微分積分学および演習Ⅱ   Calculus Ⅱ

工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 火曜日, 金曜日共に 2号館 2602教室

講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツによって創始され、その後様々な数学者によって築かれてきた微分積分学は、自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。

この講義では前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容に引き続き、多変数（特に2変数）関数の微分、積分を学ぶ。

予備知識として前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容を前提とする。

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 今年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 答案の返却は2月5日(金) 午後以降 40903A室にて受け付けます

講義内容

2016年1月29日 (金)

• 学期末考査
  ※ 東京電機大学 数学系列内の取り決めにより、『線形代数学Ⅱ』の学期末考査の
  問題および略解は公表しないこととなっております。予めご了承下さい。
  
  速報 59名受験   S:10名 A:14名 B:12名 C:13名 D:10名 3名放棄
答案の返却は2月5日(金) 午後以降 40903A室にて受け付けます
基本的に平日のみ / 2月5日 (金) は 15:00— 以降のみ
いつも在室しているとは限らないので、事前にメールでアポイントを取ることをお奨めします。
※ 採点講評等は 2月中旬以降 にこちらにアップします。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

2016年1月26日 (火)

• 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法 (続)
  • 陰関数とその微分
    • 陰関数とは何か, 陰関数定理
    • 陰関数の微分法 (=合成関数の微分法 Ⅰ) — 円の接線の方程式を例に
    • 課題: デカルトの葉線の接線の方程式
  • ラグランジェの定理の証明
    • 束縛条件を陰関数で表示する
    • ラグランジェの定理の証明の完成

2016年1月22日 (金)

• 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法 (続)
  • 問題演習: 条件付極値問題とラグランジェの未定乗数法
    問題10-1. (4) まで, 問題10-2 解説
  • ラグランジェの未定乗数法の実用上の応用
    シャノンの情報理論 (エントロピー最大化問題), 2財の効用最大化問題 (ミクロ経済学の話題から)

2016年1月19日 (火)

• 条件付き極値問題とラグランジェの未定乗数法   参考資料6
  • 条件付き極値問題とは — 何が難しいか?
  • ラグランジェの定理とラグランジェ関数
  • ラグランジェの未定乗数法: ラグランジェ関数の臨界点が極値の候補
  • 問題演習: 条件付極値問題とラグランジェの未定乗数法
    問題10-1. (1) まで解説
• 演習問題10 (講義内問題演習用; 2016/1/22 解答追加)

2016年1月12日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理 (続)
    • 質点系の重心
    • 平面図形の重心 — 細く分けて、微小長方形を質点に近似する
    • パップス-ギュルダンの定理の証明: 重心の x座標とバウムクーヘン分割

2016年1月8日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 空間図形の体積 (続)
    • 問題演習: 空間図形の体積 (5), (6) 解説
  • 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理
    • パップス-ギュルダンの定理の紹介と使用例

2015年12月25日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 空間図形の体積 (続)
    • 問題演習: 空間図形の体積 (4) まで解説
      次回 (年明け) は (5), (6) の解説

2015年12月22日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • ガウス積分 (続)
    • 計算の仕方: 2変数関数に拡張して、重積分を2通りに計算する
    • 広義重積分について: 領域列の作り方が1通りではないこと
  • 空間図形の体積
    • 空間図形の求積について: 底面と“高さ”の設定
    • 計算例: 上半球体の体積の計算法
    • 問題演習: 空間図形の体積 (次回 (1) — の答え合せ, 解説から)
• 演習問題9 (講義内問題演習用)

2015年12月18日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 変数変換の証明の概略
    • uv平面を格子状に切断し、xy平面はそれに応じてカットする
    • ヤコビ行列式は、uv平面での面積ΔuΔvの長方形に対応するxy平面の領域の面積を平行四辺形に近似して計算したもの
  • ガウス積分
    • ガウス積分とは
    • 計算の仕方: 2変数関数に拡張して、重積分を2通りに計算する (詳細は次回)

2015年12月15日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の変数変換公式 (続)
    • 問題演習: 2重積分の変数変換 (続)   問題8-1. (7) まで解説
  • 変数変換の証明の概略
    証明の方針まで説明、次回は証明の残りから
• 本講義の成績評価について

2015年12月11日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の変数変換公式 (続)
    • 問題演習: 2重積分の変数変換
      問題8-1. (4) まで解説 (次回は (5), (6), (7) の解説から
• 演習問題8 (講義内問題演習用)

