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微分積分学および演習Ⅱ Calculus Ⅱ
工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)
担当: 原 隆
場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2602教室
講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツによって創始され、その後様々な数学者によって築かれてきた微分積分学は、自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。
この講義では前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容に引き続き、多変数（特に2変数）関数の微分、積分を学ぶ。
予備知識として前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容を前提とする。
教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門 微分積分』 裳華房
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
お知らせ / 更新履歴
- 2月2日 学期末考査の速報 (確定版) および答案返却についてのお知らせ、採点講評および授業アンケートの自由回答欄へのコメントを更新しました。
- 1月30日 1月30日の講義内容 (学力考査)を更新しました。今年度の講義はすべて終了です。1年間ご清聴ありがとうございました。
学力考査の採点結果、答案返却についてのお知らせ、採点講評および授業アンケートの自由回答欄へのコメントは順次このページで更新してゆきます。
- 1月27日 1月27日の講義内容を更新しました。演習問題13の解答を公開しました。
- 1月24日 1月24日の講義内容を更新しました。また演習問題11 の残りの問題の解答と演習問題12の解答を公表しました (遅くなってすみません)。
- 1月20日
1月20日の講義内容を更新しました。最終週 1/24, 1/27 は条件付極値問題 (ラグランジェの未定乗数法) を扱います (試験では選択問題)。
- 1月17日 明けましておめでとうございます。1月17日の講義内容を更新しました。
- 初回講義は 9月13日 (火) です。また、9月20日 (火), 9月23日 (金) は 休講 です (9月16日 (金) は通常通り授業を実施します)。
- この講義の試験は 特定科目考査日 (2017年1月28日 または 30日) に実施されます。
講義内容
- 2017年1月30日 (月)
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- 2017年1月27日 (金)
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- 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法 (続)
- 問題演習: 条件付極値問題とラグランジェの未定乗数法 問題10-1. (4) まで
閑話休題: シャノンの情報理論とエントロピーの最大化問題
- ラグランジェの未定乗数法の原理: 束縛条件の陰関数を用いて1変数関数に帰着する (y を消去)
- 2017年1月24日 (火)
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- 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法
- 条件付き極値問題とは — 何が難しいか?
- ラグランジェ関数の定義: 考えている関数と束縛条件から3変数関数を作り出す
- ラグランジェの未定乗数法: ラグランジェ関数の臨界点が極値の候補
- 例題および問題演習
- 参考資料7 (条件付極値問題とラグランジェの未定乗数法)
- 演習問題13 (講義内問題演習用)
- 2016年1月20日 (火)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理 (続)
- 質点系の重心 (復習)
- 平面図形の重心 — “細く分けて、微小長方形を質点に近似する”
- パップス-ギュルダンの定理の証明: 重心の x座標とバウムクーヘン分割の関係について
- 2017年1月17日 (火)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理
- 平面図形の重心 — 「物理的な意味」
- パップス-ギュルダンの定理
- パップス-ギュルダンの定理の利用例、演習
- 質点系の重心: 「力のモーメントの釣り合いの点」として
次回は平面図形の重心の重積分を用いた表示を学習し、パップス-ギュルダンの定理を証明します。
- 2016年12月23日 (金) 天皇誕生日
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
- 問題演習: 空間図形の体積 (続)
…… 問題11-1. (6) の解説まで。お疲れ様でした。
- 演習問題12 (レポート課題) 2017年1月24日 (火) 解答公開
- 2016年12月20日 (火)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の応用: 空間図形の体積 (続)
- 問題演習: 空間図形の体積 (続)
…… 問題11-1. (2) 解説まで。次回は (1), (3) の解説から
