2015年度微分方程式Ⅰ (原)

トップページ > 講義 > 2015年度 > 微分方程式Ⅰ

微分方程式Ⅰ Differential Equation Ⅰ

工学部・未来科学部 2年
FI 科 (月曜3限)
EJ 科 (木曜1限)

担当: 原隆

場所: FI科 2号館2901教室, EJ科 2号館2604教室

講義内容 (シラバスより):
　微分方程式は「関数の微小変化の様子」から「その関数が元々どの様な関数であったか」を導き出すための数学的手法である。その汎用性は非常に広く、微分方程式の理論は単なる数学の一分野の枠を越え、物理学、工学など様々な方面で現象を記述するための数学的手段として広く用いられている。
　この講義では、常微分方程式の初等的な解法について講義する。　　

教科書: 特定の教科書は指定しない。ただし、以下のテキストのうち一冊は入手しておくことを強く薦める。

鶴見和之他共著『常微分方程式』（東京電機大学出版局)
泉英明著『コア・テキスト　微分方程式』(サイエンス社)
Ｅ．クライツィグ著『常微分方程式』（培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ今年度の『微分方程式Ⅰ』の講義はすべて終了致しました。半年間お疲れさまでした。
学期末試験の問題、略解、講評、授業評価アンケートの自由解答欄へのコメントをこちらに置いておきます。
期末試験の答案の返却を希望する方は、UNIPA の「授業資料」のページの記載事項を良く読んだ上で、答案を取りに来て下さい。
なお、授業評価アンケートの集計結果はこちらから閲覧出来ます (東京電機大学の共通パスワードが必要)。

ウェブページの更新は FI科, EJ科の両方の講義が終了した後となります。

毎週実施した小テストは原則として翌週返却しますが、どちらの講義も受講人数が100人を超える大人数講義ですので返却するだけでも相当な時間がかかってしまいます。したがって、講義開始5–10分前には小テストの返却を開始したいと思います。講義開始時間前で大変恐縮ではございますが、何卒ご理解とご協力をお願い致します。
なお、小テストの点数に疑問がある方は講義の時間外にご相談下さい。確認して対処します。

2015年7月20日 (月), 7月23日 (木)

学期末考査問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
※ 試験時間中に告知した問題文の訂正箇所は赤字で訂正してあります。
また、配布した略解にも若干誤植がありました。こちらも赤字で訂正してあります。
最後まで誤植が多くてすみませんでした m(_ _)m
採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント 2FI 2EJ
※ なるべく該当クラスのものだけを閲覧してね♪ (コピペがばれる～)

2015年7月6日 (月), 7月9日 (木)

定数係数連立微分方程式 (続)
- 連立微分方程式の解の安定性
- 行列の指数関数と連立微分方程式
演習問題14
参考資料6 (連立微分方程式の解の安定性)
連立微分方程式の解の安定性 (講義中に見せた図)
小テスト13 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 95名受験平均 4.14点/7点 2EJ: 86名受験平均点 4.38/7点

2015年6月29日 (月), 7月22日 (木)

定数係数連立微分方程式
- 定数係数連立微分方程式と係数行列の固有値・固有ベクトル
- 定数係数連立微分方程式の解法
演習問題13
※ 確認問題13. (1), (2) の答えに誤植がありました。すみません。
ウェブ掲載版は該当箇所を赤字で修正してあります。
小テスト12 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 99名受験平均3.30点/7点 2EJ: 88名受験平均点 3.30/7点

2015年6月22日 (月), 6月25日 (木)

定数係数斉次2階微分方程式 (続)
- 非斉次の場合Ⅲ: ヘヴィサイドの演算子法
  - ヘヴィサイドの演算子法: 逆演算子を文字式のように計算する
  - 演算子法による特殊解の求め方, 問題演習
参考資料: 参考資料5 (ヘヴィサイドの演算子法)
演習問題12
本講義の成績評価について
小テスト11 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 98名受験平均2.83点/7点 2EJ: 103名受験平均4.07点/7点

2015年6月18日 (木), 6月20日 (土) (2FI 補講分)

