微分方程式Ⅰ   Differential Equation Ⅰ

工学部・未来科学部 2年
FI 科 (月曜3限)
EJ 科 (木曜1限)

担当: 原 隆

場所: FI科 2号館21004教室,   EJ科 2号館2703教室

講義内容 (シラバスより):
　微分方程式は「関数の微小変化の様子」から「その関数が元々どの様な関数であったか」を導き出すための数学的手法である。その汎用性は非常に広く、微分方程式の理論は単なる数学の一分野の枠を越え、物理学、工学など様々な方面で現象を記述するための数学的手段として広く用いられている。
　この講義では、常微分方程式の初等的な解法について講義する。　　

教科書: 特定の教科書は指定しない。ただし、以下のテキストのうち一冊は入手しておくことを強く薦める。

• 鶴見和之他共著『常微分方程式』（東京電機大学出版局)
• 水田義弘著『大学で学ぶやさしい微分方程式』(サイエンス社)
• 泉英明著『コア・テキスト　微分方程式』(サイエンス社)
• 長崎憲一, 中村正彰, 横山利章共著『明解 微分方程式 [改訂版]』(培風館)
• デヴィッド・バージェス, モラグ・ボリー共著『微分方程式で数学モデルを作ろう』(日本評論社)
• Ｅ．クライツィグ著『常微分方程式』（培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 8月18日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (誤植等は気力があれば随時更新予定)。
• 8月17日   学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新。
• 8月5日   学期末試験の結果速報 (確定版) を更新しました。
• 8月4日   学期末試験の結果速報を更新しました。死ぬかと思った……。。
• 7月8日   7月4日 (月), 7月7日 (木) 分の講義内容を更新しました。
• 6月30日   第13回レジュメ、6月27日 (月), 6月30日 (木) 分の講義内容を更新しました
• 初回講義は 4月7日 (木), 4月11日 (月) です。

講義内容

講義内容の更新は概ね FI科, EJ科の両方の講義が終了した後となります (レジュメは先んじて掲載します)。

2015年7月25日 (月), 7月28日 (木)

• 学期末考査   問題 2FI     2EJ     略解 2FI    2EJ
  
  速報 (確定)

  2FI科 106名受験 期末試験平均点 58.40点 期末試験最高得点 95点   S 11名, A 22名, B 35名, C 18名, D 20名
  2EJ科 143名受験 (うち2名追試験) 期末試験平均点 60.36点 期末試験最高得点 104点   S 12名, A 42名, B 39名, C 22名, D 28名
  ※ 平均点はあくまでも学期末試験の素点の平均点です。実際には小テストの成績を加味したものが最終評点ですので、評点の平均点は70点位です (詳細は追っておしらせします)。
  ※ 期末試験の講評および答案返却については、8月中旬頃にこちらのウェブサイトにておしらせします。

  学期末考査答案返却および採点講評について
  • 学期末試験の採点講評およびアンケートの自由回答欄へのコメントは、8月18日 (木) にこちらに掲載します。その後、希望者には4号館40903A研究室にて答案を返却致します。
  • 答案返却は基本的に 平日のみ 受け付けます。また、8月中は現時点では 8月18日 (木), 19日 (金) のみ 在室予定です。これらの日も、常に研究室にいるとは限りませんので、事前にメールなどでアポイントメントを取っていただいた方が確実です。
  • 成績は 9月2日 (金) にUNIPA上で確認することも可能です (但し、UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントメントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント   2FI     2EJ
  ※ なるべく 該当クラスのものだけを 閲覧してね♪ (コピペがばれる〜)

2015年7月11日 (月), 7月16日 (木)

