メディア処理の (ための) 基礎数学 (線形代数学Ⅲ)   Linear Algebra Ⅲ for Media Processing

未来科学部2年
FI科 (月曜5限)

担当: 原 隆

場所: 2号館2504教室

講義内容 (シラバスより):
　「行列の標準形」の理論とは、ベクトル空間の基底を巧く取り替えて行列 (線形変換) をなるべく簡潔な形で表す理論であり、実用上も非常に重要な理論である。
　本講義では計量ベクトル空間及び行列の標準形の理論の基礎事項について解説する。最初にベクトル空間の内積及び正規直交基底の概念について学び、続いてどの様な正方行列が対角化可能であるかについて、ベクトル空間の内積と関連付けながら解説する。応用として、２次形式や２次曲線、2次曲面の分類などを取り上げる。 　

教科書: 特に指定しない (プリントを配布する; 画像は昨年度の教科書)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 8月19日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (遅くなってすみません; 誤植等は気力があれば随時更新予定)。
• 7月19日   7月19日 (月) 実施の学期末考査の成績速報を掲載いたしました。
• 7月18日   7月18日 (月) 実施の学期末考査の問題および略解を掲載いたしました。
• 7月11日   7月11日 (月) までの講義内容を更新しました。演習問題解答等は早急にアップします。
• 6月27日   6月20日 (月), 6月27日 (月) 分の講義内容を更新しました。
• 初回講義は 4月11日 (月) です。

講義内容

2015年7月18日 (月)   海の日

• 学力考査
  • 学期末考査     問題   略解
    速報 19名受験   S:4名 A:7名 B:5名 C:3名 D:0名 0名放棄    (全員単位を取得しております)
    • 試験中に訂正した問題文の誤植 (第3問 および 第7問 (3)) については赤字で修正しておきました。
  • 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

答案の返却は7月21日(木) 午後以降 40903A室 にて受け付けます
基本的に平日のみ。なお、いつも在室しているとは限らないので、事前にメールでアポイントを取ることをお奨めします。

2016年7月11日 (月)

• 行列のジョルダン標準形について
  • 2次正方行列のジョルダン標準形 — 対角化不可能な行列の “標準形”
  • 演習問題: 2次正方行列のジョルダン標準形
• 参考資料10 (2次・3次行列のジョルダン標準形について)
• 小テスト13   問題   解答     集計中

2015年6月29日 (月)

• 2次曲線・2次曲面の分類
  • 2次形式の直交化と2次曲線の概形
  • 2次形式の符号による2次曲線・2次曲面の分類
• 参考資料9 (2次曲線・2次曲面の分類)
• 小テスト12   問題   解答     集計中

2015年6月27日 (月)

• 2次形式 (続)
  • 直交変数変換による2次形式の対角化 (続)
  • 2次形式の標準形とシルヴェスターの慣性法則
    どんな変数変換でクロスタームを消しても、符号は一定になる!
• 学期末考査および成績評価について
• 小テスト11   問題   解答     集計中

2015年6月22日 (月)

• 行列の対角化 (続)
  • 対称行列の対角化 (続)
    • 直交行列による対称行列の対角化について (補足)
    • 対称行列の相異なる固有値に関する固有ベクトルが (自動的に) 直交すること
• 2次形式
  • 2次形式の定義
  • 2次形式と対称行列の関係
  • 2次形式の理論でやりたいこと: 変数変換をしてクロスタームを消去する
  • 直交変数変換による2次形式の対角化
• 参考資料8 (2次形式)
• 小テスト10   問題   解答     集計中

2015年6月13日 (月)

• 行列の対角化 (続)
  • 対称行列の対角化 (続)
    • 練習問題: 対称行列の対角化
    • 直交行列での対角化: 固有ベクトルを正規直交化する
• 小テスト9   問題   解答     集計中

2015年6月6日 (月)

• 行列の対角化 (続)
  • 対角化可能性: 対角化不可能な行列の例と対角化可能な条件
  • 対称行列の対角化
    • 対称行列の定義
    • 対称行列の性質1: 「対称行列の特性多項式の根は全て実数」
    • 特性多項式の根が実数でない例: 回転行列
    • 対称行列の性質2: 「対称行列は直交行列によって対角化出来る」
  • 参考資料7 (対称行列の対角化)
  • 小テスト8   問題   解答     17名受験 平均6.21点/8点 最高点8点(3名)

2015年5月30日 (月)

• 行列の対角化 (続)
  • 固有値・固有ベクトルと行列の対角化: 問題演習
  • 補足1: 固有値と固有ベクトルの求め方について (復習)
  • 補足2: 行列の対角化の意味 — 固有ベクトルを基底としたときの線形変換の行列表示
  • 対角化可能性: 特性多項式が重根を持つときは、対角化できない可能性がある
• 小テスト7   問題   解答     15名受験 平均2.17点/7点   最高点: 6点 (1名)