- 2016年12月16日 (金)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
- 変数変換公式の証明の概略: “uv平面の領域Eを碁盤の目状に切断し、xy平面の領域Dはそれに応じてカットする”
— ヤコビ行列式は、uv平面での面積ΔuΔvの長方形に対応するxy平面の領域の面積を平行四辺形に近似して計算したもの
- 重積分の応用: 空間図形の体積
- 空間図形の求積問題について: “底面”と“高さ”を正しく設定すること
- 計算例: 円柱の平面による切断
- 問題演習: 空間図形の体積 (問題11-1)
- 参考資料6 (2重積分の変数変換公式の証明)
- 演習問題11 (講義内問題演習用 / 空間図形の体積と曲面積 / パップス-ギュルダンの定理) 2017年1月24日 問題11-2, 問題11-3 解答公開
- 2016年12月13日 (火)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
- ガウス積分の計算 (問題10-2.); 2通りの方法で広義積分を計算する
- 学期末考査・成績評価について
- 2016年12月9日 (金)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の変数変換公式 (続)
- 問題演習: 2重積分の変数変換 問題10-1. (6) まで解説
- 問題10-2. の背景 — ガウス積分の計算の戦略
- 2016年12月6日 (火)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 重積分の変数変換公式
- 1変数の場合 — 置換積分
- 重積分の積分変換公式 — dxdy を書き換える際にヤコビ行列式が掛かる
- 例1: 変数変換で積分領域を簡単にする
- 例2: 極座標変換の計算例
次回は問題10-1. (1), (2) の解説から
- 演習問題10 (講義内問題演習用 / 重積分の変数変換) 12月9日 問題10-1. 解答公開
- 2016年12月2日 (金)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の計算 (続）
- 問題演習: 2重積分の計算 (続) 問題9-1. 残りの解説
- 2016年11月29日 (火)
- 休講
- 2016年11月25日 (金)
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- 2変数関数の積分法 (続)
- 2重積分の計算
- 2重積分の計算例
- 問題演習: 2重積分の計算 問題9-1. (2) まで解説
- 演習問題9 (講義内問題演習用 / 重積分の計算) 12/7 問題9-2., 9-3. の解答公開
- 2016年11月22日 (火)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用 (続)
- 2変数関数の極値問題 (続)
- 極値判定法の証明の概略 — テイラーの近似定理の2次の項についての2次不等式に帰着する
- 2変数関数の積分法
- 重積分の定義 — 1変数関数の定積分と比較して
- 重積分の意味: “関数のグラフの下の部分の体積”
- 1変数関数の定積分の定義 (復習): 微小長方形の面積の総和 (リーマン和) の極限
- 重積分の定義: 微小直方体の体積の総和 (リーマン和) の極限
- 参考資料: リーマン和の極限としての重積分の定義 (画像資料)
分割を細かくすればするほど、微小直方体の体積の和がグラフの下の部分の体積に近づいてゆく様子が観察出来る
- 2016年11月18日 (金)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用 (続)
- 2変数関数の極値問題 (続)
- 問題演習: 2変数関数の極値問題 (問題8-1 の解説)
- 2016年11月15日 (火)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用 (続)
- 2変数関数の極値問題
- 1変数関数の極値問題: 復習と問題演習
- 2変数関数の場合の困難: 増減表が描けない! → 2階導関数を利用する
- 臨界点の定義 — 「極値点の候補」
- ヘッセ行列, ヘッセ行列式の定義と2変数関数の極値の判定法
- 例題: 2変数関数の極値問題
次回は演習問題8-1. (1)—(3) の解説から始めます。
- 参考資料5 (2変数関数の極値問題について)
- 演習問題8 (講義内問題演習用)
- 2016年11月11日 (金)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用(続)
- 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開 (続)
- 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開 問題7-2. 残りの解説
- 2変数関数のテイラーの近似定理
- 2変数関数のテイラーの近似定理
- 証明の概略: 変数変換で 1変数関数のマクローリンの近似定理に帰着する
- 参考資料4 (2変数関数のテイラーの近似定理とその証明について)
- 2016年11月8日 (火)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用 (続)
- 展開係数と偏微分係数 (続)
- 問題演習: 多項式の展開係数と偏微分係数 問題7-1. の解説
- 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開