2015年12月8日 (火)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の計算 (続）
    • 問題演習: 2重積分の計算 (続)   問題7-1. (7), (8) の解説
  • 重積分の変数変換公式
    • 1変数の場合 — 置換積分
    • 積分変換公式の主張 — 「ヤコビ行列式がおまけに掛かる」
    • 例1: 変数変換で積分領域を簡単にする
    • 例2: 極座標変換の計算例

2015年12月1日 (火), 12月4日 (金)

休講

2015年11月27日 (金)

• 2変数関数の積分法 (続)
  • 2重積分の計算 (続）
    • 問題演習: 2重積分の計算 (続)   問題7-1. (6) まで解説
      休講明けは (7), (8) の解説から

2015年11月24日 (火)

• 2変数関数の積分法
  • 2重積分の計算
    • 2重積分の計算例 (続きと訂正)
    • 問題演習: 2重積分の計算   問題7-1. (2) まで解説
  • 演習問題7 (講義内演習用)

2015年11月20日 (金)

• 2変数関数の積分法
  • 重積分の定義 — 1変数関数の定積分と比較して
    • 重積分の意味: “関数のグラフの下の部分の体積”
    • 重積分の定義: 微小直方体の体積の総和 (リーマン和) の極限
    • 重積分の反復積分による計算法
      「先ずは1列分の直方体の体積の和 (“板の体積”) を計算して、それを掻き集めて全体の体積を求める」
    • 重積分の計算例
      黒板の計算に誤りがありました。 次回の講義でもう一度取り扱います。混乱させてすみません。

2015年11月17日 (火)

• 2変数関数のテイラーの定理 (続)
  • 2変数関数の極値問題
    • 問題演習: 2変数関数の極値問題   問題6-2. (7) まで解説
    • 極値判定法の原理について: テイラーの近似定理+二次式の正負の判別式を用いた判定

2015年11月13日 (金)

• 2変数関数のテイラーの定理 (続)
  • 2変数関数の極値問題
    • ヘッセ行列とヘッセ行列式の定義
    • 極値問題へのフローチャート   参考資料5
    • 2変数関数の極値問題: 例題
    • 問題演習: 2変数関数の極値問題   問題6-2. (3) まで解説

2015年11月10日 (火)

• 2変数関数のテイラーの定理 (続)
  • 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開   問題6-1. (4), (5), (6) の解説
  • 2変数関数のテイラーの近似定理とその証明の概略   参考資料4
  • 2変数関数の極値問題
    • 2変数関数の極値問題とは?
    • 極値では偏微分係数が0となること
    • 臨界点の定義 — 「極値点の候補」
    • 2変数関数の極値問題に於ける困難
      1. 臨界点がすべて極値をとるわけではない — 特に鞍点の存在
      2. 2変数関数では増減表が描けない!

2015年11月6日 (金)

• 2変数関数のテイラーの定理 (続)
  • 展開係数と偏微分係数 (続) — 偏微分を用いた多項式の展開係数の求め方
  • 2変数関数のテイラー展開: テイラー展開の計算法
  • 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開   問題6-1. (3) まで解説
    次回は問題6-1. (4), (5), (6) から
• 演習問題6 (講義内問題演習用) (Nov. 20. 問題6-1. 解答例残り追加)

2015年11月3日 (火)

文化の日による休校日

2015年10月30日 (金)

旭祭による休校日

2015年10月27日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 高階偏微分 (続)
    • 問題演習: 高階偏導関数の計算   問題4-1. の残り
    • 偏微分の順序交換が出来ない例: 問題4-2. (1), (2), (4)
    • 2階連続偏微分可能関数と偏微分の順序交換可能性   参考資料3
• 2変数関数のテイラーの定理
  • 展開係数と偏微分係数 — 偏微分を用いた多項式の展開係数の求め方
• 演習問題5 および 解答 (レポート問題: 締切は11月13日)

2015年10月23日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 合成関数の微分法 (続)
    • 合成関数の微分法の証明の概略 — 一次近似の利用
  • 高階偏微分
    • 高階偏導関数とその個数: n階偏導関数は2ⁿ個
    • 問題演習: 高階偏導関数の計算   問題4-1. (3) まで解説
    ※ 次回は問題4-1.の残りから
• 演習問題4 (講義内問題演習用; Oct.28 略解追加)

2015年10月20日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 合成関数の微分法 (続)
    • 合成関数の微分法 Ⅱ — 2変数関数を代入する (変数変換) (続)
    • 問題演習: 合成関数の微分法 Ⅱ (問題3-2.)
    • ヤコビ行列を導入する意義について: 変数変換の「合成」   参考資料2

