微分積分学および演習Ⅱ   Calculus Ⅱ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2601教室

講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツによって創始され、その後様々な数学者によって築かれてきた微分積分学は、自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。

この講義では前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容に引き続き、多変数（特に2変数）関数の微分、積分を学ぶ。

予備知識として前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容を前提とする。

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 今年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 2018年3月12日   演習問題・資料へのリンクを外しました。
• 2月14日 採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載しました。
• 期末考査答案の返却は2月7日(水) 以降 5号館11階 51102A室にて受け付けます。
• 2月3日 試験結果速報を掲載しました。
• 1月26日 演習問題3の解答が公開されていなかったようなので、アップロードしました。ご不便をおかけしてすみません m(_ _)m
• 1月23日 1月19日, 23日の講義内容を更新しました。
  本年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 1月16日 明けましておめでとうございます。1月16日の講義内容を更新しました。
• 12月22日   12月15日, 19日, 22日の講義内容を公開しました。東京電機大学基幹ネットワーク更新作業に伴うサーバ不良により、更新が遅れてしまい申し訳ございません m(_ _)m
  なお、次回の講義は 1月16日 (火) です!!
• 12月12日 12月12日の講義内容を更新しました。
• 12月1日 11月24日, 28日, 12月1日の講義内容を更新しました。演習問題9, 10 の解答も公開しています。
  12月4日、9日は出張のため 休講 です!
• 11月21日 11月10日, 14日, 17日, 21日の講義内容を更新しました (遅くなってごめんなさい)。
  演習問題6, 8 の解答も公開しています。
• 10月27日 10月27日の講義内容を更新しました。演習問題7-2. の解答をアップロードしました。
  なお、10月31日 (火) は 休講 としますので、次回の講義は旭祭休講期間終了後の 11月10日 (金) です。
• 10月20日 10月20日の講義内容を更新しました。
• 10月17日 10月6日, 10日, 13日, 17日の講義内容を更新しました (更新さぼってすみません)。演習問題4, 演習問題5-2 の解答も公開しています。
• 10月3日 10月3日の講義内容を更新しました。なお、演習問題1 (レポート問題 / 2変数関数の極限) の解答は既に公開しています。
• 9月29日 9月29日の講義内容を更新しました。
• 9月26日 9 月22日, 9月26日の講義内容を更新しました。
• 9月19日 9月19日の講義内容を更新しました。
• 9月15日 9月15日の講義内容を更新しました。
• 9月12日 9月12日の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 9月12日 (火) です。
• この講義の試験は 特定科目考査日 (2018年1月26日 または 27日) に実施されます。

講義内容

2017年1月27日 (土)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅱ』の学期末考査の問題および解答は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  44名受験 (内1名追試験受験)   期末試験平均点: 73.41点   最高点: 100点 (1名)    成績分布: S:10名 A:11名 B:8名 C:7名 D:8名 単位放棄:8名

  学期末考査答案返却について
  • 答案返却希望者には 2月7日 (水) 以降 に5号館11階 51102A研究室にて答案を返却致します。
  • 2月7日の午後は基本的に在室しています。それ以外の日程は、出張等で不在とすることも多いので、事前にメールなどでアポイントを取って下さい。
  • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2017年1月23日 (火)

• 条件付き極値問題とラグランジュの未定乗数法 (続)
  • 身の回りの条件付き極値問題
    • シャノンの情報理論 (エントロピー最大化問題)
      最も平均情報量が多い (“曖昧な”) 状況は、全ての事象が等確率で起こるとき
    • ミクロ経済学の話題から —2財の効用最大化問題
  • ラグランジュの未定乗数法の原理
    • 陰関数定理 — 「或る点の回りに限れば “すべての” 平面曲線は関数のグラフ」
    • ラグランジュの未定乗数法の原理: 陰関数を用いて “1文字消去”
• 映像資料: 02 平均情報量 (キマツウォーズ)
  講義で紹介したモンティ・ホール問題でのエントロピーの計算が説明されています。
• Wikipedia: モンティ・ホール問題
  モンティ・ホール問題についての詳しい解説が書かれています (そんなに変なことは書かれていないはず)。