- 2変数関数のテイラー展開/マクローリン展開の求め方
- 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開 問題7-2. (1), (2) まで
次回は 問題7-2. (3), (4), (5) の解説から入りますので、解いておいて下さい。
- 2016年11月4日 (金)
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- 2変数関数のテイラー展開とその応用
- 多項式の展開係数と偏微分係数
- 2変数の場合の厄介さ — 高次の項が文字の組合せにより複数現れる
- 偏微分を用いた多項式の展開係数の求め方と例
- 展開係数の公式
次回は 問題7-1. の答え合わせからです。
- 演習問題7 (講義内問題演習用) 11月15日 問題7-2. の解答を公開
- 2016年10月28日 (金), 11月1日 (火)
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旭祭による休校日
- 2016年10月27日 (火)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 高階偏微分 (続)
- 問題演習: 高階偏導関数の計算 問題5-1. の残り
- 偏微分の順序交換が出来ない例: 問題5-2. (1), (2), (4)
- 順序交換不可能性の図形的意味 (後日講義で用いた図を掲載します)
- 2階連続偏微分可能関数と偏微分の順序交換可能性
- 参考資料3 (偏微分の順序交換可能性について)
- 演習問題6 (レポート問題: 締切は11月11日)
※ 問題5-*. となっていたのは問題6-*. の誤植です。リンク先ファイルでは訂正してあります。
- 2016年10月21日 (金)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 (続)
- 問題演習: 合成関数の微分法 Case 2; 問題4-2. (2) まで解説
- 高階偏微分
- 高階偏導関数とその個数: n 階偏導関数は2n個
- 問題演習: 高階偏導関数の計算 問題5-1. (3) まで解説
※ 次回は問題4-1.の残りから
- 演習問題5 (高階偏微分; 講義内問題演習用) 11月4日 解答公開
- 2016年10月18日 (火)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 Case 1; 問題4-1. 残りの解説
- 合成関数の微分法 Case 2; ライプニッツの記法を用いた書き替えとヤコビ行列
- 問題演習: 合成関数の微分法 Case 2; 問題4-2. (2) まで解説
※ 次回は問題4-2. の残りの解説と合成関数の微分法の証明の概略から始めます。問題4-3. は自習課題としますが、せめて (1) だけは必ずやっておくこと!
- 参考資料2 (合成関数の微分法とヤコビ行列) 5ページ目の【自由研究】の部分を加筆してあります。
- 2016年10月14日 (金)
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- 2変数関数の微分法
- 合成関数の微分法
- 1変数関数の場合との違い; 関数を代入する箇所が x, y の2つある
- 合成関数の微分法 Case 1 — 1変数関数を代入する
- 計算例および問題演習: 合成関数の微分法 Case 1 問題4-1. (3) まで解説
- 合成関数の微分法 Case 1 の図形的意味: “媒介変数表示された曲線に沿った関数の微小変化”
- 合成関数の微分法 Case 2 — 2変数関数を代入する (変数変換)
※ 次回は 問題4-1. (4) 以降の演習・解説から
- 演習問題4 (合成関数の微分法; 講義内演習用) 11月4日 解答公開
- 2016年10月11日 (火)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 1変数関数の1次近似と接線
- 1次近似の概念 — 関数の増分 Δf を Δx の1次関数で近似する
- 最良近似条件: 誤差関数が Δx よりも速く0に収束する
- 最良近似直線 (接線) の傾きは微分係数
- 2変数関数の全微分可能性と接平面
- 全微分可能性の定義 — “(Δx, Δy) をどのように (0,0) に近づけても、誤差関数が非常に速く0に収束する”
- 最良近似平面 (接平面) の係数は偏微分係数, 全微分可能ならば偏微分可能
- 補足1: 全微分可能性の判定条件 (連続偏微分可能ならば全微分可能) — 証明は参考資料1参照
- 補足2: 関数 z=xy/(x2+y2) は 点 (0,0) で全微分不可能
※ 全微分可能性の概念はかなり高度な概念で、一朝一夕で身につくものではないと思いますので、今回の講義で良く分からなかった点、理解が追いつかなかった点があってもあまり気にせず、取り敢えず先に進んでしまいましょう。ふと気になったときにまたノートを見返してみると、新たな発見があるかもしれません。
- 参考資料1 (全微分可能性について)
- 演習問題3 (レポート問題; 10月25日 (火) 締切)
10月25日解答公開 (問題3-3. については後日加筆します)
- 2016年10月7日 (金)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 接平面の方程式 (続)
- 問題2-2. (4) 以降の演習、解説
- 問題2-3. — 偏微分係数は計算出来るのに、得られる “接平面の方程式” が明らかにおかしな例
- 敗因の検証: 偏微分では y=y0, x=x0 という2つの平面での切り口しか見ていない (!)