2015年10月16日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 合成関数の微分法 (続)
    • 合成関数の微分法 Ⅰ — 1変数関数を代入する (復習)
    • 問題演習: 合成関数の微分法 Ⅰ (問題3-1.)
    • 合成関数の微分法 Ⅱ — 2変数関数を代入する (変数変換)
    • 変数変換のヤコビ行列、ヤコビ行列式の定義
    ※ 次回は 問題3-2. の演習・解説から

2015年10月13日 (火)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 全微分可能性 (続)
    • 偏微分可能性と全微分可能性の違いについて
    • 関数 z=xy/(x²+y²) が 点 (0,0) で全微分不可能であること
    • 関数 z=x²y²/(x²+y²) が 点 (0,0) で全微分可能であること
    • 連続偏微分可能 (C¹級) 関数の定義
    • “連続偏微分可能ならば全微分可能”   (証明は参考資料1参照)
  • 全微分可能性 (講義中にプロジェクターで見せた図)
  • 合成関数の微分法
    • 合成関数の微分法 Ⅰ — 1変数関数を代入する
    • 合成関数の微分法 Ⅰ の計算例
• 参考資料1 (全微分可能性について)
• 演習問題3 (講義内問題演習用; Oct.28 略解追加)

2015年10月9日 (金)

• 2変数関数の微分法 (続)
  • 全微分可能性
    • 問題2-3. の再検証 — 偏微分では2つの平面での切り口しか見ていない (!)
    • 1変数関数の微分可能性と1次近似についての復習
    • 全微分可能性の定義 — “どのように近づけても誤差が非常に速く0に収束する”

2015年10月6日 (火)

• 2変数関数の微分法
  • 接平面の方程式 (続)
    • 例題: 接平面の方程式の求め方
    • 問題演習: 接平面の方程式 (問題2-2.)
    • 偏微分係数は計算出来るのに、得られる “接平面の方程式” がおかしな例 (問題2-3.)
  • 接平面の図 (講義中にプロジェクターで見せたもの)

2015年10月2日 (金)

• 2変数関数の微分法
  • 偏微分法 (続)
    • 偏導関数の定義と求め方: 「ひとつの文字だけに着目する」
    • 問題演習: 2変数関数の偏微分法   問題2-1.
  • 接平面の方程式
    • 1変数関数の微分係数と接ベクトルの対応
    • 2変数関数の偏微分係数と接ベクトルの対応
    • 接平面の方程式の求め方: 基本戦略 (次回は例題から)
• 演習問題2 (講義内問題演習用)

2015年9月29日 (火)

休講

2015年9月25日 (金)

• 多変数関数の極限と連続性 (続)
  • 2変数関数の極限: 問題演習 (残り)
  • 2変数関数の連続性: 定義とイメージ
• 2変数関数の微分法
  • 偏微分法
    • 偏微分法とは?
    • 偏微分係数の定義と計算例
    • 偏微分係数の図形的意味: グラフの断面図における接線の傾き

2015年9月18日 (金)

• 多変数関数の極限と連続性 (続)
  • 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (続)
    • z=x²/(x²+y²) のグラフ   点 (0,0) で極限値を持たない
    • z=x³/(x³+y³) のグラフ   点 (0,0) で極限値 0 を持つ
         (少しつままれた感じになっている部分が点 (0,0,0))
  • 極限の問題へのアプローチ: 「極限の候補を探してから、極限であることを極座標変換を用いて示す」
  • 例題および問題演習
• 演習問題1 および 解答 (レポート問題: 10/2 (金) 提出)

2015年9月15日 (火)

• イントロダクション: 「多変数関数の微分積分学とは?」
  • 1変数関数から多変数関数へ
  • 2変数関数とそのグラフの例: 気温分布、平面、回転放物面
    • z=x²+y² のグラフ   回転放物面
  • 多変数関数を調べる意義: 天気予報など
• 履修に関するガイダンス 配布資料
• 多変数関数の極限と連続性
  • 2変数関数の極限の定義
  • 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例

講義日程

9月   15日, 18日, 22日 (国民の休日 / 休校日), 25日, 29日 (休講)
10月   2日, 6日, 9日, 13日, 16日, 20日, 23日, 27日, 30日 (旭祭 / 休校日)
11月   3日 (文化の日 / 休校日), 6日, 10日, 13日, 17日, 20日, 24日, 27日
12月   1日 (休講), 4日 (休講), 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (冬季休校)
1月   1日 (元日 / 休校日), 5日 (冬季休校), 8日, 12日, 15日 (センター試験 / 休校日), 19日, (22日, 26日)