定数係数斉次2階微分方程式 (続)
- 非斉次の場合Ⅱ: 定数変化法
  - 定数変化法とは: 同伴方程式の解のパラメータ C_1, C_2 を x の関数におき替える
  - 定数変化法による特殊解の求め方
演習問題11
小テスト10 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 103名受験平均5.17点/36点 2EJ: 90名受験平均4.39点/7点
※ FIクラスの小テストの解答が、20日に配布したものは問題が違っておりました。
大変申し訳ございませんでした。22日に配布したものは修正してあります。上記のリンク先でも赤字で修正してあります。

2015年6月11日 (木), 6月15日 (月)

定数係数斉次2階微分方程式 (続)
- 非斉次の場合Ⅰ: 未定係数法
  - 未定係数法の考え方: 「特殊解の形を予想する」
  - 未定係数法による特殊解の求め方, 問題演習
参考資料: 未定係数法に於ける解のおき方
演習問題10
※ 確認問題10. (5) の答えが全く違っていました。すみません。
ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト9 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 103名受験平均4.30点/7点 2EJ: 103名受験平均4.28点/7点
※ 配布した略解の問題9-2. (1) の答えが間違っておりました。それぞれ 3,10 の後ろのλは誤植です。大変申し訳ございませんでした。上記のリンク先では赤字で修正してあります。

2015年6月4日 (木), 6月8日 (月)

定数係数斉次2階微分方程式
- 斉次の場合
  - 「指数関数の形」で解を探す
  - 特性方程式と解の基本形
  - 特性方程式が虚数解を持つ場合: オイラーの公式を用いた変形
  - 特性方程式が重解を持つ場合: もうひとつの解を「無理矢理作る」
演習問題9
小テスト8 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 101名受験平均4.93点/7点 2EJ: 102名受験平均3.14点/7点

2015年5月28日 (木), 6月1日 (月)

線形微分方程式の解の構造
- 線形微分方程式の定義、解の構造その1 「一般解=特殊解+同伴方程式の一般解」
- 斉次線形微分方程式の解の構造: 重ね合せの原理、解の基本形の存在定理
- 関数の線形独立性とロンスキー行列式
参考資料4 (線形微分方程式の解の構造)
演習問題8
※ 確認問題8-1. (1) の答えの符号が間違っていました。すみません。
ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト7 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 102名受験平均2.75点/7点 2EJ: 112名受験平均2.30点/7点

2015年5月21日 (木), 5月25日 (月)

常微分方程式の解の存在と一意性定理
- 導入: 初期値問題の一意性とは?
  “勾配場に葉っぱを浮かべるとその軌跡 (解曲線) が1つ決まる” はどの程度正しいのか?
- 初期値問題の一意性が成り立たない例: dy/dx=√y
- 常微分方程式の解の存在と一意性定理: 特にリプシッツの条件について
- dy/dx=√y が y=0 上でリプシッツの条件を満たさないこと
- 解の存在定理について: ピカールの逐次近似法
参考資料3 (解の存在と一意性定理の証明の概要) ※ 5/28 改訂
※ 興味がある人は、こんなものを読むよりも笠原晧司著『微分方程式対話』の第3、4週を読まれた方が楽しく学べると思いますよ。
参考資料: 微分方程式 dy/dx=√y の勾配場と解曲線
放物線群が y=0 という解曲線と交わっているのが観察出来る
参考資料: ロジスティック方程式 dy/dx=y(1-y/11), y(0)=1 の解の逐次近似
逐次近似の計算結果 (体調が万全なときにご覧下さい) 逐次近似のグラフ
演習問題7
小テスト6 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 108名受験平均3.59点/7点 2EJ: 114名受験平均5.11点/7点

2015年5月14日 (木), 5月18日 (月)

完全微分方程式
- 完全微分方程式の定義
- 完全微分方程式の例
- 条件 Ⅰ についての補足 — 定義域の単連結性
- 完全微分方程式の解法: 線積分による「原始関数」の構成
- 補足、積分因子について
参考資料1 (定理の証明、積分因子について), 参考資料2 (条件Ⅰ が成り立たない場合について)
演習問題6
※ 確認問題6-2. (3) の一般解を四角で囲むのを忘れておりました。
ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト5 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 109名受験平均3.97点/7点 2EJ: 115名受験平均5.10点/7点

2015年5月7日 (木), 5月11日 (月)

