線形代数学Ⅰ   Linear Algebra Ⅰ

工学部 1年
EJ・EH・ES 科 (木曜2限)
EK・EF 科 (金曜1限)

担当: 原 隆

場所: 1EJ・1EH・1ES科 … 2号館2703教室

講義内容 (シラバスより):
　この科目では、高校で学んだベクトルをさらに深く学んだ上で、行列について入門的事項を学ぶ。
　線形代数は、多くの理工系分野の基礎をなしている。線形代数において、幾何学的なイメージをもつことは非常に重要であるので、前半では、３次元ベクトルと空間図形とが関連する題材を扱う。行列については、２行２列の行列から始め、平面の１次変換などを通じ十分慣れ親しんでから、一般の行列へ進む。後半は、行列の応用として連立１次方程式の解法などを学習する。　

教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 8月18日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (誤植等は気力があれば随時更新予定)。
• 8月17日   学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新。
• 7月28日   7月22日 (金), 7月28日 (木) までの講義内容を更新しました。演習問題および確認問題にはすべて解答を付けてあります (誤植があったらお知らせ下さい)。
  本年度の講義はすべて終了致しました。期末試験頑張って下さい!!
• 4月7日 (木), 4月8日 (金) の講義は休講です!    初回講義は 4月14日 (木), 4月15日 (金) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!

講義内容

ウェブページの更新は概ね木曜クラス、金曜クラスの両方の講義が終了した後となります。

8月1日 (月)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  2EKEF(金1)クラス   55名受験 期末試験平均点 78.27点 最高得点 100点   S 18名, A 17名, B 7名, C 4名, D 9名   2名欠席
  2EJEHES(木2)クラス   47名受験 期末試験平均点 79.11点 最高得点 100点   S 18名, A 12名, B 9名, C 2名, D 6名   欠席なし
  ※ 期末試験の講評および答案返却については、8月中旬頃を目処にこちらのウェブサイトにておしらせします。

  学期末考査答案返却および採点講評について
  • 学期末試験の採点講評およびアンケートの自由回答欄へのコメントは、8月18日 (木) にこちらに掲載します。その後、希望者には4号館40903A研究室にて答案を返却致します。
  • 答案返却は基本的に 平日のみ 受け付けます。また、8月中は現時点では 8月18日 (木), 19日 (金) のみ 在室予定です。これらの日も、常に研究室にいるとは限りませんので、事前にメールなどでアポイントメントを取っていただいた方が確実です。
  • 成績は 9月2日 (金) にUNIPA上で確認することも可能です (但し、UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
  • 答案返却のためのメールでのアポイントメントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2016年7月22日 (金), 28日 (木)

• 行列の行標準形と連立一次方程式 (続)
  • 逆行列の求め方 (続)
    • 基本行列と行基本変形の対応 (前回の続き)
    • 行基本変形で変形された行列は、左から (基本行列の積で表される) 正則行列をかけて得られること
        — 具体例とともに
    • 逆行列を持つための階数に関する必要十分条件
  • 行標準形の存在と一意性定理の証明の概略
    • 一意性の証明の概略
        — 2通りの行標準形が得られたとして同じ行標準形となることを確かめる

2016年7月15日 (金), 21日 (木)

• 行列の行標準形と連立一次方程式 (続)
  • 連立一次方程式の解法
    • 連立一次方程式の解が存在しない場合の例
    • カペリ-ルーシェ (Capelli-Rouché) の定理
        —連立一次方程式が解を持つための条件とパラメータの個数について
  • 逆行列の求め方
    • 行基本変形を用いた逆行列の計算法と具体例
    • 問題演習: 逆行列の求め方
    • 基本行列の定義と逆行列の求め方の方針 (次回に続く)
• 確認問題7 および 解答

2016年7月8日 (金), 14日 (木)

• 行列の基本変形と連立一次方程式 (続)
  • 行列の行基本変形と行標準形 (続)
    • 行標準形の判定, 行基本変形による行標準形への変形 (続)
    • 全ての行列は、行基本変形によって一意的に行標準形に変形出来る (証明は後回し)
    • 行標準形への変形例: ガウスの消去法 (Gaussian elimination)
    • 行列の階数の定義 (ピボットの個数)
  • 連立一次方程式の解法
    • 拡大係数行列の行基本変形による連立一次方程式の解法 (問題演習)
• 参考資料3 (ガウスの消去法について)
• 確認問題6 および 解答

2016年7月1日 (金), 7日 (木)

• 行列の基本変形と連立一次方程式
  • 連立一次方程式の消去法による解法と拡大係数行列
  • 行列の行基本変形と行標準形
    • 行列の行基本変形 (R1), (R2), (R3) の定義
    • 行標準形 (row normal form) の定義, 行標準形の判定
    • 行標準形の判定, 行基本変形による行標準形への変形 (宿題)
• 本講義の成績評価について
• 演習問題4 および 解答 (レポート問題: 7月15日 (金), 21日 (木) 締切)

2016年6月24日 (金), 6月30日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 逆変換と逆行列 (続)
    • 逆変換と逆行列 (復習)
    • 問題演習: 逆行列の計算
    • 応用: 線形変換の行列表示の逆行列を用いた求め方
• 一般の行列とその演算
  • 一般の行列の定義と用語の解説
  • 行列の演算: 足し算、スカラー倍、積
• 確認問題5 および 解答

2016年6月17日 (金), 6月23日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 行列の演算 — 線形変換と対応させて (続)
    • 行列の積は結合法則、分配法則を満たす (交換法則は満たさない!)
    • 結合法則、分配法則の意味 — 線形変換の観点から
  • 逆変換と逆行列
    • 恒等変換の定義とその性質
    • 恒等変換の行列表示: 単位行列
    • 逆変換の定義
    • 逆変換は常に存在するとは限らない: x軸への正射影を例に
    • 逆行列が存在するための条件: 行列式が0にならない
    • 逆変換の行列表示: 逆行列
• 演習問題3 および 解答 (レポート問題: 7/1 (金), 7月7日 (木) 締切)

2016年6月10日 (金), 6月16日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 行列の演算 — 線形変換と対応させて
    • 行列の和、スカラー倍、積の定義 — 線形変換との対応を重視して
    • 線形変換の合成と行列の積
    • 問題演習: 行列の積は交換法則を満たさない!