• 第14回レジュメ (準備中)
• 定数係数連立微分方程式 (続)
  • 連立微分方程式の解の安定性
  • 行列の指数関数について
• 演習問題14
• 参考: 連立微分方程式の解の安定性 (講義中に見せた図)
• 【舘鼻則孝の方程式】8.ロトカ・ヴォルテラ方程式 (日本語)
  フジテレビで2012年頃に放送された番組『オデッサの階段』の一部。
• 参考資料10 (行列の指数関数について)
• 小テスト13   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 86名受験 平均 4.58点/8点 最高点8点 (8名)     2EJ: 集計中

2016年7月4日 (月), 7月7日 (木)

• 第13回 レジュメ
• 定数係数連立微分方程式
  • 定数係数連立微分方程式と係数行列の固有値・固有ベクトル
  • 定数係数連立微分方程式の解法
  • 問題演習
• 第2次世界大戦: ドイツのポーランド侵攻   World War &8545;: German invasion of Poland (英語)
  ブリタニカの記録映像。何故戦争は起こってしまうのでしょうか—?
• 参考資料9 (定数係数連立微分方程式の解と固有値問題の関係について)
• 演習問題13
• 小テスト12   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 集計中     2EJ: 集計中

2015年6月27日 (月), 6月30日 (木)

• 第12回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅲ: ヘヴィサイドの演算子法
    • 微分記号 D を用いた微分方程式の書き換え
    • ヘヴィサイドの演算子法: “逆演算子を文字式のように計算する”
    • 演算子法による特殊解の求め方の例, 問題演習    講義で扱った演習問題の詳解
• 映像資料: 地学&地学基礎2章4話「地震波の基礎」 (日本語)
  Web玉塾 というインターネット上で無料公開されている教材。かなりおちゃらけてはいるけれど、基礎は抑えているように思われます。大地震が多発する近年の情勢を踏まえても、地震についてこの程度の基礎知識は持ち合わせておきたいところ。
• 参考資料8 (ヘヴィサイドの演算子法について)
  ※ 講義中でも触れたように、計算例 (1) の微分方程式の左辺が滅茶苦茶 (微分方程式になってない!!) になっていたので、修正しておきました。
• 演習問題12
• 本講義の成績評価について (期末考査実施日時、出題範囲等)
• 小テスト11   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 91名受験 平均4.46点/7点 最高点7点 (13名)     2EJ: 110名受験 平均2.65点/7点 最高点6点 (8名)
  

2015年6月20日 (月), 6月23日 (木)

• 第11回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅱ: ラグランジェの定数変化法
    • 定数変化法とは: 同伴方程式の解のパラメータ C₁, C₂ を x の関数におき替える
    • ロンスキー行列と定数変化法の関係
    • 定数変化法による特殊解の求め方, 問題演習
• 参考資料7 (定数変化法について)
• 映像資料
  • 強制振動と共振現象 Forced Vibration and Resonance (英語)
    振り子の振動を用いて他の振り子を振動させる、所謂「バートンの振り子実験」についての動画。講義では時間の関係で省略しましたが、実験画像の後には微分方程式を用いた解説も付いていますので、英語力に自信のある人は是非ご覧下さい。
  • タコマ橋が堕ちた!! Tacoma Bridge Collapse (英語)
    建築史でも有名な建造物崩壊事例であるタコマ海峡大橋の崩落事故の記録映像。想像をはるかに超える異常な橋の撓(たわ)み具合には圧倒されます。この映像を公開している British Pathé は、他にも歴史的に貴重な映像を数多く You Tube 等で公開しているので、興味がある人は是非覗いてみて下さい!
• 演習問題11
• 小テスト10   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 94名受験 平均5.70点/7点 最高点7点 (45名)     2EJ: 115名受験 平均4.94点/7点 最高点7点 (32名)

2015年6月13日 (月), 6月16日 (木)

