微分積分学および演習Ⅰ   Calculus Ⅰ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2604教室

講義内容 (シラバスより):
　ニュートンとライプニッツにより創始され、その後さまざまな数学者によって築かれてきた微分積分学（解析学ともいう）は自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。したがって、微分積分学は諸君が工学を学んでいくために欠かせない基礎知識である。
　この講義では、高校で学んだ内容に引き続いて１変数関数の微分積分を学ぶ。
　標準クラス（週２回開講）は、高校の数学Ⅲで複素数平面、三角関数、指数・対数関数の微分積分を学んだ者を主な対象とする。 　

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 8月18日   期末試験採点講評・アンケート自由回答欄へのコメントを掲載 (誤植等は気力があれば随時更新予定)。
• 8月17日   学期末試験の講評・返却についてのお知らせを更新。
• 8月3日   学期末試験の速報等を更新しました。更新していたつもりで、大分前から更新が止まっていたみたいですね。すみませんでした m(_ _)m
• 4月8日 (金) の講義は休講です!     初回講義は 4月12日 (火) です。UNIPA で受講クラスを確認すること!!

講義内容

8月1日 (月)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『微分積分学および演習Ⅰ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 (確定)

  66名受験 (うち1名追試験) 期末試験平均点 68.91点 最高得点 97点   S 7名, A 17名, B 21名, C 7名, D 14名   2名欠席
  ※ 期末試験の講評および答案返却については、8月中旬頃を目処にこちらのウェブサイトにておしらせします。

• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

学期末考査答案返却および採点講評について

• 学期末試験の採点講評およびアンケートの自由回答欄へのコメントは、8月18日 (木) にこちらに掲載します。その後、希望者には4号館40903A研究室にて答案を返却致します。
• 答案返却は基本的に 平日のみ 受け付けます。また、8月中は現時点では 8月18日 (木), 19日 (金) のみ 在室予定です。これらの日も、常に研究室にいるとは限りませんので、事前にメールなどでアポイントメントを取っていただいた方が確実です。
• 成績は 9月2日 (金) にUNIPA上で確認することも可能です (但し、UNIPA 上では評点の確認は出来ません)。
• 答案返却のためのメールでのアポイントメントには応じますが、メールによる成績照会 (単位が取れていたか) には一切応じません。

2016年7月26日 (火), 28日 (金)

休講

2016年7月22日 (金)

• 積分法 (続)
  • 広義積分: 広義積分の定義と計算例
  • 問題演習: 広義積分   問題10-2. (7) まで解説

2016年7月19日 (金)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分: 問題10-1. 残りの解説

2016年7月14日 (金)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分: 有理関数の部分分数分解
  • 有理関数の積分の計算例
  • 問題演習: 有理関数の積分   問題10-1. (5) まで解説
• 本講義の成績評価について
• 参考資料5 (有理関数の積分手順について)
• 演習問題10 および 略解 (講義内問題演習用)

2016年7月12日 (火)

休講

2016年7月8日 (金)

• 積分法 (続)
  • 図形の求積Ⅱ: 回転体の体積   問題9-2. (5) まで解説
    — 特に刳り抜き型、y軸まわりの回転体とバウムクーヘン分割について解説

2016年7月5日 (火)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 図形の求積Ⅰ   問題9-1. (5) まで解説
  • 図形の求積Ⅱ: 回転体の体積   問題9-2. (2) まで解説

2016年7月1日 (金)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 定積分の計算   問題7-3. 残り (ウォリスの公式の解説を含む)
  • 図形の求積Ⅰ: グラフの面積
• 演習問題9 および 略解 (講義内問題演習用)

2016年6月28日 (火)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 部分積分法と置換積分法   問題7-2 残り
  • 定積分の計算: 問題7-3. (1) まで解説
• 演習問題8 および 略解 (レポート問題, 7/15 (金) 締切)

2016年6月23日 (金)

• 積分法 (続)
  • 問題演習: 不定積分の計算   問題7-1
  • 部分積分法と置換積分法
  • 問題演習: 部分積分法と置換積分法   問題7-2. (2) まで
• 演習問題7 (講義内問題演習用)

2016年6月21日 (火)

• 積分法 (続)
  • 定積分の定義 (続)
    • 積分不可能な例: ディリクレの関数
  • 微分積分学の基本定理
    • 微分積分学の基本定理 Ⅰ 「面積の関数は原始関数」
    • 原始関数の差が定数であること
    • 微分積分学の基本定理 Ⅱ 「定積分は原始関数の値の差」
    • 不定積分の定義
    • 微分積分学の基本定理の証明