2017年1月19日 (金)

• 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法
  • 条件付き極値問題とは
    
    • 一般の極値問題との違い: x,y が動く範囲が制限 (束縛) される!!
    • 条件付き極値問題の素朴な解法: 束縛条件を用いて “1文字消去”
    • 束縛条件が複雑な式の場合に、どのようにして極値を取る点の候補を求めるか?
  • ラグランジュの未定乗数法
    • ラグランジュのアイデア: 「2変数関数+束縛条件」の問題を「3変数関数+束縛条件なし」の問題に変えてしまおう!
    • ラグランジュ関数の定義: 考えている関数と束縛条件から3変数関数を作り出す
    • ラグランジュの未定乗数法: ラグランジュ関数の臨界点が条件付き極値問題に於ける極値を取る点の候補
    • 簡単な場合の実例と問題演習
  • 参考資料8 (条件付極値問題とラグランジュの未定乗数法)
  • 演習問題13 (講義内問題演習用) 解答は1月23日に公開済

2018年1月16日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理 (続)
    • パップス-ギュルダンの定理の主張 (復習)
    • 質点系の重心: 線分の場合と座標平面の場合
    • 平面図形の重心: 「細かく分割して質点系の重心を求めて、分割を細かくしてゆく」
    • パップス-ギュルダンの定理の証明: 特に重心の x座標の定義式とバウムクーヘン分割の関係について
• 演習問題12 (自習用問題集)   ※ 解答は既に公開済みです。

2017年12月22日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
    • 問題演習: 空間図形の体積 (続)
      …… 問題11-1. (5), (6) を解説
  • パップス-ギュルダンの定理と平面図形の重心
    • パップス-ギュルダンの定理
    • パップス-ギュルダンの定理を利用した回転体の体積の計算
    次回は平面図形の重心を計算し、パップス-ギュルダンの定理を証明します。

2017年12月19日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
    • 問題演習: 空間図形の体積 (続)
      …… 問題11-1. (4) 解説まで。次回は (5),(6) の解説から

2017年12月15日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 重積分の応用: 空間図形の体積
    • 空間図形の求積問題について: “底面” (積分領域) と“高さ” (被積分関数) を正しく設定すること
    • 計算例: 三角柱の平面による切断
    • 問題演習: 空間図形の体積 (問題11-1)
      次回は問題11-1. (1) の答え合わせから
• 演習問題11 (講義内問題演習用 / 空間図形の体積と曲面積 / パップス-ギュルダンの定理)   2017年12月22日 解答公開

2017年12月12日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の変数変換公式 (続)
    • ガウス積分
      • ガウス積分とは: 背景等
      • ガウスのアイデア: xy平面全体での exp(-x²-y²) の広義積分を2通りの方法で計算する
      • ガウス積分の計算
    • 変数変換公式の証明の概略: “uv平面の領域Eを碁盤の目状に切断し、xy平面の領域Dはそれに応じてカットする”
      — ヤコビ行列式は、uv平面での面積ΔuΔvの長方形に対応するxy平面の領域の面積を平行四辺形に近似して計算したもの
• 参考資料7 (2重積分の変数変換公式の証明)

2017年12月4日 (火), 8日 (金)

出張のため 休講

2017年12月1日 (金)

• 学期末考査・成績評価について   ※ 教室は判明次第連絡します。
  東京電機大学数学系列の取り決めにより 試験の過去問はウェブページ上には公開しません。受け取っていない者は、ツテを頼りに入手するか個別に申し出ること。
• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の変数変換公式 (続)
    • 問題演習: 2重積分の変数変換   問題10-1. (6) まで解説