• 第10回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式 (続)
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式の解法Ⅰ: 未定係数法
    • 未定係数法の考え方: 「非斉次項 q(x) の形から特殊解の形を予想する」
    • 例題
    • 問題演習と技術的注意点 (三角関数の場合、推定した解の形では「巧くいかない」場合)
• 映像資料: ラジオの原理1 (受信と選局) (日本語)
  RLC直列回路の共振現象を利用した、ラジオ波の選局の原理を「なるべく分かりやすく」解説した教材 (とは言え、おそらく回路理論や電磁気学を一切知らない人向けの講演なので、かなり無理のある説明になってしまっていますが……)。NPO法人による映像教材です。
• 参考資料6 (未定係数法について)
• 演習問題10
• 小テスト9   問題 2FI     2EJ     解答および講評 2FI    2EJ
  2FI: 97名受験 平均5.19点/7点 最高点7点 (20名)     2EJ: 111名受験 平均5.33点/7点 最高点7点 (38名)

2015年6月6日 (月), 6月9日 (木)

• 第9回 レジュメ
• 定数係数2階線形微分方程式
  • 定数係数非斉次2階線形微分方程式
    • 解の見つけ方の方針 — 「指数関数の形」で解を探す
    • 特性方程式と解の基本系: 3つの場合
      • 特性方程式が相異なる2実数解を持つ場合 (一番簡単)
      • 特性方程式が虚数解を持つ場合: オイラーの公式を用いた変形
      • 特性方程式が重解を持つ場合: もうひとつの解を「無理矢理作る」
• 映像資料
  • 物理学: 減衰単振動 Physics: Damped Simple Harmonic Motion (英語)
    電子教材のお試し版なので、途中でぶった切られます (^^; 聞き取り易い英語だと思いますので、是非リスニングの練習に
  • 「NY株反発! 不透明感抱え週末東京は?」 (日本語)
    2015年7月10日の日経ニュース。このような株価、為替、売り上げなどの変動も、2階線形微分方程式のモデルで捉えることが出来るのです。
• 参考資料5 (定数係数斉次2階線形微分方程式の解法について)
  ※ 1ページ目最下部の表に一部訂正あり (赤字で書いてます)。この表は 確実にマスターすること!!
• 演習問題9
• 小テスト8   問題 2FI     2EJ     略解 2FI    2EJ
  2FI: 94名受験 平均5.14点/8点 最高点8点(14名)     2EJ: 107名受験 平均3.63点/8点 最高点8点(9名)

2015年5月30日 (月), 6月2日 (木)

• 第8回 レジュメ
• 線形微分方程式の解の構造
  • 線形微分方程式の定義と例
  • 非斉次線形微分方程式の解の構造: 「一般解=特殊解+同伴方程式の一般解」
  • 斉次線形微分方程式の解の構造: 重ね合せの原理、解の基本系の存在定理
        — 「“解空間”はn次元線形部分空間」 → 線形独立な解をn個見付ければ良い(!)
  • ロンスキー行列式と関数の線形独立性
• 参考資料4 (線形微分方程式の解の構造)
  ※ 3ページ目最下段の「警告」中の「…線形従属でないとは限らない」は「…線形独立でないとは限らない」の誤植です。申し訳ありません。リンク先のファイルでは赤字で訂正しております。
• 演習問題8
• 小テスト7   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 86名受験 平均3.52点/7点 最高点7点 (8名)     2EJ: 123名受験 平均3.19点/7点 最高点7点(9名)

2015年5月20日 (月), 5月26日 (木)

