線形代数学Ⅱ   Linear Algebra Ⅱ

工学部・未来科学部 1年
EK・EF 科 (金曜1限)

担当: 原 隆

場所: 2号館2804教室

講義内容 (シラバスより):
線形代数学Ⅱは線形代数学Ⅰの続編であり、３つのテーマ

（1）行列式（2）数ベクトル空間（3）固有値と固有ベクトル

について学ぶ。前期にくらべ、対象がやや抽象的になるが、幾何学的なイメージをもちながら学習することが大切である。

予備知識として、前期に学んだ「線形代数学Ⅰ」の内容を前提とする。

教科書: 新井啓介 他共著，『ベクトルと行列 —基礎から始める線形代数—』 （培風館）

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 今年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 答案の返却は2月4日(木) 夜以降 40903A室にて受け付けます

講義内容

2016年1月29日 (金)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『線形代数学Ⅱ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 73名受験   S:3名 A:13名 B:21名 C:16名 D:20名 11名放棄
答案の返却は2月4日(木) 夜以降 40903A室にて受け付けます
基本的に平日のみ / 2月5日 (金) は 15:00— 以降のみ
いつも在室しているとは限らないので、事前にメールでアポイントを取ることをお奨めします。
※ 採点講評等は 2月中旬以降 にこちらにアップします。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2016年1月22日 (金)

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • ジョルダン標準形について   参考資料8
    • 対角化出来ない行列
    • ジョルダン標準形の求め方: 2次正方行列を例に
    • 問題演習: 行列のジョルダン標準形
      2次正方行列、3次正方行列の場合
• 参考資料8+   (未配布)
  ジョルダン標準形の理論の概要についてまとめたもの。試験範囲ではありませんが、興味のある方はどうぞ。
• 確認問題15   提出不要 (解答は近日公開)

2016年1月8日 (金)

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • 行列の対角化   参考資料7
    • 行列の対角化とは
    • 対角化の方法 — 「固有ベクトルを並べた行列」で挟む
    • 問題演習: 行列の対角化
      ※ A₂ の固有値2に関する固有ベクトルが間違っていました。「u(0,0,1)」ではなく「u(1,0,0)」です。
      お詫びして訂正致します。
    • 対角化可能な条件: 「固有値の重複度の分だけ固有空間の次元が高いか?」<.li>
  • 行列の m 乗
    • 対角化を用いた m 乗の計算法
    • ケーリー-ハミルトンの定理を用いた m 乗の計算法
    ※ 説明の時間が十分取れませんでした。すみません。参考資料7 の例題をよく復習しておいて下さい。
    分からないことがあれば質問タイムなどに積極的に質問して下さい。
• 確認問題14 および 解答   提出不要

2015年12月25日 (金)

• 固有値と固有ベクトル (続)
  • 固有値・固有ベクトルの求め方
    • 固有値と特性多項式
    • 固有値の計算: 特性多項式の根を求める
    • 固有ベクトルの計算: 固有値を引いた行列を係数に持つ連立一次方程式の根
  • ケーリー-ハミルトンの定理   参考資料6
    • 定理の主張と例
• 演習問題5 (自習用)
• 確認問題13 および 解答   2016年1月8日 の講義時提出 (任意, 締切注意)

2015年12月18日 (金)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 線形部分空間の次元と基底 (続)
    • 同次連立一次方程式の解空間の次元と基底
      • 同次連立一次方程式の解法と解空間の基底の関係
      • 解空間の次元=(変数の個数)-(係数行列の階数)
• 固有値と固有ベクトル
  • 固有値、固有ベクトルの定義と例
  • 特性多項式と固有値
    • 特性多項式の定義
    • 特性多項式の計算例、特性多項式の根が固有値となること
• 本講義の成績評価について
• 確認問題12 および 解答   12月25日の講義時提出 (任意)

2015年12月11日 (金)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 線形部分空間 (続)
    • Span の定義 (再), Span が線形部分空間であることの確認
    • 同次連立一次方程式の解空間が線形部分空間であること
    • 線形部分空間でない部分集合の例: 球面、放物線
    • 線形部分空間には必ず零ベクトルが含まれる
  • 線形部分空間の次元と基底   参考資料5
    • 線形部分空間の次元と基底の定義
    • 線形部分空間が線形独立なベクトルで張られることと、そのベクトルが基底となることの同値性
    • Span の次元と基底: 例題
    • 同次連立一次方程式の解空間の次元と基底: 例題   (次回少し補足します)
• 確認問題11 および 解答   12月18日の講義時提出 (任意)

2015年12月4日 (金)

休講

2015年11月27日 (金)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 数ベクトル空間の基底
    • 数ベクトル計算の基底の定義
    • 基底によるベクトルの線形結合表示とその一意性
  • 線形部分空間
    • 線形部分空間の定義
    • 線形部分空間の例 — 直線・平面・空間, 原点を通る平面
    • Span の定義
• 演習問題4   (自習用)
• 確認問題10 および 解答   12月11日の講義時提出 (任意)

2015年11月20日 (金)

• 数ベクトル空間 (続)
  • 線形独立性の判定 (続)   参考資料4
    特に線形独立性と行列の階数の関係について
  • 行列の行基本変形と線形関係式
    • 行基本変形を施した後のベクトルと同じ線形関係式を満たすこと
    • 線形独立なベクトルの最大個数、ベクトルの線形結合表示の求め方
• 確認問題9 および 解答   11月27日の講義時提出 (任意)