2015年5月23日 (月)

• 直交変換と直交行列 (続)
  • 直交変換の行列表示と直交行列
  • 直交行列は「正規直交基底を並べたもの」
• 行列の対角化
  • 固有値と固有ベクトル
    • 固有値、固有ベクトルの定義
    • 固有値の求め方: 特性多項式
  • 参考資料6 (行列の対角化と対角化可能性)
  • 小テスト6   問題   解答     16名受験 平均4.40点/7点   最高点: 7点 (1名)

2015年5月16日 (月)

• 数ベクトルの内積 (続)
  • グラム・シュミットの正規直交化法: 問題演習
• 直交変換と直交行列
  • 直交変換の定義 — 内積との両立性
  • 直交変換の例: 平面ベクトルの回転変換
  • 正規直交基底の直交変換での像は正規直交基底
• 参考資料5 (直交変換と直交行列)
• 小テスト5   問題   解答     19名受験 平均4.00点/7点   最高点: 7点 (2名)

2015年5月9日 (月)

• 数ベクトルの内積 (続)
  • フーリエ級数展開と正規直交基底 (続)
    • フーリエ級数展開の例
    • フーリエ級数展開=正規直交基底に関する成分表示
    • 関数を「ベクトル」と捉えるために — 抽象ベクトル空間について
  • グラム-シュミットの正規直交化法 — 与えられた基底から正規直交基底を構成するアルゴリズム
    • 数ベクトルの正射影の定義、直交化の原理
    • 正規直交化の例
• 参考資料4 (グラム・シュミットの正規直交化法)
• 小テスト4   問題   解答     19名受験 平均4.67点/7点   最高点: 7点 (4名)

2015年5月2日 (月)

• 数ベクトルの内積
  • コーシー-シュワルツの不等式と三角不等式、及びその証明の概略
  • 正規直交基底
    • 正規直交基底の定義
    • 正規直交基底の例: 標準基底、平面の標準基底の「回転」
    • 正規直交基底の成分表示と内積
  • フーリエ級数展開と正規直交基底 (発展)
    • 区間 [-π,π] 上の関数の「内積」
    • 三角関数の直交性の「正規直交基底」としての再解釈
    • フーリエ級数展開=正規直交基底に関する成分表示 (次回もう少し補足します)
• 参考資料3 (ベクトルの内積と正規直交基底)
• 小テスト3   問題   解答     17名受験 平均5.93点/7点   最高点: 7点 (12名)

2015年4月25日 (月)

• 数ベクトル空間の基底 (続)
  • 線形変換と基底の取り替え
    • 順序付き基底に関する線形変換の行列表示 (または表現行列) の例 (復習)
    • 基底の取り替えと線形変換の行列表示
    • 「行列の標準形の理論」=「基底を巧く取り替えて線形変換の行列表示をなるべく単純にすることを目指す理論」
• 数ベクトルの内積
  • 数ベクトルの内積、ノルム、直交性の定義 — 平面ベクトル、空間ベクトルの内積を拡張して、「図の描けない世界」に内積を導入する
  • 内積の性質 — 可換性、双線形性、コーシー=シュワルツの不等式、三角不等式 (次回補足します)
• 参考資料2+ (4/26 追加)
• 小テスト3   問題   解答と講評     19名受験 平均4.07点/7点   最高点: 7点 (3名)

2015年4月18日 (月)

• 数ベクトル空間の基底 (続)
  • 基底の変換行列
    • 基底の変換行列の定義
    • 基底の変換行列の計算方法と例, 計算演習
    • 異なる基底に関するベクトルの成分表示の間の関係
  • 線形変換
    • 数ベクトル空間 Rⁿ の線形変換の定義
    • 基底に関する線形変換の行列表示 (または表現行列)
    • 線形変換の行列表示の意味 — 線形変換を「行列を掛ける」操作として捉える
• 参考資料2 (線形変換と基底の取り替え) 次回 (4/25) も持参して下さい!
• 小テスト1   問題   解答と講評     19名受験 平均5.47点/7点   最高点: 7点 (8名)

2015年4月11日 (月)

• はじめに — 本講義で扱う内容=「線形変換の幾何学と行列の標準形」
• 講義についてのガイダンス 配布資料
• 数ベクトル空間の基底
  • ベクトルの線形独立性 (復習)
  • ベクトルの線形独立性の判定: 問題演習
  • 数ベクトル空間の基底の定義
  • 基底の例: 標準基底, 標準基底以外にも基底は沢山存在する
  • 基底に関する成分表示とその求め方: 問題演習
• 参考資料1 (誤植訂正あり / 次回 (4/18) も持参して下さい!)

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講義日程

2FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   11日, 18日, 25日
5月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日
6月   6日, 13日, 20日, 27日
7月   4日, 11日, 18日 (海の日 / 授業実施日), (25日)

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Copyright © 2010 – Takashi Hara 最終更新日: 2017年3月27日