• 第7回 レジュメ
• 常微分方程式の解の存在と一意性定理
  • 導入: 初期値問題の存在と一意性とは?
    “勾配場に “葉っぱ”を浮かべると、きちんと流れるか? また、その軌跡はいつでも1つに定まるか?
  • 解の一意性について — 一意性が破れるとき
    • 一意性が破れる例: dy/dx=√y
    • 常微分方程式の解の存在と一意性定理: 特にリプシッツの条件について
    • dy/dx=√y が y=0 上でリプシッツの条件を満たさないこと
  • 解の存在について: ピカールの逐次近似法
    • 微分方程式の積分方程式への書き換え
    • ピカールの逐次近似法とそのデモンストレーション
• 参考文献: 笠原晧司著『微分方程式対話』(日本評論社)
  謎の関西弁を話す学生3人と教授が、わいわいやりながら微分方程式を勉強していく対話形式の本。第3週, 第4週が解の一意性定理、解の存在定理に相当しますが、それ以外の部分も面白く読めると思います。これで2,500円は安い! (と思います)
• 参考資料3 (解の存在と一意性定理について; 証明についての加筆分あり)
• 参考資料: ロジスティック方程式 dy/dx=y(1-y/11), y(0)=1 の解の逐次近似
  逐次近似の計算結果 (目がちかちかしますので体調が万全なときにご覧下さい)
• 演習問題7
• 小テスト6   問題 2FI     2EJ     略解 2FI    2EJ
  2FI: 100名受験 平均3.87点/8点 最高点8点 (2名)     2EJ: 122名受験 平均3.66点/8点 最高点8点 (7名)

2015年5月16日 (月), 5月19日 (木)

• 第6回 レジュメ
• 完全微分方程式
  • 完全微分方程式の定義と例、2変数関数の全微分との関係
  • 完全微分方程式の一般解: “原始関数” を求めれば一般解は求まる
  • 完全微分方程式の解法: 完全性条件と線積分による “原始関数”の構成
  • 問題演習
  • 積分因子について: 掛けると完全微分方程式になる「不思議な」関数
• 映像資料: エントロピーって何? (英語)
  若干速いけど聞き取り易い英語だと思います。
• 参考資料2 (完全微分方程式について / 追記分あり)
• 演習問題6
  ※ 演習問題6-1. (3) の式が 間違っています! 上記のリンク先を見て訂正しておいて下さい。
• 小テスト5   問題 2FI     2EJ     解答 2FI    2EJ
  2FI: 102名受験 平均4.56点/7点 最高点7点 (15名)     2EJ: 127名受験 平均3.73点/7点 最高点7点 (16名)

2015年5月9日 (月), 5月12日 (木)

• 第5回 レジュメ
• 1階線形微分方程式 (続)
  • 非斉次1階線形微分方程式の解法 — ラグランジェの定数変化法
  • 問題演習
  • 非斉次1階線形微分方程式の解の公式と証明: 定数変化法と積分因子の利用
• 参考資料: 講義で扱った例題の 勾配場と解曲線
  特殊解に「同伴方程式の一般解」が巻き付いているイメージが観察出来る。
• 映像資料:
  • 偏微分方程式を解いていたらテロリストと間違えられて通報された経済学者の話 (ニュース動画: 英語)
    皆様も電車内等で微分方程式を解く際にはご注意を。
  • BBC アガサ・クリスティ ミス・マープル『牧師館の殺人』 The Murder at the Vicarage (ジョーン・ヒックソン主演)
    ※ 著作権関係により動画は貼れません。興味を持った方はレンタルして観てみましょう。原作小説もお薦め。
  • ニホンウナギ稚魚の乱獲防止、政府が呼び掛け(ニュース動画: 日本語)
• 演習問題5
• 小テスト4   問題 2FI     2EJ     解答および講評 (講評は集計後随時更新) 2FI    2EJ
  2FI: 103名受験 平均5.11点/7点 最高点7点 (29名)     2EJ: 127名受験 平均5.42点/7点 最高点7点 (45名)
  ※ FIクラスの小テストの表題が「第5回」になっていましたが、「第4回」の誤植です。すみません (こちらに置いてあるものは直してあります)。

2015年5月5日 (木)

こどもの日 による休講 (2EJクラスのみ)

2015年4月28日 (木), 5月2日 (月)

