行四辺形の面積公式 — 内積の応用として
  • 平行四辺形の面積公式: 問題演習
  • 平面ベクトルと2次行列式
    • 平面ベクトルの成分表示と平行四辺形の面積
    • 2次行列式の定義
    • 問題演習: 平行四辺形の面積と2次行列式
    • 2次行列式の符号の意味 — ベクトルの位置関係 (反時計回りか時計回りか?)
• 確認問題1 および 解答/講評

2017年4月13日 (木)

• ガイダンス: この講義の概要=「ベクトルとその変換の幾何学」
  事務的な事項のガイダンス (成績評価等について)   ガイダンス資料
• ベクトルの内積
  • 内積の定義と性質
    • 内積の定義 (復習) — 特に「正射影の “大きさ”」との関係について
    • 内積の性質 — 特に双線形性を中心に
    • ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
      • 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
      • 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いて基本ベクトル同士の内積に帰着する
• 参考資料1 (ベクトルの内積)   次回講義時 (4/20) にも持参して下さい!

講義日程

1EJ・1EH・1ES科   (UNIPA も参照のこと)

4月   6日 (休講), 13日, 20日, 27日
5月   4日 (みどりの日), 11日, 18日, 25日
6月   1日, 8日, 15日, 22日, 29日
7月   6日, 13日, 20日, (27日)