微分積分学および演習Ⅰ   Calculus Ⅰ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2604 教室

講義内容 (シラバスより):
　ニュートンとライプニッツにより創始され、その後さまざまな数学者によって築かれてきた微分積分学（解析学ともいう）は自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。したがって、微分積分学は諸君が工学を学んでいくために欠かせない基礎知識である。
　この講義では、高校で学んだ内容に引き続いて１変数関数の微分積分を学ぶ。
　標準クラス（週２回開講）は、高校の数学Ⅲで複素数平面、三角関数、指数・対数関数の微分積分を学んだ者を主な対象とする。 　

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 2018年3月12日   演習問題・資料へのリンクを外しました。
• 8月22日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載しました。
• 8月10日   学期末試験の速報 (確定版) および学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新しました。
• 7月27日   7月18日 (火) の講義内容を更新しました。演習問題10 の講義で扱っていない問題の解答を公開しました (遅くなってすみません)。
• 7月14日   7月14日 (金) までの分の講義内容を更新しました。また、これまでの演習問題の解答等を公開しました。
• 7月4日   7月4日 (金) の講義内容を更新しました。
• 6月30日   6月20日 (火), 6月23日 (金), 6月27日 (火), 6月30日 (金) の講義内容を更新しました。
• 6月16日   6月13日 (火), 6月16日 (金) の講義内容を更新しました。
• 6月9日   6月9日 (金) の講義内容を更新しました。
• 6月6日   6月6日 (火) の講義内容を更新しました。
• 5月30日   5月30日 (火) の講義内容を更新しました。また、演習問題3の解答を公開しました。
• 5月26日   5月26日 (金) の講義内容を更新しました。
• 5月23日   5月23日 (火) の講義内容を更新しました。
• 5月19日   5月19日 (金) の講義内容を更新しました。
• 5月18日   5月16日 (火) の講義内容を更新しました。遅くなってごめんなさい m(_ _)m
• 5月12日   5月12日 (金) の講義内容を更新しました。
• 5月9日   5月9日 (火) の講義内容を更新しました。演習問題1 と 演習問題2 (問題2-2.) の解答を公開しました。
• 4月28日   4月28日 (金) の講義内容を更新しました。5月2日 (火) は休講 ですのでご注意下さい。
• 4月25日   4月25日 (火) の講義内容を更新しました。
• 4月7日 (金) の講義は休講です!     初回講義は 4月11日 (火) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!

講義内容

2017年7月31日 (月)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  56名受験   期末試験平均点 64.86点 最高得点 96点   S 3名, A 9名, B 11名, C 18名, D 15名   4名欠席

  学期末考査答案返却および採点講評について
  • 答案返却希望者には 8月21日 (月), 28日 (月), 9月4日 (月) の 13時 — 16時 に5号館51102A研究室にて答案を返却致します (予定: 返却日変更の可能性もあり)。
  • 上記日程以外での答案の受け取りを希望される方は、事前にメールなどでアポイントを取って下さい (夏期休校中は常に研究室に在室しているとは限りません)。
  • 友達の分を一緒に返却することも可能ですが、個人情報ですので確かに代理返却を依頼された旨が分かるもの (メールや Line の画面など) をご提示下さい。
  • 成績は、9月上旬以降にUNIPA上で確認することも可能です (但し UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2017年7月21日 (金)

休講

2017年7月18日 (火)

• 積分法 (続)
  • 広義積分: 問題演習: 広義積分   問題10-2. (7) まで解説

2017年7月14日 (金)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分 (続)   問題10-1. (8)以外を解説
  • 広義積分 — その計算手順について

2017年7月12日 (火)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分
    • 有理関数の積分の計算例
    • 問題演習: 有理関数の積分   問題10-1. (6) まで解説
• 参考資料6 (有理関数の積分手順について)
• 演習問題10 (講義内問題演習用)

2017年7月8日 (金)