2016年6月17日 (金)

• 積分法
  • アルキメデスの求積法: 放物線と弦で囲まれる部分の面積
    “細かく分割して微小面積を足し合わせる”
  • 定積分の定義
    • 微小長方形の面積の和による「グラフの下の部分の面積」の近似 (リーマン和)
    • 定積分の定義: リーマン和の極限として
• 映像資料: 区分求積法: 昔の数学者はこうやって面積を計算した! (日本語)
  このアカウントで他にも色々な動画があがっているようですので、参考にしてみるのも良いかもしれません。

2016年6月14日 (火)

• 複素数平面とオイラーの公式 (続)
  • フェルマーの2平方和定理 – 素数はいつ平方数の和で表されるか?
  • ガウスの整数
    • ガウスの整数の定義
    • ガウルの整数の単数とガウスの素数
    • ガウスの素数の分布: 「ガウスの絨毯」
    • フェルマーの2平方和定理との関係: 素数が「さらに分解される」ための条件
  • フェルマーの最終定理
    • フェルマーの最終定理
    • n=2 の場合 – ピタゴラス数
    • 「素因数分解の一意性」に基づくフェルマーの最終定理へのアプローチ
    • 「素因数分解の一意性」の崩壊 — 代数的整数論の時代へ
• 参考資料4

2016年6月10日 (金)

• 複素数平面とオイラーの公式 (続)
  • 複素指数法則とオイラーの公式の応用
    • オイラーの等式 eiπ+1=0
    • 複素数の乗除と複素数平面上での回転・拡大縮小 — 複素指数関数の観点から
    • ド・モアヴル (de Moivre) の定理 (=複素指数法則)
    • 三角関数の公式と複素指数法則: 倍角の公式を例に
• 演習問題6 および 解答 (レポート問題, 締切は 6/24(金))

2016年6月7日 (火)

• 複素数平面とオイラーの公式
  • 複素指数関数
    • 複素指数関数の定義
    • 複素指数法則   参考資料3 (複素指数法則の証明について)
    • オイラーの公式: 「指数関数」と「三角関数」は複素数の世界では「兄弟」
    • オイラーの公式の証明: マクローリン展開の応用として

2016年6月3日 (金)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • テイラー/マクローリン展開の応用2: 不定形の極限
    • コーシーの平均値の定理とド・ロピタル (de L'Hospital) の定理
    • 不定形の極限: 例題
    • 問題演習 — 不定形の極限: 問題5-3. (6) まで解説
• 演習問題5+ (バーゼル問題にチャレンジ!)

2016年5月31日 (火)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • 色々な関数のテイラー展開: 補足
    • 逆三角関数のマクローリン展開について (ニュートンの公式、ルジャンドル/オイラー級数について)
    • 合成関数のマクローリン展開について
  • テイラー/マクローリン展開の応用1: 関数の近似値の計算と誤差評価
    • 問題演習 (問題5-2)
    • 誤差評価について — ラグランジェの剰余項の評価
  • テイラー/マクローリン展開の応用2: 不定形の極限
    • コーシー (Cauchy) の平均値の定理

2016年5月27日 (金)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • テイラーの近似定理と関数のテイラー展開 (続)
    • 色々な関数のマクローリン展開 (続): 問題演習 問題5-1. 残りの解説
• 参考資料2 (合成関数のテイラー展開について)

2016年5月24日 (火)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • テイラーの近似定理と関数のテイラー展開 (続)
    • 誤差項が0に収束すればテイラー展開可能
    • 色々な関数のマクローリン展開: 問題演習 問題5-1 (1), (2) まで
• 演習問題5 (講義内問題演習用)

2016年5月20日 (金)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • ロルの定理と平均値の定理 (続)
    • 平均値の定理とその証明
    • 応用: 導関数が0ならば定数関数
  • テイラー-マクローリンの近似定理
    • テイラー展開の収束性 = 剰余項 (誤差項) が0に収束するか?
    • テイラー-マクローリン (Taylor-Maclaurin) の近似定理: 剰余項の明示的表記 (ラグランジェの剰余項)
    • テイラー-マクローリンの近似定理の証明: ロルの定理の利用
• 参考資料1 (基本的な関数のマクローリン展開の収束性について)