2017年11月28日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 重積分の変数変換公式
    • 1変数の場合 — 置換積分
    • 重積分の積分変換公式 — dxdy を書き換える際にヤコビ行列式が掛かる
    • 例1: 変数変換で積分領域を簡単にする
    • 例2: 極座標変換の計算例
次回は問題10-1. (1), (2) の解説から
• 演習問題10 (講義内問題演習用 / 重積分の変数変換) 12月1日 問題10-1. 解答公開

2017年11月24日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の計算 (続）
    • 問題演習: 2重積分の計算 (続)   問題9-1. 残りの解説

2017年11月21日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の計算 (続)
    • 2重積分の計算例2
    • 問題演習: 2重積分の計算   問題9-1. (2) まで解説
    ※ 次回は問題9-1. (3)  の解説からです。

2017年11月17日 (金)

• 2変数関数の積分法
  • 重積分の定義 — 1変数関数の定積分と比較して
    • 重積分の意味: “関数のグラフの下の部分の体積”
    • 1変数関数の定積分の定義 (復習): 微小長方形の面積の総和 (リーマン和) の極限
    • 重積分の定義: 微小直方体の体積の総和 (リーマン和) の極限
    • 参考資料: リーマン和の極限としての重積分の定義 (画像資料)
      分割を細かくすればするほど、微小直方体の体積の和がグラフの下の部分の体積に近づいてゆく様子が観察出来る
  • 重積分の計算法
    • 例題: 重積分の計算
    ※ 重積分の値が0になってしまったので、次回別の例題も扱います。
• 演習問題9 (重積分の計算: 講義内問題演習用)   12月1日 問題9-2, 9-3 の解答公開

2017年11月14日 (火)

• 2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
  • 2変数関数の極値問題 (続)
    • 問題演習: 2変数関数の極値問題   問題8-1. 残りの解説
    • 極値判定法の証明の概略 — テイラーの近似定理の2次の項を取り出して、2次不等式の問題に帰着する

2017年11月9日 (金)

• 2変数関数の羃級数展開展開とその応用 (続)
  • 2変数関数の極値問題
    • 1変数関数の極値問題: 復習, 2階導関数 (凹凸) を用いた極値の判定
    • 2変数関数の場合の困難: 増減表が描けない!   → 2階導関数を利用する
    • 臨界点の定義 — 「極値点の候補」
    • ヘッセ行列, ヘッセ行列式の定義と2変数関数の極値の判定法
    • 例題: 2変数関数の極値問題
    • 問題: 2変数関数の極値問題   問題8-1. (1)— (3)
    次回は演習問題8-1. (4)— の解説から始めます。
• 参考資料6 (2変数関数の極値問題について)
• 演習問題8 (2変数関数の極値問題 / 講義内問題演習用)   11月21日   解答公開

2017年11月3日 (金) 文化の日, 11月7日 (火)

旭祭による休校日

2017年10月31日 (火)

休講

2017年10月27日 (金)

• 2変数関数の羃級数展開とその応用(続)
  • 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開 (続)
    • 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開   問題7-2. 残りの解説
  • 2変数関数のテイラーの近似定理
    • 2変数関数のテイラーの近似定理
    • 証明の概略: 1変数関数のマクローリンの近次定理 + 合成関数の微分法 Case 1.
• 参考資料5 (2変数関数のテイラーの近似定理とその証明について)

2017年10月24日 (火)

• 2変数関数の羃級数展開とその応用 (続)
  • 展開係数と偏微分係数 (続)
    • 問題演習: 多項式の展開係数と偏微分係数   問題7-1. の解説
  • 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開
    • 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開の求め方
    • 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開   問題7-2. (1), (2) まで
          次回は 問題7-2. (3), (4) の解説から入りますので、解いておいて下さい。

2017年10月20日 (金)

• 2変数関数の羃級数展開とその応用
  • 2変数多項式の展開係数と偏微分係数
    • 1変数多項式の展開係数の求め方 (復習)
    • 2変数の場合の厄介さ — 高次の項が文字の組合せにより複数現れる
    • 例題: 偏微分を用いた多項式の展開係数の求め方
    • 展開係数の公式
  次回は 問題7-1. の答え合わせからです。
• 演習問題6 (レポート問題; 11月10日締切)   11月21日 解答公開
• 演習問題7 (講義内問題演習用)  10月27日 問題7-2. の解答を公開