• 積分法 (続)
  • 図形の求積Ⅱ: 回転体の体積   問題9-2. (5) まで解説
    — 特に刳り抜き型、y軸まわりの回転体とバウムクーヘン分割について解説

2017年7月4日 (火)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 定積分の計算   問題7-3. 残り (ウォリスの公式の解説を含む)
  • 図形の求積Ⅰ: グラフの面積   問題9-1.
• 演習問題9 (講義内問題演習用) 7月14日 講義で扱っていない問題の解答公開

2017年6月30日 (金)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 部分積分法と置換積分法
  • 定積分の計算: 問題7-3. (3) まで解説
• 学期末試験・成績評価について
• 演習問題8 (レポート問題, 7/14 (金) 締切) 7月14日 解答公開

2017年6月23日 (金)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 不定積分の計算   問題7-1
  • 部分積分法と置換積分法
• 演習問題7 (講義内問題演習用)

2017年6月23日 (金)

• 積分法 (続)
  • 定積分の定義 (復習)
  • 微分積分学の基本定理
    • 微分積分学の基本定理 Ⅰ 「面積の関数は原始関数」
    • 原始関数の差が定数であること: 平均値の定理の応用として
    • 微分積分学の基本定理 Ⅱ 「定積分は原始関数の値の差」
    • 発展: 関数の微分積分学と数列の差分和分学
• 参考資料5 (数列の差分和分学について)

2017年6月20日 (火)

• 複素数と整数論
  • フェルマーの2平方和定理 – 素数はいつ平方数の和で表されるか?
  • ガウスの整数
    • ガウスの整数の定義
    • ガウルの整数の単数とガウスの素数
    • ガウスの素数の分布: 「ガウスの絨毯」
    • フェルマーの2平方和定理との関係: 素数が「さらに分解される」ための条件
  • フェルマーの最終定理
    • フェルマーの最終定理
    • n=2 の場合 – ピタゴラス数
    • 「素因数分解の一意性」に基づくフェルマーの最終定理へのアプローチ
    • 「素因数分解の一意性」の崩壊 — 代数的整数論の時代へ
• 参考資料4 (複素数と整数論)

2017年6月16日 (金)

• 積分法
  • アルキメデスの求積法: 放物線と弦で囲まれる部分の面積
    “細かく分割して微小面積を足し合わせる” という発想の源
  • 定積分の定義
    • 微小長方形の面積の和による「グラフの下の部分の面積」の近似 (リーマン和)
    • 定積分の定義: リーマン和の極限として
• 映像資料: 区分求積法: 昔の数学者はこうやって面積を計算した! (日本語)
  このアカウントで他にも微分積分学に関する色々な動画があがっているようですので、参考にしてみるのも良いかもしれません。

2017年6月13日 (火)

• 複素数平面とオイラーの公式 (続)
  • オイラーの公式とその応用
    • オイラーの公式: 「指数関数」と「三角関数」は複素数の世界では「兄弟」
    • オイラーの等式 eiπ+1=0 — “数学で最も美しい等式 (のひとつ)”
    • オイラーの公式の証明: マクローリン展開の応用として
    • 複素数の乗除と複素数平面上での回転・拡大縮小 — 複素指数関数の観点から
    • ド・モワヴル (de Moivre) の定理 (=複素指数法則)
    • 三角関数の公式と複素指数法則: 倍角の公式を例に
• 演習問題6 (レポート問題, 締切は 6/27(火)) 7月14日 解答公開

2017年6月9日 (金)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • テイラー/マクローリン展開の応用2: 不定形の極限 (続)
    • 問題演習 — 不定形の極限: 問題5-3. 残りの解説
• 複素指数関数とオイラーの公式
  • 複素指数関数
    • 複素指数関数の定義
    • 複素指数法則とその証明
• 参考資料3 (複素指数関数と複素指数法則

