2015年度線形代数学Ⅲ (原)

トップページ > 講義 > 2015年度 > 線形代数学Ⅲ

線形代数学Ⅲ Linear Algebra Ⅲ

工学部・未来科学部2年
FI科以外の全学科 (月曜5限)

担当: 原隆

場所: 2号館2505教室

講義内容 (シラバスより):
　「行列の標準形」の理論とは、ベクトル空間の基底を巧く取り替えて行列 (線形変換) をなるべく簡潔な形で表す理論であり、実用上も非常に重要な理論である。
　本講義では計量ベクトル空間及び行列の標準形の理論の基礎事項について解説する。最初にベクトル空間の内積及び正規直交基底の概念について学び、続いてどの様な正方行列が対角化可能であるかについて、ベクトル空間の内積と関連付けながら解説する。応用として、２次形式や２次曲線、2次曲面の分類などを取り上げる。　

教科書: 三宅敏恒著『入門線形代数』, 『線形代数 —初歩からジョルダン標準形へ』

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ今年度の『線形代数学Ⅲ』の講義はすべて終了致しました。
学期末試験の採点講評および授業評価アンケートの自由解答欄へのコメントをこちらに置いておきます。
期末試験の答案の返却を希望する方は、UNIPA の「授業資料」のページの記載事項を良く読んだ上で、答案を取りに来て下さい。
なお、授業評価アンケートの集計結果はこちらから閲覧出来ます (東京電機大学の共通パスワードが必要)。

2015年7月20日 (月)

学力考査
- 学期末考査問題略解
  - 試験中に訂正した問題文の誤植 (第5問 Ⅱ (2)) については赤字で修正しておきました。
  - 第4問 (1) の略解が全然違っていました。申し訳ございません。赤字で修正しておきました。
    勿論評点は正答の方で付けますのでご安心下さい。
- 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2015年7月6日 (月)

2次形式 (続)
- 2次曲線・2次曲面の分類 (続)
ジョルダン標準形について
- 2次正方行列のジョルダン標準形 — 対角化不可能な行列の “標準形”
本講義の成績評価について
参考資料3 (2次曲線・2次曲面の分類)
参考資料4 (2次・3次正方行列のジョルダン標準形の求め方について)
確認問題13 および略解

2015年6月29日 (月)

2次形式 (続)
- シルヴェスターの慣性法則 (続)
- 2次形式の符号
- 2次曲線・2次曲面の分類
参考資料2
確認問題12 および略解

2015年6月29日 (月)

2次形式 (続)
- シルヴェスターの慣性法則 (続)
- 2次形式の符号
- 2次曲線・2次曲面の分類
参考資料2
確認問題12 および略解

2015年6月22日 (月)

2次形式 (続)
- 直交変数変換による2次形式の対角化 (続)
- 2次形式の標準形
- 2次形式の標準形の求め方: 直交変数変換の利用と平方完成による方法 (ラグランジェの方法)
- シルヴェスターの慣性法則
確認問題11 および略解
※ いくつか酷い誤植がありました。申し訳ありません。ウェブ掲載版は赤字で訂正してあります。

2015年6月15日 (月)

対称行列の対角化 (続)
- 対称行列が直交行列で対角化されることの証明
2次形式
- 2次形式の定義
- 2次形式に対応する対称行列
- 直交変数変換による2次形式の対角化
確認問題10 および略解

2015年6月8日 (月)

対称行列の対角化 (続)
- 固有多項式が重解を持つ場合の例: グラム-シュミットの正規直交化法の利用
- 対称行列の異なる固有値に関する固有ベクトルは直交する
- 対称行列の固有値は全て実数
確認問題9 および略解

2015年6月1日 (月)

行列の対角化 (続)
- 行列の対角化可能性: 「重複度の分だけ線形独立な固有ベクトルが必要」
対称行列の対角化
- 対角行列の定義
- 対角行列の対角化: 「対角行列は直交行列によって対角化出来る」
- 2次正方行列のときの実例
参考資料: 行列の対角化可能性について
確認問題8 および略解

2015年5月25日 (月)

行列の対角化
- 固有値と固有ベクトル
  - 固有値、固有ベクトルの定義
  - 固有値の求め方: 特性多項式
  - 固有ベクトルの求め方: 連立一次方程式の解を求める
- 行列の対角化
  - 固有値、固有ベクトルと行列の対角化
確認問題7および略解

2015年5月18日 (月)

直交変換と直交行列
- 直交変換の定義 — 内積との両立性
- 直交変換の例: 平面ベクトルの回転変換
- 正規直交基底の直交変換での像は正規直交基底
- 直交変換の正則性、逆変換も直交変換となること
- 直交変換の行列表示と直交行列
確認問題6および略解

2015年5月11日 (月)

ベクトルの内積と正規直交基底 (続)
- 正規直交基底 (復習)
- 正規直交基底の “作り方” — 平面ベクトル、空間ベクトルの場合
- グラム-シュミットの正規直交化法 — 与えられた基底から正規直交基底を構成するアルゴリズム
- 問題演習補足プリント1 (例題の略解)
確認問題5および略解

2015年4月27日 (月)

ベクトルの内積と正規直交基底
- 数ベクトルの内積
  - 数ベクトルの内積の定義
  - 数ベクトルの大きさ (ノルム)、直交性の定義
  - 数ベクトルの内積の性質: 交換法則, 双線形性
  - コーシー-シュワルツの不等式と三角不等式、及びその証明
- 正規直交基底
  - 正規直交基底の定義
  - 正規直交基底の例: 標準基底、平面の「回転行列」、平面ベクトルの基底から正規直交基底を作る方法
確認問題4および略解 (自習課題: 5/11の講義時に任意提出)

2015年4月20日 (月)

ベクトルの線形独立性と数ベクトル空間の基底 (続)
- 線形変換の行列表示と基底の取り替え (続)
  - 基底に関する線形変換の行列表示 (または表現行列) の定義 (復習)
  - 線形変換の行列表示の例: 標準基底の場合
  - 線形変換の行列表示とベクトルの成分表示の関係
  - 基底の取り替えと線形変換の行列表示
  - 「行列の標準形の理論」=「基底を巧く取り替えて線形変換の行列表示をなるべく単純にすることを目指す理論」
確認問題3および略解

2015年4月13日 (月)

ベクトルの線形独立性と数ベクトル空間の基底 (続)
- 基底の変換行列
  - 基底の変換行列の定義
  - 基底の変換行列の計算方法と例
  - 異なる基底に関するベクトルの成分表示の間の関係
- 線形変換の行列表示と基底の取り替え
  - Rⁿ の線形変換の定義
  - 基底に関する線形変換の行列表示 (または表現行列) の定義
確認問題2および略解

2015年4月6日 (月)

講義についてのガイダンス配布資料
ベクトルの線形独立性と数ベクトル空間の基底
- ベクトルの線形独立性の定義
- R² の場合の線形独立性・線形従属性 — 「《番地割り》の存在と一意性」の観点から
- ベクトルの線形独立性と行列の階数の関係 (復習)
- 数ベクトル空間の基底の定義
- 基底の例: 標準基底
- ベクトルが基底の線形結合として一意的に表されること
確認問題1および略解

講義日程

2年全学科 (UNIPA も参照のこと)

4月 6日, 13日, 20日, 27日
5月 4日 (みどりの日), 11日, 18日, 25日
6月 1日, 8日, 15日, 22日, 29日
7月 6日, 13日, 20日 (海の日/授業実施日), (27日)