2016年6月3日 (金), 6月9日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列 (続)
  • 平面ベクトルの線形変換 (続)
    • 線形変換の行列表示の計算法
    • 問題演習
• 確認問題4 および 解答

2016年5月27日 (金), 6月2日 (木)

• ベクトルの線形変換と行列
  • 平面ベクトルの線形変換
    • 線形変換の定義 — 特に「線形性」に注目して
    • 線形変換の例: 回転変換、鏡映変換、正射影
  • 線形変換の行列表示
    • 線形変換でうつる先は e_x, e_y のうつる先で決まる (!)
    • 回転変換の行列表示と回転行列
    • 線形変換と (2次正方) 行列との対応について (次回補足します)

2016年5月20日 (金), 26日 (木)

• 空間図形とベクトル (続)
  • 平面のベクトル方程式Ⅰ: 法線ベクトルの利用
    • 宿題の解説
    • x,y,zの1次方程式は平面を表す
    • 空間内の直線は連立方程式 (2つの等式) で表される
  • 平面のベクトル方程式Ⅱ: 平面のパラメータ表示
    • パラメータ表示を用いた平面の方程式の立て方
• 演習問題2 および 解答 (レポート問題: 6/3 (金), 6/9 (木) 締め切り)
• 確認問題3 および 解答

2016年5月13日 (金), 19日 (木)

• 空間図形とベクトル
  • 直線のベクトル方程式
    • 方向ベクトルと通る点を決めれば直線は1本に定まる
    • 直線のベクトル方程式の立て方
    • 直線のパラメータ表示、直線の方程式
    • 問題演習
  • 平面のベクトル方程式Ⅰ: 法線ベクトルの利用
    • 法線ベクトルと通る点を決めれば平面は1つに定まる
    • 平面のベクトル方程式の立て方Ⅰ, 平面の方程式
    • 問題演習 (宿題; 次回冒頭で解説します)

2016年5月6日 (金), 12日 (木)

• 平行六面体の体積と3次行列式
  • 3つの空間ベクトルが張る平行六面体
  • 平行六面体の体積とスカラー三重積
  • 問題演習: 平行六面体の体積
  • 3次行列式の定義: 「3次行列式=スカラー三重積」
  • 3次行列式の計算法: サラスの公式 (Sarrus' formula)
  • 3次行列式 (スカラー3重積) の符号の意味: 右手系か左手系か？
  • 平行六面体の体積公式の証明
• 演習問題1 および 解答 (レポート問題: 5/20 (金), 5/26日 (木) 締め切り)
• 確認問題2 および 解答/講評

2016年5月5日 (木)

こどもの日 による休講 (1EJEHESクラスのみ)

2016年4月28日 (木), 29日 (金)

• ベクトルの外積
  • 空間ベクトルの外積の定義
  • ベクトルの外積の性質: 外積の歪対称性、(双)線形性   参考資料2 (外積の分配法則について)
  • 外積の成分表示: 双線形性を用いて
  • 外積の計算演習
  • 閑話休題: 力のモーメントとベクトルの外積 (2EKEFクラスは次回冒頭に少し補足します)

2016年4月21日 (木), 22日 (金)

• ベクトルの内積 (続)
  • 平行四辺形の面積 — 内積の応用として
  • 平面ベクトルと2次行列式
    • 平面ベクトルの成分表示と平行四辺形の面積
    • 2次行列式の定義
    • 2次行列式の符号の意味 — ベクトルの位置関係 (反時計回りか時計回りか?)
• 確認問題1 および 解答/講評

2016年4月14日 (木), 15日 (金)

• ガイダンス: この講義で扱うこと — 「ベクトルとその変換の幾何学」, 「連立一次方程式と行列」
  ガイダンス資料 (オフィスアワーの誤植は修正しました)
• ベクトルの内積
  • 内積の定義と性質
    • 内積の定義 (復習) — 特に「正射影の “大きさ”」との関係について
    • 内積の性質 — 特に双線形性を中心に,   参考資料1 (内積の分配法則について)
    • ベクトルの成分表示と内積 — 内積の双線形性の応用として
      • 空間ベクトルの成分表示と基本ベクトル e_x, e_y, e_z との関係
      • 成分表示されたベクトルの内積公式の導出 — 双線形性を用いて基本ベクトル間の内積に帰着する

講義日程

1EJ・1EH・1ES科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日 (休講), 14日, 21日, 28日
5月   5日 (こどもの日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日
7月   7日, 14日, 21日, (28日)

1EK・1EF科   (UNIPA も参照のこと)

4月   8日 (休講) 15日, 22日, 29日 (昭和の日 / 授業実施日)
5月   6日, 13日, 20日, 27日
6月   3日, 10日, 17日, 24日
7月   1日, 8日, 15日, (22日)