- 「偏微分」の概念から「全微分」の概念へ (次回に続く)
- 参考資料: 問題2-2. の接平面の図 (工事中: 近日公開予定)
- 参考資料: 全微分可能性 (講義中にプロジェクターで見せた図)
- 2016年10月4日 (火)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 接平面の方程式 (続)
- 例題: 接平面の方程式の求め方
- 問題演習: 接平面の方程式 (問題2-2.)
(3) まで解説しました。次回は (4) 以降の解説から始めます。
- 参考資料: 接平面の図 (講義中にプロジェクターで見せたもの)
- 2016年9月30日 (金)
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- 2変数関数の微分法 (続)
- 偏微分係数と偏導関数 (続)
- 接平面の方程式
- 偏微分係数の図形的意味: 「グラフの平面での切り口に現れる曲線の接線の傾き」
- 2変数関数の偏微分係数と接ベクトルの対応
- 接平面の方程式を求めるための基本戦略 (次回は例題から)
- 2016年9月27日 (火)
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- 2変数関数の微分法
- 偏微分係数と偏導関数
- 微分法のイメージ: “インプットを少し動かしたときに、アウトプットがどう変動するかを調べる”
- 1変数関数との違い — 「インプットの動かし方のヴァリエーションが多彩」
- 偏微分係数の定義と計算例
- 偏導関数の定義と計算例
- 演習問題2 (偏微分および接平面の方程式; 講義内問題演習用)
次回は 問題2-1. の演習および解説から扱います。
- 2016年9月20日 (火), 9月23日 (金)
- 休講
- 2016年9月16日 (金)
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- 2変数関数の極限と連続性 (続)
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (続)
- z=x2/(x2+y2) のグラフ 点 (0,0) で極限値を持たない
- z=x3/(x2+y2) のグラフ 点 (0,0) で極限値 0 を持つ
(少しつままれた感じになっている部分が点 (0,0,0))
- 極限の問題へのアプローチ: 「極限の候補を探してから、実際に極限値であることを極座標変換を用いて示す」
- 例題および問題演習
- 演習問題1 (レポート問題: 9/30 (金) 提出) 11月4日 解答公開
※ 次週 (9/20, 23) は 休講です!! 履修登録は確実にしておくこと!!
次回は (関数の連続性の定義をしてから) 偏微分法に入っていきます。
- 2016年9月13日 (火)
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- イントロダクション: 「2変数関数の微分積分学とは?」
- 1変数関数から多変数関数へ
- 2変数関数とそのグラフの例: 気温分布、平面、回転放物面
- 2変数関数を調べる意義: 天気予報など
- 履修に関するガイダンス 配布資料
- 2変数関数の極限と連続性
- 2変数関数の極限の定義
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (宿題)
※ 1年生には期末試験を返却しました。欠席および再履修生で、前期に私の講義を受講した人で期末試験の返却を要望する方は、個別にお知らせ下さい。
講義日程
9月 24日, 16日, 20日 (休講), 23日 (休講), 27日, 30日
10月 4日, 7日, 11日, 14日, 18日, 21日, 25日,28日 (旭祭による休校日)
11月 1日 (旭祭による休校日), 4日, 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (休講)
12月 2日, 6日, 9日, 13日, 16日, 20日, 23日 (天皇誕生日 / 授業実施日), 27日 (冬季休校), 30日 (冬季休校)
1月 3日 (冬季休校), 6日 (冬季休校), 10日 (休校日), 13日 (センター試験 / 休校日), 17日, 20日, (24日, 27日)