2017年6月3日 (金)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • テイラー/マクローリン展開の応用2: 不定形の極限
    • コーシー (Cauchy) の平均値の定理
    • ド・ロピタル (de L'Hospital) の定理
    • 不定形の極限: 例題
    • 問題演習 — 不定形の極限: 問題5-3. (2) まで解説

2017年5月31日 (火)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • テイラー展開の計算 (続)
    • 問題5-1. (11), (12) の解説
    • 補足1: 逆三角関数のマクローリン展開について (ニュートンの公式等)
    • 補足2: (1+x)^-1 のマクローリン展開 (ノイマン展開) と無限等比級数の公式との関係
  • テイラー/マクローリン展開の応用1: 関数の近似値の計算と誤差評価
    • 問題演習: 関数の近似値の計算   問題5-2
    • 誤差評価について — ラグランジェの剰余項を評価する
  • 閑話休題: バーゼル問題について — 正弦関数のマクローリン展開と無限積展開の応用として
• 参考資料2 (合成関数のテイラー展開について)
• 演習問題5+ (バーゼル問題にチャレンジ! / 自由課題)

2017年5月30日 (火)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • テイラー展開の計算
    • 色々な関数のマクローリン展開 (続): 問題演習 問題5-1. (10) まで解説

2017年5月26日 (金)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • テイラー展開とテイラーの近似定理 (続)
    • テイラーの近似定理の証明 (残)
  • テイラー展開 (マクローリン展開) の計算
    • 例題: 真面目に展開係数を計算する方法と既知のマクローリン展開の公式を利用する方法
    • 色々な関数のマクローリン展開: 問題演習 問題5-1 (3) のみ解説
• 演習問題5 (講義内問題演習用 / 問題5-4. のみ解答付)
  ※ 次回は 問題5-1. (1), (2), (4) の解説から

2017年5月23日 (火)

• 関数の羃級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • ロルの定理と平均値の定理 (続)
    • ラグランジェの平均値の定理 (続)
      • 定理の主張の復習
      • 応用: 増減表の原理
      • 証明: ロルの定理を利用して
  • テイラー展開とテイラーの近似定理
    • テイラー展開、マクローリン展開の収束性
    • テイラー展開の「無限和」がちゃんと意味を持つか? — “無限和のパラドクス” について
    • 級数 (無限和) の収束性の概念の復習: 「部分和の数列が収束すること」
    • テイラー展開の収束性 = 剰余項 (誤差項) が0に収束するか?
    • テイラー-マクローリン (Taylor-Maclaurin) の近似定理: 剰余項の明示的表記 (ラグランジェの剰余項)
    • テイラー-マクローリンの近似定理の証明: ロルの定理の利用
      ※ 終わらなかったので、次回冒頭で証明を完結させます。基本的な関数のマクローリン展開の収束性についてはこれ以上講義では扱いません。
• 参考資料1 (基本的な関数のマクローリン展開の収束性について)

2017年5月19日 (金)

• 関数の級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • ロルの定理と平均値の定理
    • ロル (Rolle) の定理
      • ロルの定理の主張と図形的意味
      • ロルの定理の証明のための準備
        • 連続関数の最大値・最小値の存在定理
        • 定理の仮定「有界」「閉区間」「連続関数」を取り除いたら最大値・最小値が存在しないことがあること
        • 実数の連続性との関係 (発展的)
      • ロルの定理の証明
    • (ラグランジェ Lagrange の) 平均値の定理 (証明は次回)

2017年5月16日 (火)

• 関数の級数展開とテイラーの近似定理 (続)
  • 多項式の展開級数と微分係数 (復習)
  • 関数の羃級数展開: 「多項式関数」の制限を外して「展開係数」を計算してみると……?   指数関数を例に
  • 問題演習: 基本的な関数のマクローリン展開 (問題4-2. (5) まで)
  • cos x, (1+x)^1/2 のマクローリン展開の視覚化 (デモンストレーション)
• 参考資料: 基本的な関数のマクローリン展開について   ※ 確実に丸暗記 すること!!!!!!