2017年10月17日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 高階偏微分 (続)
    • 問題演習: 高階偏導関数の計算   問題5-1. の残りの解説
    • 偏微分の順序交換が出来ない例: 問題5-2. (1), (2), (4)
    • 順序交換不可能性の図形的意味   講義で見せた図
• 参考資料4 (偏微分の順序交換可能性について)

2017年10月13日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 高階偏微分
    • 高階偏導関数とその個数: n 階偏導関数は2ⁿ個 (“ねずみ算” 式に増えてゆく)
    • 例題: 2階偏導関数の計算
    • 問題演習: 高階偏導関数の計算   問題5-1. (5) まで解説
    • 2階連続偏微分可能関数と偏微分の順序交換可能性 (証明は参考資料4参照)
    ※ 次回は問題5-1.の残りから
• 演習問題5 (高階偏微分; 講義内問題演習用)   ※ 10月19日 問題5-2. 解答公開

2017年10月10日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 2変数関数の合成関数の微分法 (続)
    • 合成関数の微分法 Case 2 (続)
      • 問題演習: 合成関数の微分法 Case 2;   問題4-2. 残りの演習・解説
      • 極座標変換とそのヤコビ行列式; 問題4-3. (2) まで解説
      • 合成関数の微分法 (連鎖律) の証明の方針
        — 1次近似 (全微分可能性) を巧く用いて定義通りに計算する (詳細は参考資料3を参照)

2017年10月6日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 2変数函数の合成関数の微分法 (続)
    • 合成関数の微分法 Case 1 (続)
      • 問題演習: 問題4-1. (4), (5), (6) の解説
    • 合成関数の微分法 Case 2 — x, y に2変数関数を代入する (変数変換)
      • 定理の主張, ヤコビ行列とヤコビ行列式の定義
      • 問題演習: 合成函数の微分法 合成関数の微分法 Case 2   問題4-2. (1) の解説まで
※ 次回は 問題4-2. (2) 以降の演習・解説から

2017年10月3日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 2変数関数の合成関数の微分法
    • 1変数関数の場合との違い; 関数を代入する箇所が x, y の2箇所ある
    • 合成関数の微分法 Case 1 — x, y に1変数関数を代入する
      • 定理の主張と計算例
      • 問題演習: 合成関数の微分法 Case 1   問題4-1. (4) まで解説
  • 参考資料3 (2変数関数の合成関数の微分法)   ※ 5ページ目の【自由研究】の部分を加筆してあります。
  • 演習問題4 (合成関数の微分法; 講義内演習用)   ※ 10月19日 解答公開
次回は問題4-1. (5), (6) の解説からです。

2017年9月29日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 接平面の方程式 (続)
    • 問題2-3. の解説と疑問点: 「これは本当に接平面?」
    • 偏微分の弱点: 「y=一定」「x=一定」での切り口しか見ていない
  • 最良1次近似としての微分法 (1変数関数)
    • 1次近似の概念: 増分を1次式で近似する
    • 最良1次近似の条件: 「Δx を 0 に近づけるスピードより誤差が小さくなるスピードが速い」
    • 最良1次近似の係数としての微分係数
  • 全微分可能性と全微分
    • 全微分可能性の定義 — “(Δx, Δy) をどのように (0,0) に近づけても、誤差関数の方が速く0に収束する”
    • 最良近似平面 (接平面) の係数は偏微分係数, 全微分可能ならば偏微分可能
    • 補足1: 全微分可能性の判定条件 (連続偏微分可能ならば全微分可能)   — 証明は参考資料1参照
    • 補足2: 関数 z=xy/(x²+y²) は 点 (0,0) で全微分不可能
• 画像資料: 問題2-2. の接平面の図 (工事中: 近日公開予定)
• 画像資料: 全微分可能性 (講義中にプロジェクターで見せた図)
• 参考資料2 (全微分可能性について)
• 演習問題3   (レポート問題; 10月20日 (金) 締切)   1月26日 解答公開