2015年11月13日 (金)

• 数ベクトル空間 (続)
  • ベクトルの線形独立性と線形従属性
    • 平面ベクトル・空間ベクトルの線形独立性、線形従属性
    • 線形独立性、線形従属性の定義と意味
    • 線形独立なベクトルの線形結合の係数は一意に定まる
  • 線形独立性の判定 — 連立一次方程式の解との関係を中心に
• 確認問題8 および 解答   11月20日の講義時提出 (任意)

2015年11月6日 (金)

• 行列式 (続)
  • 余因子展開の応用 Ⅱ — クラーメルの公式
    • n 元一次連立方程式とクラーメルの公式
    • クラーメルの公式の使用例
• 数ベクトル空間
  • 数ベクトルと数ベクトル空間
  • 数ベクトル空間の例: 1,2,3次元数ベクトル空間
  • ベクトルの線形独立性と線形従属性
    • 平面ベクトルと線形独立性、線形従属性 (次回に続く)
• 演習問題3 (Nov. 13 解答追加)
• 確認問題7 および 解答   11月13日の講義時提出 (任意)

2015年10月30日 (金)

旭祭による休校日

2015年10月23日 (金)

• 行列式 (続)
  • 行列式の余因子展開 (続)
    • 余因子展開を用いた行列式の計算例
    • 余因子展開公式の証明の概略
  • 余因子展開の応用 Ⅰ — 逆行列の構成
    • 余因子行列の定義と性質
    • 行列式が 0 でないならば正則行列であること
    • 余因子行列を用いた逆行列の構成
• 確認問題6 および 解答  11月6日の講義時提出 (任意; 締切日注意)

2015年10月16日 (金)

• 行列式 (続)
  • 行列式の性質 (続)
    • 定理1 (行列式の乗法性) の証明の概略
    • 定理2 (転置行列の行列式) の証明の概略   (正則な場合のみ; 基本行列の場合に帰着)
  • 行列式の余因子展開
    • 余因子の定義と例
    • 余因子展開の公式とその計算例
• 演習問題2 (11月6日 解答公開)
• 確認問題5 および 解答   10月23日の講義時提出 (任意)

2015年10月9日 (金)

• 行列式 (続)
  • 行列式の成分表示   参考資料2 (付録: 置換の符号について を加筆)
    • 多重線形性と歪対称性を持つ関数の展開
    • 系: 行列式の成分表示
      ※ テキストの定義4.20.と良く見比べること!
    • 証明の概略 — n=3 の場合に
  • 行列式の性質   参考資料3 (配布した「補足プリント3」と同じもの)
    • 定理1: (行列の) 積の行列式は、行列式の積
    • 応用: 正則行列の行列式が0とはならないこと
    • 定理2: 転置行列の行列式は、もとの行列の行列式と等しい
      • 転置行列の定義 (確認)
      • 図形的意味: 列ベクトルの張る平行四辺形の面積と行ベクトルの張る平行四辺形の面積が等しい
      • 応用: 行列式の列ベクトルに関する性質は、行ベクトルに関しても成立する (詳細は演習問題2-3. 参照)
    ※ 定理1, 2 の証明の概略は次週の最初にやります (次週補足プリント3を持参すること!!)
• 確認問題4 および 解答   10月16日の講義時提出 (任意)

2015年10月2日 (金)

• 行列式 (続)
  • 行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化
    • 列基本変形 (復習)
    • 列基本変形の下での行列式の振る舞い (証明は演習問題1-1.)
    • 三角行列の行列式は対角成分の積
    • 行列の三角化による行列式の計算例
    • 問題演習: 三角化による行列式の計算
• 演習問題1   (10月16日 解答公開)
• 確認問題3 および 解答 (10月15日追記)   10月9日の講義時提出 (任意)

2015年9月25日 (金)

• 行列式 (続)
  • 行列式の基本3性質: 多重線形性, 歪対称性, 単位行列の行列式は1 (復習)
  • 行列式の基本3性質の図形的意味   参考資料1 (行列式の基本3性質とその証明; 加筆あり)
    参考: 2次行列式の多重線形性の解説アニメーション   (背景をクリックすると進行します; Adobe Flash Player を推奨)
        ※ 繰り返し閲覧する際はリロードして下さい。
  • n 次行列式の (基本3性質による) 定義と例
• 確認問題2 および 解答   10月2日の講義時提出 (任意)

2015年9月18日 (金)

• ガイダンス   配布資料
• 行列式
  • 2次行列式, 3次行列式の復習 — 「符号付き面積」「符号付き体積」としての理解
  • 行列式の基本3性質: 多重線形性, 歪対称性, 単位行列の行列式は1   配布資料
  • 基本3性質を用いると行列式が計算出来ること
  • 問題演習: 基本3性質を用いた2次行列式の計算
• 確認問題1 および 解答   9月25日の講義時提出 (任意)

講義日程

1EK・1EF科   (UNIPA も参照のこと)

9月   18日, 25日
10月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日 (旭祭 / 休校日)
11月   6日, 13日, 20日, 27日
12月   4日 (休講), 11日, 18日, 25日 1月   1日 (元日 / 休校日), 8日, 15日 (センター試験 / 休校日), (22日)