• 第4回 レジュメ
• 1階線形微分方程式
  • 1階線形微分方程式の定義, 斉次方程式と非斉次方程式
  • 斉次1階線形微分方程式の解法: 2通りの証明 (変数分離法と積分因子の利用), 問題演習
  • 1階線形微分方程式の解の構造: 「特殊解+同伴方程式の一般解」
  ※ 特殊解の求め方は、次回扱います。
• 映像資料: ガリレオ=ガリレイによるピサの斜塔での落体実験の再現映像
  講義の際には巧く音声が流れませんでしたが、非常に聞き取り易い英語なのでリスニングの練習がてら聴いてみて下さい。iPhoneでは巧く音声が流れないようです。
• 演習問題4
• 小テスト3   問題 2FI     2EJ     解答および講評 2FI    2EJ
  2FI: 102名受験 平均4.75点/7点 最高点7点 (11名)     2EJ: 140名受験 平均4.15点/7点 最高点7点 (17名)

2015年4月21日 (木), 4月25日 (月)

• 第3回 レジュメ
• 同次形1階微分方程式
  • 同次形1階微分方程式の定義と例、見分け方 — “同じ次数の同次式の商” は同次形
  • 同次形1階微分方程式の解法: u=y/x と変数変換して変数微分形に帰着
  • 問題演習
• 参考資料: 講義で扱った例題の 勾配場と解曲線
  変数変換を挟んでいることもあって、大分複雑な解曲線が現れるようになっていますね。
• 演習問題3
  ※ 配布プリントの演習問題3-1. (1) 解答で、一箇所 x が抜けているので注意。リンク先のpdfファイルでは赤字で修正してあります。
• 小テスト2   問題 2FI     2EJ     解答および講評 2FI    2EJ
  2FI: 107名受験 平均3.83点/7点 最高点7点 (5名)     2EJ: 140名受験 平均5.16点/7点 最高点7点 (25名)

2015年4月14日 (木), 4月18日 (月)

• 第2回 レジュメ
• 変数分離形微分方程式
  • 変数分離形微分方程式の定義と例
  • 変数分離形微分方程式の解法 — 変数分離法
  • 問題演習
• 参考資料: 講義で扱った微分方程式の 勾配場と解曲線
• 演習問題2
  ※ 演習問題2-1. (2) の略解から y=0 が抜け落ちていましたので、付け加えておいて下さい!
  ※ 配布プリント内 チャレンジ問題2. (3) の N''(t) の計算に一部誤植があったため訂正しました。すみません。
• 小テスト1   問題 2FI   2EJ     解答および講評 2FI   2EJ     ※ 解答誤植修正あり (4/19 追記)
  2FI: 105名受験 平均3.81点/8点 最高点8点 (8名)     2EJ: 140名受験 平均4.90点/8点 最高点8点 (18名)

2015年4月7日 (木), 4月11日 (月)

• 第1回 レジュメ
• 微分方程式とは何か?   — アメーバの増殖問題を例に
  • アメーバの増殖問題 — 「10,000匹を超えるのは何秒後?」
  • 微分方程式の立式、「微分方程式を解く」とは
  • 微分方程式の図形的意味: 勾配場
  • 厳密解の求め方: 変数分離法 (次回詳しく扱います)
  • 自然科学と微分方程式 — なぜ「微分方程式を解ける」ようになる必要があるのか?
• 講義に関するガイダンス ガイダンス資料
• 参考資料: 微分方程式 dx/dt=x の 勾配場と解曲線
• 演習問題1 (4/14 差し替え)
  ※ 演習問題1-2. の解答で、一部式が間違っていたので修正しました (指摘して下さった方、ありがとうございました)。

講義日程

2FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   11日, 18日, 25日
5月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日
6月   6日, 13日, 20日, 27日
7月   4日, 11日, 18日 (海の日 / 授業実施日), (25日)

2EJ科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日, 14日, 21日, 28日
5月   5日 (こどもの日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日,30日
7月   7日, 14日, 21日, (28日)