2016年5月17日 (火)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • ロルの定理と平均値の定理
    • 連続関数の最大値・最小値の原理   (証明は実数の連続性の公理を用いるので割愛)
    • ロル (Rolle) の定理とその証明
    • (ラグランジェ Lagrange の) 平均値の定理 (証明は次回)

2016年5月13日 (金)

• テイラーの定理と関数の級数展開 (続)
  • 展開級数と微分係数 (復習)
  • 「多項式関数」の制限を外してみると……?   指数関数を例に
  • 関数の羃級数展開を考える利点について   微積分の計算が簡単、性質が分かり易いなど
  • 問題演習: 基本的な関数のマクローリン展開 (問題4-2. (5) まで)
• 参考資料: 基本的な関数のマクローリン展開について   ※ 確実に丸暗記 すること!!!!!!

2016年5月10日 (火)

• 微分法 (続)
  • 高階微分: 1階微分可能だが2階微分不可能な関数について
  • 微分可能性による関数の分類: 無限階微分可能関数は「エリート級」
• テイラーの定理と関数の級数展開
  • 多項式の展開係数と微分係数: 多項式の展開係数と微分法の関係について
  • 問題演習: 問題4-1.
• 演習問題3 および 解答 (レポート問題, 締切を 5/27 (金) に変更します)
• 演習問題4 および 解答 (講義内問題演習用; 解答は問題4-3. のみ)

2016年5月6日 (金)

• 微分法 (続)
  • 問題2-3. (5), (6) の解説
  • 1次近似と微分法
    • 微分係数の別の見方 — 一次近似
    • 「微分可能ならば連続」:1次近似の応用として
    • 連続ではあるが微分可能ではない関数 :問題2-2.
  • 高階微分: 高階導関数の定義

2016年5月3日 (日)

憲法記念日 による休講   次回講義は 5月6日 (金)

2016年4月29日 (金)

• 微分法 (続)
  • 逆関数の微分法と逆三角関数の微分: 範囲に気を付けて符号を決める
  • 逆三角関数の微分法: 問題演習及び解説 (問題2-3)
    次回は (5), (6) について幾つか補足をしてから、次の話題に入ります。

2016年4月26日 (火)

• 微分法 (続)
  • 微分法の計算法則 — 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法
  • 問題演習: 色々な関数の微分 2-1 (5) – (12)

2016年4月22日 (金)

• 関数の極限と連続性 (続)
  • 関数の連続性のイメージ: 「関数のグラフが繋がっていること」 (補足)
  • 連続関数の中間値の定理 — その意味について
• 微分法
  • 微分係数の定義
  • 問題演習: 色々な関数の微分 2-1 (1) – (4)
• 演習問題2(講義内問題演習用)

2016年4月19日 (火)

• 色々な関数 (続き)
  • 逆三角関数: 逆正弦関数, 逆余弦関数, 逆正接関数 とその主値
  • 逆三角関数の値の求め方: 問題演習
• 関数の極限と連続性
  • 関数の極限の定義
  • 余談: 「限りなく近づく」という表現の曖昧さとε-δ論法による極限の「厳密」な定義 (期末考査範囲外です!!)
  • 関数の連続性の定義
  • 関数の連続性のイメージ: 「関数のグラフが繋がっていること」
• 演習問題1 および 解答 (レポート問題, 締切は 5/6 (金), 自由提出)

2016年4月15日 (金)

• 色々な関数 (続き)
  • 定義域と値域: 宿題の答え合わせ
  • 合成関数
  • 逆関数
    • 単射関数と単調関数、単射であっても単調でない関数の例
    • 逆関数の定義と例 (対数関数など)
    • 逆三角関数: 逆正弦関数 — 「範囲を換えると逆関数の様子が大きく異なる!」

2016年4月12日 (火)

• ガイダンス — この講義で学習すること，配布資料
• 集合の記号について
• 色々な関数
  • 関数の定義 — 数を入力すると数を出力する「プログラム」
  • 関数のグラフ — 関数の規則の「視覚化」
  • 関数の定義域と値域

講義日程

1EC・FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   8日 (休講), 12日, 15日, 19日, 22日, 26日, 29日 (昭和の日 / 授業実施日)
5月   3日 (憲法記念日), 6日, 10日, 13日, 17日, 20日, 24日, 27日
6月   3日, 7日, 10日, 14日, 17日, 21日, 24日, 28日
7月   1日, 5日, 8日, 12日, 15日, 19日, (22日), 26日, (29日: 火曜授業日)