2017年5月12日 (金)

• 微分法 (続)
  • 高階微分
    • 高階導関数の定義と記法
    • 1階微分可能だが2階微分不可能な関数について
    • 関数の階層 — 連続性、微分可能性に基いて   無限階微分可能関数は「エリート級」
• 関数の級数展開とテイラーの近似定理
  • 多項式の展開係数と微分係数: 多項式の展開係数と微分法の関係について
  • 問題演習: 問題4-1.
• 演習問題4 (講義内問題演習用 / 問題4-3. のみ解答付)

2017年5月8日 (火)

• 微分法 (続)
  • 逆三角関数の微分法:問題演習     問題2-3. の解説
  • 1次近似と微分法
    • 微分係数の別の見方 — 1次近似として
    • 1次近似の数値例
    • 「微分可能ならば連続」:1次近似の応用として
    • 連続ではあるが微分可能ではない関数 (詳細は問題2-2参照)
• 演習問題3 および 解答 (レポート問題, 締切は 5/26 (金), 自由提出)

2017年5月5日 (金)

こどもの日 による休講   次回講義は 5月9日 (火)

2017年5月2日 (火)

休講

2017年4月28日 (金)

• 微分法 (続)
  • 微分法の計算法則 — 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法
  • 逆関数の微分法と例: 対数関数の微分法
  • 逆三角関数の微分法: 値域に気を付けて符号を決める
  • 逆三角関数の微分法: 問題演習 (問題2-3)
    次回は 問題2-3. の答合わせをしてから、次の話題に入ります。

2017年4月25日 (火)

• 微分法 (続)
  • 問題演習: 色々な関数の微分   問題2-1 (1) – (12) 解説

2017年4月21日 (金)

• 関数の極限と連続性 (続)
  • 関数の連続性
    • 関数の連続性の定義
    • 関数の連続性のイメージ: 「関数のグラフが繋がっていること」
    • 連続関数の中間値の定理とその意味: 「川渡りの問題」のイメージで
• 微分法
  • 微分係数の定義とその意味: 「微小変化の割合」を調べる
  • 問題演習: 色々な関数の微分
    次回は問題2-1. (1)—(4) の答合わせから
• 演習問題2 (講義内問題演習用)

2017年4月18日 (火)

• 色々な関数 (続き)
  • 逆三角関数: 逆正弦関数, 逆余弦関数, 逆正接関数 とその主値
  • 逆三角関数の値の求め方: 問題演習
• 関数の極限と連続性
  • 関数の極限の定義
  • 余談: 「限りなく近づく」という表現の曖昧さとε-δ論法による極限の「厳密」な定義 (期末考査範囲外です!!)
• 演習問題1および 解答 (レポート問題, 締切は 5/9 (火), 自由提出)

2017年4月14日 (金)

• 色々な関数 (続き)
  • 定義域と値域: 宿題の答え合わせ
  • 合成関数
  • 逆関数
    • 単射関数と単調関数、単射であっても単調でない関数の例
    • 逆関数の定義と例 (対数関数など)
    • 逆三角関数: 逆正弦関数 — 「範囲を換えると逆関数の様子が大きく異なる!」

2017年4月11日 (火)

• ガイダンス — 微分積分学=「関数の性質を調べる学問」
  講義に関する事務的なガイダンス   ガイダンス資料
• 集合の記号について
• 色々な関数
  • 関数の定義 — 数を入力すると数を出力する「プログラム」
  • 関数のグラフ — 関数の規則の「視覚化」
  • 関数の定義域と値域

講義日程

1EC・FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日 (休講), 11日, 14日, 18日, 21日, 25日, 28日
5月   2日, 5日 (こどもの日), 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日
6月   2日, 6日, 9日, 13日, 16日, 20日, 23日, 27日, 30日
7月   4日, 7日, 11日, 14日, 18日, 21日, (25日), (28日)