※ 全微分可能性の概念はかなり高度な概念で、一朝一夕で身につくものではないと思いますので、今回の講義で良く分からなかった点、理解が追いつかなかった点があってもあまり気にせず、取り敢えず先に進んでしまいましょう。ふと気になったときにまたノートを見返してみると、新たな発見があるかもしれません。

2017年9月26日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 接平面の方程式 (続)
    • 問題演習: 接平面の方程式 (問題2-2.)
• 参考資料: 接平面の図 (講義中にプロジェクターで見せたもの)

※ 問題2-3. を宿題としました。これまでの総復習だと思って解いてみましょう!

2017年9月22日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 偏微分係数と偏導関数 (続)
    • 問題演習: 2変数関数の偏微分法   問題2-1. (5)— の解説
  • 接平面の方程式
    • 偏微分係数の図形的意味 (復習): 「グラフの平面での切り口に現れる曲線の接線の傾き」
    • 2変数関数の偏微分係数と接ベクトルの対応
    • 接平面の方程式の求め方
      Step 1. 偏微分を用いて接ベクトルを2つ求める   Step 2. 法線ベクトルを求める   Step 3. 接平面の方程式を求める
    • 例題: 回転放物面の場合

2017年9月19日 (火)

• 2変数関数の極限と連続性 (続)
  • 前回の補足
  • 2変数関数の連続性の定義 — “グラフが繋がっている”
• 2変数関数の微分法
  • 偏微分係数と偏導関数
    • 偏微分係数の定義
    • 偏微分係数のイメージ: 「y=b, x=a という平面での切り口に現れる曲線の接線の傾き」
    • 偏導関数の定義と計算例
    • 問題演習: 偏導関数
• 演習問題2 (偏微分および接平面の方程式; 講義内問題演習用)
  次回は 問題2-1. (5) の解説からです。

2017年9月15日 (金)

• 2変数関数の極限と連続性 (続)
  • 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (続)
    • z=x²/(x²+y²) のグラフ   点 (0,0) で極限値を持たない
    • z=x³/(x²+y²) のグラフ   点 (0,0) で極限値 0 を持つ
         (少しつままれた感じになっている部分が点 (0,0,0))
  • 極限の問題へのアプローチ: 「極限の候補を探してから、実際に極限値であることを極座標変換を用いて示す」
  • 例題および問題演習
• 参考資料1 (2変数関数の極限)
• 演習問題1   (レポート問題: 9/29 (金) 提出)   9月29日 解答公開

次回は (関数の連続性の定義をしてから) 偏微分法に入る予定。

2017年9月12日 (火)

• イントロダクション: 「2変数関数の微分積分学とは?」
  • 1変数関数から多変数関数へ
  • 2変数関数とそのグラフの例: 気温分布、平面、回転放物面
    • z=x²+y² のグラフ   (回転放物面)
  • 2変数関数を調べる意義: 天気予報など
• 履修に関するガイダンス 配布資料
• 2変数関数の極限と連続性
  • 2変数関数の極限の定義
  • 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (宿題)

※ 講義に出席していた1年生には期末試験を返却しました。前期に私の講義を受講した欠席者および再履修生で、期末試験の返却を要望する方は個別にお知らせ下さい。

講義日程

9月   12日, 15日, 19日, 22日, 26日, 29日
10月   3日, 6日, 10日, 13日, 17日, 20日, 24日, 27日, 31日
11月   3日 (文化の日), 7日 (旭祭による休校日), 10日, 14日, 17日, 21日, 24日, 28日
12月   1日, 5日, 8日, 12日, 15日, 19日, 22日, 26日 (冬季休校), 29日 (冬季休校)
1月   2日 (冬季休校), 5日 (冬季休校), 9日 (休校日), 12日 (センター試験 / 休校日), 16日, 19日, (23日, 24日)