1階線形微分方程式 (続)
- 定数変化法による一般解の求め方
- 問題演習
- 非斉次1階線形微分方程式の解の公式と2通りの証明法
参考資料: 講義で扱った微分方程式の勾配場と解曲線 — dy/dx-2xy=xe^x² およびその同伴方程式, dy/dx+y=x+1 およびその同伴方程式
同伴方程式の特殊解 y=0 (紫の線) の位置がずれて、その周りを同伴方程式の一般解 (赤い線) が覆っている様子が観察出来る。
演習問題5
※ 確認問題5-2. (1) の「掛き直せる」は当然「書き直せる」の誤植でございます。恥ずかしぃ!! (*>ω<*)
また確認問題5-1. (4) の答えも指数関数部分の符号が間違っていました。重ね重ねすみません。
ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト4 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 109名受験平均5.23点/7点 2EJ: 117名受験平均5.48点/7点

2015年4月27日 (月), 4月30日 (木)

1階線形微分方程式 (続)
- 1階線形微分方程式の定義と例 (復習も兼ねて)
- 斉次1階線形微分方程式の解の公式と2通りの証明、問題演習
- 1階線形微分方程式の解の構造: 「特殊解+同伴方程式の一般解」
演習問題4
※ チャレンジ問題4. 自由研究 (2) の運動方程式の左辺から質量 m が抜けていました。すみません。ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト3 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 110名受験平均3.79点/7点 2EJ: 120名受験平均5.00点/7点

2015年4月20日 (月), 4月23日 (木)

同次形1階微分方程式
- 同次形1階微分方程式の定義と例
- 同次形1階微分方程式の解法: u=y/x と変数変換せよ
- 問題演習
1階線形微分方程式
- 1階線形微分方程式の定義 (詳細は次回以降)
- 斉次1階線形微分方程式の解の公式 — 変数分離形なので、各自導き出してみること。
参考資料: 微分方程式 dy/dx=(xy-y²)/x² の勾配場と解曲線
変数変換を挟んだこともあって、大分複雑な解曲線が登場するようになってきましたねぇ。
演習問題3
※ 確認問題3-1. (2) の解答に誤植がありました。先頭の2倍は必要ありません。ウェブ掲載版は赤字で修正してあります (追記あり)。
また、チャレンジ問題3. の「半径 a」「半径 b」はそれぞれ絶対値記号を付けた「半径 |a|」「半径 |b|」が正しいです
(問題を解く際にはそれほど支障はないと思いますが……)
細かい誤植が多くて面目ございません!!!
小テスト2 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 111名受験平均4.04点/7点 2EJ: 121名受験平均5.32点/7点

2015年4月13日 (月), 4月16日 (木)

変数分離形の微分方程式
- 変数分離形微分方程式の定義
- 変数分離形微分方程式の解法 — 変数分離法
- 問題演習
参考資料: 微分方程式 dy/dx=xy の勾配場と解曲線
演習問題2
※ 確認問題2-2. の略解に符号の誤植がありました。すみません。ウェブ掲載版は赤字で修正してあります。
小テスト1 問題 2FI 2EJ 略解 2FI 2EJ
2FI: 114名受験平均5.11点/8点 2EJ: 121名受験平均5.69点/8点

2015年4月6日 (月), 4月9日 (木)

微分方程式とは何か? — アメーバの増殖問題を例に
- アメーバの増殖問題 — 「10,000匹を超えるのは何秒後?」
- 微分方程式の立式、「微分方程式を解く」とは
- 微分方程式の図形的意味: 勾配場
- 厳密解の求め方: 変数分離法 (次回詳しく扱います)
- 自然科学と微分方程式 — なぜ「微分方程式を解ける」ようになる必要があるのか?
講義に関するガイダンス配布資料
参考資料: 微分方程式 dx/dt=x の勾配場と解曲線
演習問題1
※ チャレンジ問題1. の (1) の略解に誤植がありました。2行目の式の右辺の Δt は不要です。
(ウェブ掲載版は修正してあります)

講義日程

2FI科 (UNIPA も参照のこと)

4月 6日, 13日, 20日, 27日
5月 4日 (みどりの日), 11日, 18日, 25日
6月 1日, 8日, 15日, 22日, 29日
7月 6日, 13日, 20日 (海の日 / 授業実施日), (27日)

2EJ科 (UNIPA も参照のこと)

4月 9日, 16日, 23日, 30日
5月 7日, 14日, 21日, 28日
6月 4日, 11日, 18日, 25日
7月 2日, 9日, 16日, (23日)